（基础数学专业论文）q级数展开式及其应用.pdf

摘要 本文从一个熟知的形式幂级数，( 6 ) 的展开式出发，得到了若干单边和级数与双边和级 数的转换公式，其中包括了6 5 与3 皿3 的转换公式以及6 妒5 与5 皿5 的转换公式，从而给出 了w e l l p o i s e d6 5 求和公式的新证明这些转换公式的有限形式不仅包括了著名的d i x o n 定 理的g 一模拟，还得到了类似d i x o n 定理g 一模拟的若干公式 利用该幂级数展开式我们还得到了一些经典的求和公式以及1 1 与l 砂l 间的转换公式 和2 2 与2 矽2 间的转换公式 关键词：基本超几何级数，双边和级数，单边和级数，d i x o n 定理，形式幂级数展开 式，w e l l p o i s e d6 5 求和公式，l 1 的转换公式，2 圣2 的转换公式 a b s t r a c t a b s t r a c ti nm i sp a p e r ，w eu s et l l ew e l l k n o w ng - c x p a n s i o nf b n n u l at 0p r o v es o m e 仃a n s f o r _ m a t i o nf o n n u l a so fs 嘶e sf o rl a t e r a l 锄db i l a t e r a lb a s i ch y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s u s i n gt h e s ei d e n t i - t i e s ，w er e d e r i v et h es u m m a t i o nf 0 加u l a sf o rw e l l p o i s e d6 5 s ow eh a v et h et e m i n a t i n gs u m m a t i o nf o r m u l a sa n do t h e ri d e n t i t i e s ，w i t ht h ef a m o u sq a i l a l o g u eo fd i x o n 廿l e o r e mo b t a i n e d u s i n gt h i sg e x p a n s i o nf o n n u l a ，w ea l s oh a v es o m ec l a s s i c a ls u m m a t i o nf 0 硼u l a sa n d 昀n s f o r - m a t i o nf o 肿u l a sb e t w e e nl 1 锄dl 圣1 ，b e t w e e n2 2a n d2 圣2 k 沁yw o r d s ：h y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s ，b i l a t e r a lh y p e 喀e o m e t r i cs e r i e s ， l a t e r a lh y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s ，d i x o nm e o r e m ，t l l ee x p a l l s i o nf 6 肌u l af b rp o w e rs 鲥e s ，m es u m m a t i o nf o r m u l a sf o rw e l l - p o i s e d6 5 ，仃a n s f o n n a t i o nf o 嘲u l a sf b r1 圣1a n d2 2 i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的研 究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的已公开 发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名：际疙罕 