（基础数学专业论文）完备李超代数的若干结果.pdf

p a p e rf o rm a s t e rd e g r e e 2 0ll u n c o d e 1 0 2 6 9 e a s tc h i n 仅n 0 r m a l u n 如e r s i 毋 s o m er e s u l t so fc o m p l e t el i es u p e r a l g e b r a s d e p a i t m e n t m a m e m a t i c sd e p 猢e n t m a j o r p u r em a t l l e m 蝉壁 r e s e a u r c hd i r e c t i o n l i ea l g e b r a d i r e c t o r l e il i n a u t h o r z l l e n g z h e n gf e n g f i n i s h e d i n a p m 2 0 1 1 华东师范大学学位论文原创性声明 工作及取得的研究成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名 弓嗨畸 日期 即1 1 年 6 7 月寸日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 完备李超代数的若干结果 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导 师指导下完成的硕士 博士 请勾选 学位论文 本论文的研究成果归华东师 范大学所有 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文 并 向主管部门和相关机构如国家图书馆 中信所和 知网 送交学位论文的印刷 版和电子版 允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅 借阅 同意学校将学位论文加入全国博士 硕士学位论文共建单位数据库进行检 索 将学位论文的标题和摘要汇编出版 采用影印 缩印或者其它方式合理复 制学位论文 本学位论文属于 请勾选 1 经华东师范大学相关部门审查核定的 内部 或 涉密 学位论文木 于年月日解密 密后适用上述授权 y2 不保密 适用上述授权 学位论文作者签名 玛崦埒 导师签名 材磊 3 0l1 年 6 月叶日 事 涉密 学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审 定过的学位论文 需附获批的 华东师范大学研究生申请学位论文 涉密 审批表 方为 有效 未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文 此声明栏不填写的 默认为公 开学位论文 均适用上述授权 冯铮铮硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 古l 两忸鹈抬伴点 1 而孰大锥 主席 r一 鱼 黼最毛t 极捣峰查 t 酶挠大弹 1 一1 彩磊堵匿 i 极掐i 悔奄衄六望 1 i 一 摘要 本文主要是在特征为零的代数闭域上对完备李超代数做了一些讨论 首 先 讨论了可解完备李代数的结构 其次 构造了一类偶部完备的李超代数 并且讨论了 及d e 艇的完备性 最后 给出了一个判断李超代数完备的充 分条件 关键词 可解 李超代数 完备 a b s t r a c t h lt l l i sp a p e rw em a i l l l yd i s c u s sc o m p l e t el i es u p e r a l g e b r 舔0 v e r 锄a l g e b r a i c a l l yc l o s e df l e l do fc h a n l c t e d s t i cz e r 0 f i r s d y w ed i s c u s ss 旬m c t 山 e so fs o l v a b l e c o m p l e t el i es u p e 阳1 9 e b r 舔 s e c o n d l y w ec o n s t m c ta l i n do fl i es u p e r a l g e b mj 筘 i nw l l i c hi t se v e np a r ti sa c o m p l e t el i ea l g e b r a a n dd i s c u s st l l ec o m p l e t e n e s so f a sw e l la sd e r 日f f i n a l l y w ep r o v i d es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o ral i es u p e r a l g e b r at 0 b ec o m p l e t e 时w o r d s s o l v a b l e l i es u p e r a l g e b r a c o m p l c t e 目录 第1 章引言 1 第2 章预备知识 3 第3 章可解完备李超代数的结构 7 第4 章一类偶部完备的李超代数 1 8 4 1h 是完备李代数的情形 1 9 4 2 日是半单李代数的情形 2 3 4 3 几个例子 3 7 第5 章完备李超代数的判定定理 4 0 参考文献 4 8 后记 5 0 