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专题十 空间向量及其运算学一学-基础知识结论1.向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作，称为向量的数乘运算当0时，a与向量a方向相同，0时，a与向量a方向相反，a的长度是a的长度的倍(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律分配律： ；结合律： 2.空间向量的数量积运算2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b交换律ab分配律a(bc)(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab.若a与b同向，则ab；若反向，则ab.特别地：aa|a|2或|a|.若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|.3.空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab；(2)ab；(3)a(r)；(4)ab；(5)ab； (6)ab学一学-方法规律技巧1.用已知向量表示未知向量.空间内用已知向量表示未知向量理论依据是空间向量基本定理，即选定三个不共面向量，则对于空间内任意一个向量，都可以用表示.其实质是将空间向量问题转化为平面向量.例1.如图，已知空间四边形oabc，其对角线为ob，ac.m，n分别是对边oa，bc的中点，点g在线段mn上，且mg2gn，用基底向量，表示向量.2.如何求平面的法向量解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，常见的求法向量方法有两种：方程法；双0速算法例2分别求解下列两问：若，是平面内的三点，设平面的法向量，则_（）已知向量是平面内的两个不共线向量，且，求平面的一个法向量3判断若个点共面（或向量共面）证明四点共面，可在四点之中，构造向量，先利用空间向量共面定理证明向量共面，进而证明四点共面；证明向量共面，将其中一个向量用另外两个向量表示，进而根据空间向量基本定理证明向量共面，其中灵活地进行向量的合成与分解是关键例3如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，e、f分别在b1b和d1d上，且bebb1，
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