分年石月 7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其他 手段保存论文；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学 位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：际燕罕 弘暗年月7 日 习日 幻竹7 刀叫，目剐钼 名签 年 师 略 尉 沙 第一章引言 第一章引言 基本超几何级数( g 级数) 的发展，以1 7 4 8 年l e u l e r 将无穷乘积 ( 鲫) = = ( 1 一矿) 。 看成正整数n 的分拆函数p ) 的母函数为标志直到1 9 世纪上半叶，一些低阶的g 级数的 求和公式才陆续被c f g a u s s 1 6 】，a l c a u c h y 【2 5 】，e h e i n e 【2 l ，2 2 ，2 3 】发现从1 9 世纪下半 叶到2 0 世纪中叶，l j r o g e r s 2 8 ，2 9 ，3 0 】，s r 锄a n u j a n ，w n w a t s o n 2 7 】，fh j a c k s o n 【1 4 ， 2 4 】，w n b a i l e y 【2 0 】和l j s l a t e r 【2 6 】等数学家做出了不可磨灭的贡献2 0 世纪5 0 年代 到7 0 年代，可以说是g - 级数发展的黑暗期，但是g 级数的发展并没有因此而终止在数学 家g e a n d r e w s 【2 ，1 0 ，1 7 ，1 8 】和r a s k c y 【1 9 】等人的不懈努力下，g 一级数又重新获得了数学 家的认可世人重新认识到了g 级数的巨大应用前景，乃至到了2 0 世纪8 0 年代，有人称当时 有些数学家及物理学家患了g 出5 e g s e ，他们将数学的其他分支及物理领域中的一些概念和 性质都拿来g 模拟 g 。e a n d r e w s 在【1 】中比较详细的介绍了g - 级数的发展和应用，g 一级数在分析、数论、 组合学、物理和编码等很多方面都有广泛的应用口模拟使得经典的数学及其相关分支量 子化，从而产生了量子数学 双边和级数求和公式 - 雪t ( g ；6 ；口，z ) = j ；i ：爰i 瓣，1 6 口i l z l 1 ， ( 1 ，1 ) 首先是由r a m a n u j a n 【3 l 】给出，并且可以用它来证明正交性 ( 1 1 ) 式可以看作是g 一二项式定理 - 嘶) = 薹涨牡赫巾i 1 i i 水1 ， ( 1 2 ) 的推广 另外，初文昌教授在f 3 2 】中利用a b e l 方法给出了6 零6 的新证明，并且建立了一套完整的 体系 第一章引言 众所周知，t a y l o r 定理在经典的数学分析中占据很重要的地位，即对于多项式，( 3 ，) ，我 们有 他) = 差学杀扎：。 当q = 0 时，这个公式即为著名的m a c l a u r e n 展开公式 1 9 7 3 年，c 砌沱【3 】把任意形式幂级数，( ) 展开成有理函数的级数，从而首次发现了 m a c l 硼r e n 公式的口模拟，即： m ) 2 三赤 磁彬砒砒“ 大约3 0 年以后，l i u 4 】在此基础上增加了一个参数，利用g 微分算子的莱布尼茨公式，成 功的推广了c 砌n z 的展开式，得到了关于t a y l o r 定理的g 一模拟： m ) = 薹些铲 ，( 州刚k 此可 此结果在基本超几何级数中有很重要的应用刘治国教授在【4 】中利用这个展开式给 出了r o g e r s f i n e 恒等式、非中止型的6 5 求和公式和w h i p p l e 定理w a t s o n 模拟的新证明 并且推出了a n d r e w s 关于三平方数和与三角形数和的求和公式 初文昌利用反演的方法得到了以下两个形式幂级数展开式【6 】： 砌，= 薹彘锷靛掣 若令e = 0 ，a = 1 ，这个公式即为c a r l i t z 【3 】的展开式 以及 邢，= 薹嘴 6 ；口) n 泸 d 篡z ，( z ) ( z ；q ) n 一 当e = 一1 ，a = 1 时，这个展开式就是l i u 【4 】中的展开式 这两个展开式在基本超几何级数中的应用主要体现在级数重排及其g 一微分运算上 在这篇文章中，我们就从上面几个展开式出发，利用形式幂级数，( 6 ) 的展开式 3 】和【4 】， 得到了若干单边和级数与双边和级数的转换公式，从而给出了w e l l p o i s e d6 5 求和公式的新 2 第一章引言 证明，这些求和公式的有限形式就包括了著名的d i x o n 定理的g 一模拟，也得到了它们的推 广形式进一步我们利用c a d i t z 【3 】的展开式，得到了1 1 求和公式的新证明 利用该幂级数展开式我们还得到了一些经典的求和公式以及l 1 与1 西1 间的转换公式 和2 也与2 2 间的转换公式 3 第二章预备知识 第二章预备知识 我们将使用 2 】中的符号和术语记g - 升阶乘符号为： ( 0 - g ) o = l ， ( 口；g ) n = n ( 1 一口矿) ， 佗= 1 ，2 ， 当川 l 时。我们有无限乘积表达式： o o ( o ；g ) = ( 1 一d g 七) ， ( 口；g ) n = ( 口；口) ( n q n ；口) 七= 0 对任意的复数口，定义 ( o ；q ) n = ( o ；g ) ( o 旷；g ) ( 2 1 口) ( 2 1 6 ) ( 2 ，2 ) 从而有 ( 。；g ) 一n = i 五石= 要_ 石i ：= 昙；笔舌暑；三口( 三) ( 2 3 ) 我们也将采用以下q 升阶乘的简记符号： 易证 m ( 口l ，0 2 ，o m ；q ) 仃= ( 。七；g ) n ， 礼= o ，l ，o 。 ( 2 4 ) 七= l g 一二项式系数的定义为： i j = 盖 i = ( 矿，黜 基本超几何级数。也定义为： 砒( ：o ，z ) = 薹 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 第二章预备知识 若s = t + 1 ，而且q a l = 0 2 6 1 = = q 。6 t ，则称基本超儿何级数。也为w e l l p o i s e d 的；进 而如果a 2 = 口、，伍1 ，0 3 = 一q 、，伍1 ，则称基本超几何级数。也为v e 巧一w e l l p o i s e d 双边超几何级数。砒定义为： 础( ：z ) = n 曼糍卅妒水) ) t + 1 。8 少 ( 2 8 ) 如果s = t = 7 ，且0 1 6 1 = 0 2 6 2 = = 口，6 r ，则称双边超几何级数。也为w e l l p o i s e d ；进 一步如果有0 1 = 一0 2 = 9 6 1 = 一口6 2 ，则称双边超几何级数。讥为v e 巧- w e l l p o i s e d 整篇文章 中，对于非终止( n o n t e 舯i n a t i n g ) 级数和，我们都假定 1 关于变量z 的g 微分算子 1 4 】中定义为： d 。，z ，( z ) ) ：丛兰掣，d 几，：d ( d n 一1 ) ，扎：2 ，3 ，( 2 9 ) 其中磋窭为恒等算子更多符号请参见【1 3 】 g 一微分算子的l e i b n i z 公式为【1 5 】： d 霹 9 ( z ) ( z ) 】= 扩伪一n ) d 皇。( 9 ( z ) ) d 最：七 九( 矿z ) 】 ( 2 1 0 ) c a d 沱在【3 】中有如下的展开式： m ) 2 薹赢陈( 砒砒“ ( 2 1 1 ) 刘治国教授在【4 】中对上式做了如下的推广： 。 m ) = 薹些铲嘲m ；g ) 儿吲 ( 2 1 7 ) 初文昌【6 】利用反演的方法得到了以下展开式： 邢，= 薹觜 g ) n 铲 瑶。 ，( a ：) ( z ；口) 。