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 1 引言 完备群的概念出现于上世纪3 0 年代 完备李代数的概念出现于4 0 年代 四 五十年代 一些著名的李群李代数学者都对这类代数进行过研究 并将完备群 的一些重要结果移植到完备李代数上 除此之外 当时人们对完备李代数的重 要性以及对其本身的认识都很有限 直到8 0 年代 专门讨论完备李代数的论文 仍是非常少的 从8 0 年代后期完备李代数的研究逐渐趋于活泼 孟道骥 朱林 生 姜翠波等对完备李代数的研究 使得完备李代数的研究在8 0 年代后期取 得了丰富的结果 参见 8 1 0 1 1 1 3 李超代数的研究起源于2 0 世纪7 0 年代 由于它在物理学中的重要作用以 及与其他数学分支有着深刻的联系 特别是与李代数有着紧密的联系 使得李 超代数的发展十分迅速 仿照李代数 中心为零且导子均为内导子的李超代数称为完备李超代 数 最近几年人们开始在完备李代数的基础上研究完备李超代数 李振亨 在 1 9 中把完备李代数的分解及其唯一性推广到完备李超代数上 证明了有 限维完备李超代数也可分解为单完备理想的直和且这种分解除次序外是唯一 的 王立云和孟道骥在完备李超代数的研究上做了很多工作 把类似于完备李 代数中的一些结论推广到完备李超代数上去 如 4 中给出了一个李超代数完 备的判定定理以及通过h e i s e n b e 娼超代数与半单李代数的扩张构造了一类完 备李超代数 在 6 中证明了极大秩可解李超代数是完备的等 虽然完备李超代数的理论更多的是建立在完备李代数理论的基础上的 但仍有很多完备李代数中的结论并不能直接推广到完备李超代数上去 如可 解完备李超代数的结构是否有类似于可解完备李代数的结构等问题 本论文 就是在以上这些结论的基础上继续对完备李超代数的性质与结构进行讨论 的 主要考虑了如下内容 首先我们讨论了可解完备李超代数的结构 证明了可解完备李超代数不 具有类似于可解完备李代数的结构 即可解完备李超代数不一定能分解成一 个极大环面与一个极大阶化幂零理想之和 接下来我们从单李代数出发构造 了一类完备李超代数 并说明了李超代数与它的偶部李代数的完备性之间并 没有直接的联系 即存在完备的李超代数其偶部李代数有可能是完备的也有 可能是非完备的 也存在其偶部李代数完备或是不完备但本身不完备的非李 代数的李超代数 文章的最后一部分给出了完备李超代数的一个判定定理 此 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 外 在本论文中我们假设所讨论的李超代数均是定义在特征为零的代数闭域 f 上的有限维李超代数 2 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 2 预备知识 在这一节里 我们先来回顾一下李超代数中的一些相关概念和结果 所有 的这些概念和结果均出卧2 1 8 1 9 并且它们都是标准的 定义2 1 设l 是域f 上的一个z 2 阶化代数 则称l 为一个超代数 定义2 2 设l 岛ol 是域f 上的一个超代数 岛 胆是l 的z 2 一阶化子空 间 满足 l o 岛 j e z 厶白 k 弘 v f z 则称l 是z 阶化的超代数 进一步 若 岛 o 锄 j e z 则称l 的z 2 阶化和z 阶化是相容的 奸 0 锄 h j e z 定义2 3 设l 岛是域f 上的z 阶化超代数 对任意的 z 工 岛 称工 包 是l 的j 次齐次元 记d e g x 皇j 定义2 4 设l l o 断是域f 上的超代数 若其上的乘法 满足 一 一1 印 b a 一1 归似 曰 c 一1 筇 b c a 一1 卢候 作用在断上 3 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 反之 任给一个李代数岛以及一个培模研 若存在对称双线性映射 p 断 断一岛满足 q p 阢 p q u p 以q 功 q 岛 以y 断 p 以叻 v 叻 p vw u p wu o 以vw l 我们可以在岛 研上定义 q r q 刚 q 岛 尺 如 q u q 岛 u 白 uy p 以功 u 研 y 讳 则l 岛 研关于乘法运算 一1 掣 戈 d o 哆 v 工 厶 厶口 z 2 如果卢 石 称d 为偶导子 若p 一 则称d 为奇导子 令 d e 哪y p i 功 是由 的所有y 次的导子组成的p i 叻的子空间 y z 2 记d e 儿 d e r l 沽o d e 儿冲显然d e 儿是p i 叻的阶化子代数 d e 比 中的元素称为l 的导子 d e 儿称为l 的导子李超代数 简称为l 的导子代数 任取z 厶池 d e 儿称为l 的内导子 由l 的所有内导子组成的李超 代数记为a d l 4 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 定义2 5 若李超代数l 岛 断的中心c d 0 且二的导子都是内导子 即d e 儿 a 血 则称李超代数l 岛 白是完备的 在 中 我们知道由一个李超代数l 和它的导子代数d e 儿可以构造一 个新的李超代数圩 d d e 儿 厶日 d 中的乘法 定义为 d 一 一1 叩e 劝 j 这里x 厶y l e d e 嘞 d d e 儿 口 p z 2 称李超代数日 d 为李超代 数l 的全形 特别地 因为a d l 是d e r l 的阶化子代数 所以 d 舭ol 是日 d 的 阶化子代数 则 d 也是李超代数 称 是l 的内全形 定义2 6 若对李超代数己的导代数序列 或降中心序列 存在一整数七 使得 l 0 或口 o 