辽宁省凌海市七级数学下册 课后补习班辅导 有理数的混合运算—简便运算技巧（1）讲学案 苏科版.doc

有理数的混合运算简便运算技巧（1）【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数的混合运算简便运算技巧（1）“算对与算巧”求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。二. 重点、难点：有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。三. 基础回顾：（1）有理数的运算法则： 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （2）运算律： 加法交换律：abba。 加法结合律：（ab）ca（bc）。 乘法交换律：abba。 乘法结合律：（ab）ca（bc）。 乘法对加法的分配律：a（bc）abac。 （3）运算顺序及注意事项： 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。 应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。【典型例题】一. 符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“”与“”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例1. 计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二. 巧添辅助数例2. 计算：解：原式三. 巧用整体例3 购买5种物品，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需21995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2199529841006（元）说明：设购买物品i1，2，3，4，5则 ，由 2 得需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四. 巧用凑整运算例4. 计算：解：原式五. 巧用公式例5. 计算：解：原式说明：平方差公式：例6. 计算：解：原式说明：立方差公式： 立方和公式： 完全平方公式： ， 六. 巧用拆项法例7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）计算 _分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，而，同理，那么本题就不难解决了。解：原式说明：形如的分数，可以拆成的形式。例8. 解：应用关系式 来进行“拆项”。原式【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 计算：2. 已知0为数轴的原点，a、b两点对应的数分别为1、2，设p1为ab的中点，p2为ap1的中点，p100为p99的中点，求p1，p2，p3，p100所对应的各数之和。3. 计算：（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）4. 求和 （分析：由加法交