一- ) 】 e u l e r i a l l 多项式系r ( 6 ，口) 定义【1 0 】为： r ( 6 ，口) = 1 ，r ( 6 ，口) = ( 6 一口g ) ( 6 一0 9 2 ) ( 6 一。口n ) 5v ( 2 1 3 ) 第二章预备知识 注意到 尸k ( 6 ，o ) = 扩( o g 6 ；口) n ，f k ( n g ，n ) = o ，礼1 另外，我们还需要以下v e 巧- w e l l p o i s e d 双边求和公式 匐： 3 掣b ( g ：6 g ! c 譬：d ；g ，6 c d ，9 2 ) = i ! j ：萋：兰：窆 瓣c 2 1 4 ， 6 ， c ， d k 【，c u w “q q ， 3 妒3 ( g ：6 g ：c 口：d ；g ，6 c d 9 4 ) = ! ! 二! 舌 兰：多号瓣c 2 1 5 ， 6 ， c ， d qu w “q q j 。 5 讥( ：口：6 ：g ! c ：g f ；口，6 c d 口4 ) 。2 。6 ， 1 一南 ( g ，6 c q 2 ，6 d q 2 ，c d 9 2 ；g ) 。 =-=-=-=一一 ( 1 一丢) ( 1 一j ) ( 6 ，c ，d ，抛d 9 4 ；g ) 6 第三章单边和级数与双边和级数的转换 第三章单边和级数与双边和级数的转换 。妒3 ( 口：6 ：g ! c ： 口三d ；g， 6 c d 9 2 ) = 鬻硪( o 笞：茗等：州) m ，= 鳞瓣， 。 ，( z ) ( z ；g ) n 一 z ：n 口= 器 。最。i ：考i 兰摹虢) 霉：。叮。3 ，、 = 甓糍c 蝴n 豁 一 【n ，c ，d ，o c d g ；g j o 。【o c ，o a ；g j n ：笋一踹瓣。啪n | 3 3 ) o ( 1 一口q 2 n ) ( o g 6 ，g c ，q d ；口) 。( g ，o c ，o d ，c d g ；g ) 。j ，2 、n v j 7 = = 一?一f)fyz，fj - 台 ( 响口c ，0 d ；口) n( o ，c ，d ，o 以口；g ) o o r 一7 再将( 3 3 ) 代入公式( 2 1 4 ) ，即得( 3 1 ) 7 【证毕】 第三章单边和级数与双边和级数的转换 定理3 2 设1 6 c d 9 4 i 1 ，则有 s 妒。( q z 6 ：g ：c ：g ：d ；口 = 糍硪( 口，答 = = 一e f d e _ ( o 口，o c d 9 3 ；g ) 吖。后 兹篇蜊)。包c ? q 。q d ? q 证明：设 m ，= 等等警， 则，( 6 ) 是关于6 的形式幂级数，从而 d 。 ，( z ) ( z ；口) n 一) 茁：叫= 把( 3 5 ) 代入( 2 1 2 ) ，有 ( q ，6 c 9 2 ，6 d 口2 ，甜9 2 ；口) ( 6 ，c ，d ，6 c d 9 4 ；g ) = 妻坚耩鬻筠警糍瑞挚们4 ，拜急 ( g ，6 ，口c q ，o d 口；g ) n ( o ，c ，d ，o c d 9 4 ；口) r 一7 再将( 3 6 ) 代入公式( 2 1 5 ) ，即得( 3 4 ) ( 3 6 ) 【证毕】 定理3 3 设1 6 c d q 4 i 1 ，则有 s 衫，5 ( ：三了：g ：6 ：g ! c ：g ：d ；q ，b c d 口4 ) ：- = 毒粤型垂粤婴宰 ( 3 7 ) =-=?一一 i - ， ( 1 一丢) ( 1 一；) ( n g ，c ，d ，o c d 9 3 ；口) 、7 埘s ( 口 等：茗等嗽嗌跏厅) 何，一面， 6 ，口c 口，o d g 8 衫6 4 一l g 饧 一0 v d 和 、 c 吖 一 w 砸币 凹m 面= ，哦一qo一 ，j 2 一a 牡嚣讥一心讹一砒黜嘴黔扣(，一i o 吼一； d 矗一酽鬃 一 向一曲 韭业删亟航塑“州一诹嘶一 第三章单边和级数与双边和级数的转换 证明：设 m 、l 一击 ( 口，6 c 9 2 ，务d 9 2 ，翻9 2 ；口) m ) 2 矿丽与鼍糍耥斧， 则，( 6 ) 是关于6 的形式幂级数，从而 d i z ，( z ) ( z ；口) n 一- ) z ：o 口 1 一上 o m ， 2 矿焉疗习 1 一l 2 矿哥疗习 糌旧器锱淼l 8 ， ( c ，d ；g ) 【“口2 。