则称l 为可解的 或幂零的 定理2 1 2 设l 岛 断是域f 上的李超代数 j l 是可解的当且仅当k 是 可解的 定义2 7 1 8 设n 是幂零李超代数 白是d e m 的交换子代数 若b 中的所有元 素都是n 的半单线性变换 则称b 为n 的一个环面 若d e r n 中不存在真包含b 的n 的环面 则称b 为n 的极大环面 当b 是n 的极大环面时 b 的维数称为n 的秩 用r a i 出n 表示 从而 若b 是n 的极大环面 则d i i i l b 删咄n 若d i mb d i i i ln 则称李超代数t i 是极大秩幂零李超代数 定义2 8 设l 是李超代数 n 是l 的阶化幂零理想 若任何真包含t i 的l 的阶 化理想都不是幂零的 则称n 是l 的极大阶化幂零理想 定义2 9 设l 是域f 上的李超代数 笆是l 的一个子集 若该子集笆能作为李 超代数生成厶则称匹是l 的一个生成元组 特别 若匹的任意真子集g 7 都不能生成厶则称g 是l 的一个极小生成 元组 5 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 引理2 2 1 8 设t t 是幂零李超代数 b 是n 的极大环面 则有 1 l b t t 是可解李超代数 2 t t 关于b 有根空间分解 n 这里 口e b n 口 i 工 nl l 工 口 v b 3 存在n 的极小生成元组 x l 恐 而l 使得再 t l 1 fs l 4 令 口 b in 口 0 l 则 d i m b r a n k d i m n t t n 定义2 1 0 设t i 是幂零李超代数 b 是n 的极大环面 t t 关于b 的由根向量组成 的极小生成元组称为n 的a d b i m s g 简称b m s g 定理2 3 1 8 设t t 是极大秩幂零李超代数 b 是n 的极大环面 则l d n 是 可解完备李超代数 6 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 3 可解完备李超代数的结构 我们知道可解完备李代数一定是幂零李代数与它的极大环面之和 而且 还知道并非所有的幂零李代数与它的极大环面的和都是完备的 但是极大秩 可解李代数一定是完备的 对完备李超代数的研究表明 由极大秩幂零李超代数n 和它的极大环面 b 构成的可解李超代数l b t i 是完备的 由此结论可以知道确实存在一类 可解完备李超代数有类似于可解完备李代数的结构 本节将证明不是所有的 可解完备李超代数都有这样的结构 引理3 1 设l 是一个李超代数 且c d o 则c d e r l 0 证明设d c d e r l 于是对任意的z 厶都有 0 d a d 工 a d d x 又因为c d 0 所以a d 是l 到a d l 的同构映射 因而对任意的x l 有 d x 0 于是d o 即c d e r d o 口 定义3 1 如果李超代数l 的阶化子代数t 中任何元素都是半单的 即a d z t 是l 的半单线性变换 则称t 是l 的环面子代数 又若任何真包含t 的l 的 阶化子代数不是环面子代数 则称t 为l 的极大环面子代数 引理3 2 设上 l o 研是李超代数且c l o 则有以下结论 1 若z l 有础 d e r l b 贝q 工 上丽 2 l 的环面子代数t 是交换李代数 证明 1 对于任意的工 厶存在布 珞 坷 l 使得x 窃 奸 若 a d x 是l 的偶导子 即础 d e 儿 西 则由a d 饬也是偶导子可知a d 杆是偶导 子 即 a d 坷 d e 儿bn d e 比片 o 所以奸 c d o 因而x 岛 2 己知t 是l 岛 研的环面子代数 首先证明t 岛 7 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 任给工 t a d 工在t 上的限制记为矾工 由环面子代数的定义可知a 血是 l 上的半单线性变换 所以池 d e 蚴石 由结论 1 知 工 岛 即te 岛是李 代数 下面证明t 是交换的 由上面的讨论知t 珞是l 的子代数 因为对任意的x t a d x 是l 上的 半单线性变换 k 是l 的池不变子空间 即 a 出 岛 岛 所以 a d b 工 岛 岛是岛上的半单线性变换 故t 是岛的环面子代数 由李 代数的环面子代数是交换的可知岛的环面子代数t 是交换的 口 引理3 3 1 8 设 bo 研是李超代数 d d e 比b 则有d 仇 仇 仇 协分别为d 的半单部分和幂零部分 且均为d 的无常数项的多项式 则仇 协 d e r d 石 定理3 4 设z b n 是可解完备李超代数 其中n 是幕零李超代数 白是h 上 的极大环面 则有以下结果 1 b 是l 的极大环面子代数 n 是l 的极大阶化幂零理想 2 b 是l 的偶部幻的极大环面子代数 且b 以l 工 岛 这里 是x 的半单部分 证明 1 由b 是n 上的极大环面可知 o 且对任意的x b 工是n 上的半单线性变换 又因为c l o 所以a 以与x 等同 即a 氐x 也是 t 上的 半单线性变换 再由 工 b o 可知 池是l 上的半单线性变换 所以b 是l 的环面子代数 先证b 是l 的极大环面子代数 设b 也是l 的环面子代数且b 矿 若存在x 矿但工隹白 则存在 使得 工l b j 屹 n 工 z 1 娩 8 而砣 工一工l b 7 所以 耽 b o 且a 山勉是n 上的半单线性变换 又因为a d n 耽也是n 上的幂零线性变换 所以 耽 n 0 即 c r 1 x v l b t t 2 存在n 的b m s gip 1 眈 岛 使得研 n 嘶 1 f n 3 令 口eb iln 口 o 则对任意的i l 白 而 o 都存在口 使得 口 i 1 o 证明结论 1 与 2 是引理2 2 和定理3 4 的直接推论 如果注意到 b 满足对任给的口 都有口 i 1 o 则 鬼n o 又 见b 0 于是 l c d o 即矗 o 因此结论 3 亦成立 口 推论3 6 设l b n 是可解完备李超代数 其中n 是幂零李超代数 b 是n 上 的极大环面 则c n q t i 证明显然c n n 设 b 工 n 且z 既 m 取n 的 d m s g p l p 2 l 贝0 有 c j 1 p f x p f o 因为 p l 晚 p 是n 的b m s g 所以对任意的f 1 1 2 n l 有白岳 n n 而 x p f n n 所以 o 啦 1 句 l 白 故 t t o 即 l c l n 但 l b o 所以 l c d 0 因此结论得证 口 0 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 定义3 2 设l 白是乙阶化的超代数 若l 上的线性变换j 满足 皿 6 xh j x x l j j z 则称6 是l 上的次数映射 显然 次数映射6 是l 上的偶的线性变换 引理3 7 设厶 d 岛是乙阶化李超代数 6 是李超代数l o 马上的次数 映射 则6 d e r l 皓 证明 因为次数映射6 是l 上的偶的线性映射 所以只需证明6 是l 上 的导子即可 设工 y 是l 中的压齐次元 则 6 d e g 工 y d e g 石 d e g y z y d e g 力 工 毋 故6 d e r l 活 结论得证 口 引理3 8 设l 是李超代数 若d d e 儿 则对任意的七 z z 是正整数集 都有d 口 d 胪 证明对足用归纳法证明 当七 l 时 d d l 当七 2 时 d l l l 2 假设当七 l 时结论成立 那么当j n 1 时 d 1 d l s 口 l r 于是 对所有正整数七均有 d 口 口 同样 对忌用数学归纳法可以证明d 一 弘 口 11 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 定理3 9 存在可解的完备李超代数厶l 不能分解成一个极大环面子代数和 一个极大阶化幂零理想之和 证明此定理可由下面的例子证明 口 例设l 岛 研为李超代数 其中岛 s p a i l 工l 恐 研 s p a n 眇 l 的 基工l 耽 满足 工l 砣 工l 工l o 沈 y 0 显然l 的中心c d o 定义线性映射6 l 厶满足 6 x lh o 规ho h 可以验证6 d e 咄 由 工l 知 6 不是内导子 设d 0 d e 儿 百 则d 0 在l 的基x l 娩 y 下的矩阵形如 其中a 是d 0 1 在工l 恐下所对应的矩阵 因为b 是完备李代数 所以d o i b a d b 即存在z 岛 使得d o l a 缸 记 d o d 0 一a d 工 则 晚 埘 o 磊 机 其中z f 故 磊 舾 因此 d o 池 晒 a d l s p a n 又因为a d l ns p 觚 o 所以 d o a d 岛os p a n l 6 1 故 d e 儿活 a d 白os p 粕 6 1 1 2 k s p a n 砣 研 z 的基z l 娩 正y d l 如满足如下关系式 工l 沈 工l 最d l 一d l 经计算可得 如 弓 s p a i l 比 y 1 规 y d l y z l 瓶 一耽 豇1 s p 觚 工l 娩 d l 如 弘 s p a n x l 恐 豇3 s p a n x 1 y l o 故z 是可解李超代数 下面证明z 是可解完备李超代数 设d o d e 鲰 由引理3 8 可设 上 o 回 口3 6 口幽 l l j d b 工1 七1 x l d o 沈 恕石l 砭沈 d o 6 1 1 d o 磊 易 l 1 6 l p 1 西 f 1 2 1 3 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 由动 讧l 娩 得 从而 砭 o 由o 得 从而 口2 o 由o 他规 得 从而 口l o 由 他 得 七l 工l x l 怒规 砭j c 2 七l 砭 规 从而 口3 0 由一d l 得 从而 易2 l 6 2 3 o 由比 最如 得 o d o d 工1 瓶d o 娩 口l 勉 d o 反j d 1 境l y 一如2 d l 境3 比 d o 比 五上 0 吨 易3 1 一易3 2 d 1 玩3 如 1 4 从而 易3 l 一乜 由o 一 易l l z 2 2 石1 d o a d 一忌1 勉 乜工l 扫1 1 一幻 d 故 d e 止坛 a d 设d l d e r l t 且 d 1 回 口l l y d l 魄 口一l 1 2 d l 6 l 幽 f l 2 d l 西 6 弘l 幽 l l 由o 瓶工i 得 口l l 西 i l 2 l 1 磊 1 2 0 d l d x l 反d l 1 j l 2 口1 3 a 1 2 y 一口2 2 d l 口2 3 比 从而 口1 32 一口2 l 口2 22 口2 3 o 由o 瓶耽 得 o 反d l 娩 1 5 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 一口l l 口3 1 y 日3 2 而 口3 3 如 从而 口l l2 口3 l 口3 22 口3 32o 由 得 从而 n 