( z 旷，双d 9 2 ；口) o o j 。： ( - j 芍) 絮瓣勰口4 ) n ( 口，c ，d ，o c d 矿；g ) ( 口c q ，口d g ；g ) n 、。”7 17 ( g ，阮9 2 ，6 d 矿，c d 9 2 ；譬) o o ：!二一薹!二二!：；兰笔；j铲。6cdq4，n(39) ( g ，口c 口o d 口，以9 2 ；g ) o ( 1 一。口2 n ) ( o g 6 ，口2 c ，q 2 d ；q ) n j ，。4 、n u j ( n ，c ，d ，口c d 口3 ；q ) 幺 ( g 6 o c g ，n d q ；g ) n 川7 再将( 3 9 ) 代入公式( 2 1 6 ) ，即得( 3 7 ) 【证毕】 w r e l l p o i s e d6 5 求和公式的新证明 我们有如下定理： 定理3 4 设l 口6 磁l 1 ，则有 硪( n ，苌：篇叠。c 加谢) 6 妒5l ；口，口厶【di 锸，一狐，g 6 ，o g c ，o 口d ( 3 1 0 ) ( g 6 c ，g 6 d ，口g ，o 口c d ；口) 2 而瓦面i 而丽压丽焉 定理3 5 设i 跏口4 i 】= o ， 1 4 第五章其他推广 当七n 时， 瑶【，( z ) ( z ；口) n 一) z ：哪 ( - 1 ) 啄扎七涨m 蒜比 = 薹( _ 1 广嘣犍叫甓然七= 0 、171 ，“、1 1 ，“1 。“ = ( 一1 ) n z n 竺三静g n ( n 一1 ) ( _ 1 ) 啄气知丽 十妒z n 罐挚g 学a ( 。三。犯) 将( 5 2 ) 代入( 2 1 2 ) ，我们有( 5 1 ) 命题5 2 ( 2 西2 到2 垂2 的转换公式，) 证明：令 ；， 口 c 、 2 虫2 l ；g ，zl = 6 ( c ，口z ；g ) o 。 ( 6 ，z ；g ) ；， 6 c 名 、 2 虫2 i ；g， c l 毗 ( 5 2 ) 【证毕】 ! 二二；! ：；2 1 黑! ；皇； ? ! ! ! ! 三! ! 苎三- 1 2 盏6 n z n g n ( n 1 ) ( 5 3 ) ( g ，6 ；口) n ( n ；叮) 2 n + l 1、。7 。r 。；。z ) ，c = z 西z ( 。；g ，z ) ， 则，( 6 ) 是关于6 的形式幂级数 1 5 ( 5 4 ) 胁 脚 脚 第五章其他推广 所以有 瑶 ，( z ) ( z ；g ) n 一) 霉：叫 = 薹糍巾 等豪儿 = 薹镣n 器虢灶 等言手若；：兰：兰zjc+”口”c一l，(g七+l；q)。量鬻 一( o ，c ；g ) 。z n g 竹( n 一1 ( o ；g ) ( 口；口) n ( 口g n ；口) ( o ；q ) 2 n + 1 一( o ，c ；g ) n 扩口竹( n 一1 ( o ；g ) 。 ( o g ”；口) o o ( o ；g ) 2 n + 1 将( 5 5 ) 代入式( 2 1 2 ) ，命题即得 o 。 命题5 3 ( 2 西2 到2 西2 的转换公式j ，) 豁z 七( g 南+ 1 ；g ) n ( n 9 2 n + l ；g ) 彪 ( o n c g “；口) 凫七 ( 口，o 口2 n + 1 ；g ) 知。 ， n c 、 2 屯l 6d z 夕 n = 0坠罢颦磐黑烨( 吨) n g 掣 ( g ，6 ，d ；g ) ( o g ；q ) 2 n 、一7y 妻高窘黧躲( 一1 ) 倒( 咖) 血 乞( 口，由”，n 口2 1 ；g ) 七川w 叫 薹g 掣耻秀鬻挚 z 西z ( ：；：三三： ； g ，g n z ) 6 9 n d g n 1 6 ( 5 5 ) 【证毕】 ( 5 6 ) 脚 言脚 第五章其他推广 ，c 6 ，= 2 西2 ( ：三；g ，z ) ， 则，( 6 )