1 2 易l l 易1 2 o 由一d l 得 d l d l 回 反d l 口1 2 工l 一d l d 1 d l 回 西 反d 1 似1 从而 口l l 易2 l 口1 3 6 2 2 由如 正如 得 一口l l 工1 一口1 3 砣 d l 如 d l 巧 比 瓶d l 吨 从而 口1 2 一幻2 6 3 l 0 由0 工l d 1 得 一口1 2 砣 o 穹0 d l x 1 西 规 d l 1 从而 订2 l 6 2 2 由 y 得 从而 幻2 一6 1 1 记 易2 2 一口2 1 工l 一d l d l 1 如 o 故 s p 觚 砣 6 b 又因为岛不是 交换的李代数 所以b k 于是 b s p a n j 吃 6 而哥 n 故 一耽 nnb o 矛盾 从而 z 就是满足定理3 9 的例 子 1 7 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 4 一类偶部完备的李超代数 在 2 中我们知道 任给域f 上的一个李代数 e 我们都可以由h 出 发去构造一个李超代数 其具体构造过程如下 我们令 g l eg o 且g l e 则g g log oog 1 是一个z 阶化向量空间 在g 上存在唯一的乘法运算 使得g 成为相容的z 阶化李超代数 该乘法运算 为 工 口 o 工 7 g o 工 z b z g l 口z g o z 6 b n g 1 x g o g o 工 g o z g l 口 g l z g 一卜 我们把相容的z 阶化李超代数 g 记为硝 显然 嚷 g o 磷 g l g 1 引理4 1 设日是域p 上的非零李代数 则c o 的充分必要条件为 c f 矽 o 证明若c 哪 o 任取x c 设 工 轧l 翮 z 1 觋 g f f 一1 0 l 因为 x o 所以对于1 f 有 对任意的 g o 有 从而 o l 1 o 石 加 动 y 劢 粕 c g o c z 0 1 8 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 故 工 x l g 1 即 工l 硝 o 从而工1 o 因此 c 王f o 反之 若c 0 任取z c 日 有 工 g o o o 又因为 x g l 0 所以 z c c 0 因此 c 印 o 结论得证 口 4 1 日是完备李代数的情形 当日是域正7 上的有限维完备李代数时 由引理4 1 我们知道硝的中心一 定是平凡的 那么 是否完备呢 如果 不完备 那么 上的导子又是怎 样的呢 让我们带着这两个问题来进行下面的讨论 为了讨论上的方便 我们先做一些符号上的约定 设j l 娩 而是h 的 一组基 则工l 娩 而既是g o 的基也是g l 的基 对于日中的元素x 为了 方便区分石是在g o 中还是在g 一1 中 我们规定 当工 g l 时 记为 当 工 g o 时 仍记为石 这样 g l s p a n 五 g o s p a n 却 恐 而 g i f 1 硝中的乘法 麓 巧 而 巧 麓 巧 巧 o 1 l 而 1 1 o 引理4 2 设日是域f 上的有限维完备李代数 则 d e 坛 a d 磉os p 柚 6 这里6 是 上的次数映射 即6 在 的基 x 而 1 上的作用为 6 h 一 而一o 1 卜 1 1 9 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 证明先证明a d 碟 s p 锄f 6 d e 膨b 由引理3 7 知 6 是 的偶次导子 所以 a d s p 锄 巧 d e 讲f 沽 o 1 7 又因为巧 o 且 是完备李代数 所以6 不是内导子 故 a d s p 粕 d e 培 下证 d e 石 a d 嗡 s p 锄f 6 设仇 d e b 则d o i 碟 d e 嚷 而碟 是完备李代数 所以 d o i 磉 a d 嚅 即 存在z 使得d o i 蟮2a d 啄工 令 晚 风一a d 工 则 磊 碍 o 设 由o 1 1 得 2 厶麓 从而 矗 0 f 1 2 疗 由习 1 弓 得 岛 习 凰 1 弓 1 磊 弓 2 n 幻如 驰弼 矗 d 龇 j 移 n鳅岛 喜粥 幻 锄 口0 而 从而 o 口0 曲f o 由o 嘭 弓 得 喜口 白 弓 弓 喜口 巧 f l l 扛l 2 k j x j 从而 七 0 l 2 甩 则 f 晚 即 o j f 1 2 以 西o 弓 一如弓 j 1 2 l l 岛 1 如 经验证 d o 郴 因此 d o 池 成 a d 磋 s p a n 口 推论4 3 若日是域f 上的有限维完备李代数 则 一定不是完备李超代数 证明该结果可以由引理4 2 直接得出 引理4 4 设日为域f 上的有限维完备李代数 令 则 d 1 d l e 吐芦hid l 力 0 v 工 g oog l l e h d l a d 磷 2 1 口 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 证明设d l d e 彬b 从而 f l 令 fd l 巧 i d l 弓 l id l 1 f 易玎 如 j 1 2 甩 l l 丕易扣 j f l 2 n l i 乜而 易盯 乃 d i 乃 i l d 1 弓 一 1 d 弓 弘 弓 一 即 7 易玎 2 蚤岛阮 而 7 且乃 o 1 2 以 厨 d 一a d 州 f l 则对任意的 1 2 n 有 妻锄 f l 厨 巧 d l 巧 一 钳而 即 f l 6 u 一 岛 墨 列 f if 1 0 d l 1 d l 1 一 扛l 岛 日f 所以由引理3 8 知 珧 则 风i 雕 d e r 沽 a d 磙 s p a n 即存在工 瑶 l f 使得 d o k a d 彬z m a 令 西o d o a d m 回 则岛 d e 喻 且 磊 o 岛 回 风 6 由日 bo 俨 可设 口e 晚 回 如6 帆 屯 f l 口 其中 如 厶 屯 职 俨 因为对于任意的卢 存在 l 1 使得卢 j 1 o 由o 如 从而 故 西o d o 岛 d 0 一a d o l l d o 2 7 仉q q 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 设d l e 叱 t 因为 d o a 屿 则由弓i 理3 8 知 d l 则 d l i 席 d e 肼h a 1 磷 即存在y 群 使得 d l k a d 雕y 令 西l d l 一嘶 则d l d e r z 片 且d l 月f o 设 西 6 磁 k j l 口 a 其中 屯 k b 俨 由一l 得 o d l 1 6 一 1 d l 6 一 l 岛珥 k 一 蛐 k 从而 西l 回 任取工 且工 o 由一 瓶 得 o 西 d 2 r 华东师范大学硕士论文 完备李超代数 从而 o 则 j 西l z o d l 呻 白 d e r a d z 因此 z 是完备李超代数 口 接下来我们考虑更为一般的情况 当h 是域f 上的有限维半单李代数但 不是单李代数时 d e 是否仍是完备李超代数呢 不失一般性 设 日 h lo o 风 j 2 这里 玩是日的单理想 对任意的f 1 2 j 定义 上的线性变换磊 群一硝 满足 西 磉 西 f o 西 一 置 巧 马 1 2 j 可以验证盔 d e 彬 且满足 f 西 力 o v f j 1 2 j 瓶西 西 v f i l 2 s ia d l 西 再由西的定义可知盔 d 1 任取d l d l 对任意的f 1 2 s l 记 工蛹 强 i1 五 m f 为 凰的c h e v a j l e y 生成元 由定理4 5 的证明过程可知 存在啦 f 使得对于 j l 2 m j l 有 id l 口f d l 口i d i y 厶 口 啦 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 因此 d t 口r 西 d l 乞口f 西 j l 记 z 叁 os p a n s p 锄 d l 如 以l 则 白 s p 锄 白 磷 s p 卸 如 以1 所以 由上面的讨论可知 d e 垒厶 故而 要想知道d e 是否是完备的 接下来我们只需要来讨论z 的完备性 即可 对任意的f 1 2 j 定义z 上的线性变换也 z z 满足 西 西 聊 4 6 o 西 d l 磊 西 西 z 一 巧 屿 l 2 s 可以验证毋 d e 塘 f 1 2 s 且a d 6 西 定理4 7 设z 如上 则有以下结果 1 z 不是完备李超代数 2 d e 叱b a d 岛 s p 觚 6 1 以 3 d e 叱片 a d 白 证明 1 由上面的讨论知 对任意的f f 1 2 s 毋 d e 墉 如果 我们能证明国不是z 的内导子 那么z 就不是完备李超代数 假设毋 a d 岛 不妨设 西 a d m 玎即地6 卢l 华 其 对任意的七 f 有 从而 m o 故 o 西 政 m 玎 巧 比 胁6 慨 卢l 以f 喀 国 a d m 玎巧 l 任取 凰 且 o 则有 o 西 m 玎 巧 y j l 显然矛盾 故函不可能是z 的内导子 2 只需证 d e 国石 a d 厶 s p a n 6 1 瓦 即可 根据面的定义 西 函 o 西 z 而 而 屿 j 1 2 j 以及 经计算可得 1 厶z s p a n d l 如 么 n 4 1 g 一 g 0 3 1 力 巧扛 m 芦 今 西 叫 北l卫乙 l r i t 佧叫 w 灿 酽 以鼢k似 础 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 则 设风 d e 旺b 由引理3 8 可知 d o g 1 g l d o g o g o 即存在x 使得 则 设 令 d o l d 蚝 a d o vv d o i 2a d 蟮z 0o d o d o a d 工 晚 o 凰 d e 呓b 与定理4 6 中的证明过程一样 可得 d o 6 o 鲫 聒 z m 西 其中足 z 挖f f z g 一卜 由1 可得 磊 1 晚 d 1 仁d o 1 一时 z m t 西 所以 成 1 z m 以 f 1 对任意的j 1 2 s z 马且工 0 设 西o 口 v 3 2 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 其中 口 f 与矿在g l 中线性无关 看矿 o 在工 1 的两边同时作用晚 得 o 岛 1 1 岛 枷 z 喜m 疵 娟 z 叻 口h v 从而 f 叻 口 o 且 o 则 觑 一 z m j 对任意的j 1 2 s 工 屿 设 岛蜮 幻 而 z 枘 其郜k j k l j l n l u 碌 x i j h i 由乃 抗力 得 风 仁风 西 乃一 而 z 掘 从而 j 岛 力 白 z 以 任取工 马 由工 似 得 o 协 西 西 瓯 乃 幼 工一 z 十m j 工 趴雨 k j t j i il m j 对任意的f j 取工 凰 由o 由 得 o 协 力 西 岛 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 从而 l l j k j 因此 经验证 故 嘞 幻k 磊 西 幻 1 一 西 z 晰 西 f l z 乃 岛 z m f 西 s p 锄阶 以l d l o a 血 西l o a d z 啬 s p a n 6 1 6 j l 3 设d l d e 旺h 由引理3 8 可知 d l 2 4 2 所以 又因为 d l g log o d l 1 白 d 1 1 4 1 s p a n 函 如 以 所以 d l 1 因而 d l 则 d l k d e 阴嘻 t a d 磷 s p a n d l 比 西 即存在 磷 m 1 m f 使得 令 d l i 彤 a d 彤 l f 西 d j d 一a d y m r 西 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 则西1 d e 哂 且 西l o 由h bo 日口 对任意的f l 2 j 可设 口e d l 盔 枷 幻乃 k 如 俨 卢l 畦 因为对任意的卢 存在i l b 使得卢 j 1 o 则由o 喀 1 得 从而 知 o 所以 再由o 1 西 得 从而 o 所以 o d 1 函 1 一 口 屯 嘶 d l 西 w z 玎i l j 户l o 1 d l 西 一 任给七 l 2 n l 由0 得 o 一 1 d 回 一 蛐 k 扛 l畦 从而 j d 厶函 任给j l 2 j l o 工 而0 由一 最 得 o 西 回 私 乃 工 从而 乃 一 则 西 d 1 一 西 o 3 6 瑾 日 西l 斟 k 似 研 岛 斟 d 故 因此 d l a d 白 d e r d t a d 2 r 口 4 3 几个例子 通过上面的讨论 我们构造出了一类完备李超代数 即从单李代数日出 发 首先构造出的 一定是非完备李超代数 然后得出d e 珊f 是完备李超代 数 但是当日是半单李代数而不是单李代数时 和d e r 都不是完备李超 代数 从构造的过程可以发现 存在偶部完备而本身非完备的李超代数 下 面的这个例子告诉我们确实也存在着偶部完备本身也完备的李超代数 例l 设l 岛 研为李超代数 其中l s p 锄 工l 规 断 s p a i l l l 的 基 z l 耽 y 满足 1 x l 砣 x l 工l o j 吃 一言 石1 厶 l 是完备李超代数 证明 显然 c o b 是完备李代数 设仇 d e r 百 因为 仇i 幻 d e r b a d 岛 所以 可设 ij 工1 口l z l 珧 娩 口2 x l i 仇 掣 由x l 得 口l 规 3 7 o l 西 m m 三v 甜 一d d 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 2 口规 设d l d e r l t 因为 厶l s p a n i 工l 所以由引理3 8 可设 隧基 弘 由一 规 得 一昙6 j l d l 娩 娩 d l y 由上面的讨论我们可以发现 当李超代数l b o 研的偶部b 是完备李 代数时 l 有可能完备也有可能不完备 由此很自然地想到 当岛不是完备李 代数时 那么l 是否完备呢 下面的两个例子将告诉我们 当岛不是完备李代 3 8 所以n 是极大秩幂零李超代数 由定理2 3 可知 是可解完备李超代数 l 兰b n 3 9 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 5 完备李超代数的判定定理 在李超代数的讨论中 参见 2 我们知道 设l bo 研是域f 上的李超 代数 b 是珞的c a r t 锄子代数 称b 是l 的c a n 锄子代数 l 关于b 的分解为 l b 酽 这里 畦a p l n r o 研n 酽 是l 的z 2 阶化子空间 且b 珞np 令 知 口 i 瑶 o 口 ol 瑶 岛n l 口 钾 口 i 上竿 0 鲜 断n 酽 则 知u 如 或 中的根被称为偶 或奇 根 注 1 任意一个非零根口有可能既是偶的又是奇的 2 b 上的0 线性函数一定不是l 的偶根 3 j l 关于b 的分解可以写成l b 墚 华 口e 馆 口e 1 由完备李超代数的定义我们知道 要想判断一个李超代数l 是否完备 对 l 的导子的计算是至关重要的 但很多时候计算导子并非一件易事 在 4 中 王立云把完备李代数中的一个判定定理推广到李超代数的情形 定理5 1 4 设l bo 白是域f 上的李超代数 b 是l 的c a r t 锄子代数 若 b 和l 满足以下几个条件 1 b 是交换的 2 l 关于b 的分解为 l b 丰 r b 丰 皤 譬 畦 口e 知 蚝 产 工 li a i 1 x l b 其中 gb o l 并生成b a 3 在 中有圹的生成元组口l 眈 嘶 使得 d i m p l f 1 2 z 且b 与 朋il z 生成l a 4 衅 o 知n n 口l 眈 o a 5 设却 删 乃 0 又口l 眈 昕是b 的基 则对s r 1 j d 有 a s k 一 k f l扛f l 这里k nu 0 l 扎庇 办 是1 2 的置换 忽略 中的次序和括号方式 有 刁l 一 乃l 一 札 瓢 七1 个k 个 屯 l 勘 靠 而 瓤l 一 铂 k l 个k 个 其中以 p 且南 o 4 1 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 引理5 2 4 设域f 上的李超代数l 岛 断满足上述条件 a 1 a 4 则有以 下结果成立 1 若d o d e r d 西 则存在 瑶 使得 风 1 口 矗 v 庇 b 这里 1 7 b 只与风有关而与 l 的选取无关 2 若d l d e 坳t 则存在 鲜 口 o 使得 d l 办 口 i z 机 v b 这里 只与d 1 有关而与i l 的选取无关 3 若d 1 d e 儿 t 且d l b o 则d 1 o 引理5 3 设域f 上的李超代数l 坛 研满足上述条件 a 1 一 a 4 则有 1 c d 0 2 记d o 妒 d e r li 妒 功 o v 矗 b 则 d e r l d o a d l 3 d e 畴 即d o 中所有元素都是l 的偶导子 证明 1 因为 c d b o 所以c d b 任取7 l c d 有 o 鬼 a v 口 口 又因为 生成b 所以 l 0 即c d o 2 显然d o a d l d e 儿 下证d e 儿 d o a 血 设d o d e 吐访 对任意的 7 l b 由引理5 2 知 存在只与d o 有关的 皤 使得 d 0 助 口 i 1 d o l c r i 1 j 4 2 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的 任取卢 即 瑶且即 o 有 d o 坼 矗 y o 虻 皤 口咏 对 l 即 芦 1 即两边作用风 得 卢 i 1 7 7 d 即 矗 d 瑚 肌毛一 即 蛐 善吒 卢 1 7 m 口 跆 口 j l 珑 比较等式两端 有 觑 l 磁 卢 7 脚 卢 z 埔 所以卢 1 7 o 即 知 任取y 蜥 鲜且蜥 o 有 风魄 吒 辱 对 y y l 抄y 两边作用d o 得 似 虻 d y d o 魄 肌丢砌k 蜥 见荟吃 y 机 口 i z b 蜥 口 蜣 比较等式两端 有 所以y 7 o y j 1 7 1 7 o y j 1 4 3 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果 令 而 镛u 生成b 所以 o 这意味着 d b i 1 la 1 j v l b 1 7 畦知 则对任意的 b 有 诺 风 a 帆 d e 峨 醛 百 d o 功 砒 1 畦知 口 i 1 一 口 1 口e 知 吒螗 o 风 瑞一艺砒 d o a d l 1 口6 知 设d 1 d e 嘞 由引理5 2 知 存在只与d l 有关的 等 使得 d l 而 口 l 堍 令 则对任意的i l b 有 所以d i d o q d 砒 d 啡 口 a 叫 i 1 d l j 1 a d y 口 1 吒 t 口 7 1 y 口一 口 j l 堍 口e 畦a o d l d i 一 啦口 d a d l 睢a r 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 因此 3 取任意的d d o 设 d e r l 囝o 瓤l l d 岛 巩岛 d e r l 坛 研 d e 儿片 则对任意的 l 劬 有 d 咕 琳 1 o 所以 嘣 1 殊 1 o 即研 b o 由引理5 2 知 研 o 因此 d d e r l 沽 口 定理5 4 若l 岛 研是域f 上的李超代数 且满足上述条件 a 1 a 5 则 l 是完备李超代数 证明 由引理5 3 可知 要证明l 完备 只需证明 d o d d e 儿id o v l b ca d l 即可 任取d 9 0 由引理5 3 知 d d e 峨 对任意的f 1 f d i l b 有 兀d 蕊 d 卸 d l 而 d 施 所以 d 石f p 又因为d i m 伊 1 所以 d 恐 西而 而 上 函 f l f z 4 5 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 由条件 a 5 可得 所以 d 一 七l 个k 个 d 屯 l 如 而 视l 一 一一 l 一一 岛 个k 个 以 岛 如一 恕 叱 1ss z 因为毗 眈 诉是b 的基 所以存在j l o 白 使得 啦 西 f 1 2 f 且由 一 可以验证 f li f l 于是 再由 b b o 可知 面 s 1 z a d 而 画而 d 麓 1 f z a d 1 1 1 o v l b 又b 和 pi1 f zl 生成厶所以 因此 d o 池 砒 d 口 我们再来看一下在第3 章的讨论中出现的一个完备李超代数艺 磊 弓 其中弓 s p 锄i 柏 娩 6l 薪 s p 锄id l 吃 l z 的基满足如下关系式 工 y 耽 y y 4 6 华东师范大学硕士论文 完备李超代数的若干结果 瓴西 一而 瓶如 如 d l 工l 中的括号方式有 注意到l 关于b 的分解 可以发现 珥 o 万n i n 口l 钧 鳓 d 蛳 d l m 娩 0 到此 我们发现z 是满足条件 a 1 a 5 的完备李超代数 故也可以由定理 5 4 来判别z 是完备的 由第4 章的讨论可以知道 当日是域f 上的单李代数时 z d e 膨是完 备李超代数且1 g 故z 不满足定理5 4 中的条件 a 4 因此 定理5 4 中的 条件不是必要的 4 7 华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结 参考文献 1 j e h u m p h 拶s i n 们d u c t i o nt ol i ea l g e b r 鹋锄dr e p r e s e n t a l i 锄t h c 0 b e d i n h e i d e l b e r g wy o r k 19 7 2 2 m s c h e u n n e r t 7 n l et l l e o 巧0 fl i es u p e r a l g e b r 鹤 i 胱t i l r en o t e