毕业设计（论文）-基于偏微分方程的图像平滑方法的研究.doc

Comment w1: 删除 成都理工大学毕业设计（论文） I 基于偏微分方程的图像平滑方法的研究 作者姓名：刘洋 专业班级：信息与计算科学 2008070201 指导教师：王茂芝 摘 要 在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。所以，消除 在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图 像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到 人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。 本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类 及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征 从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。首先介绍图像处理应用时的常用 函数及其用法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用 Matlab 软 件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向 同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究， 进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。 关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散 Comment w2: image smoothing method research based on partial differential equations 成都理工大学毕业设计（论文） II Based on partial differential equations for image smoothing method Abstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing, image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise. This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and the characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effect Key words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusion 成都理工大学毕业设计（论文） III 目 录 第 1 章 前 言1 1.1 课题研究背景1 1.2 图像平滑的研究现状2 1.2.1 领域平均法2 1.2.2 低通滤波法3 1.2.3 多图像平均法4 1.2.4 中值滤波法4 1.2.5 各向同性扩散方程6 1.2.6 各向异性扩散方程6 1.3 本文的研究目标和主要内容7 第 2 章 偏微分方程基础知识8 2.1 偏微分方程的导出与定解8 2.1.1 偏微分方程的概念8 2.1.2 几个典型的数学物理方程8 2.1.3 初边值问题9 2.2 热传导方程初值问题的求解12 2.3 二阶偏微分方程的分类与化简13 2.3.1 二阶偏微分方程的分类13 2.3.2 二阶偏微分方程的化简15 2.4 与图像处理有关的偏微分方程的例子15 第 3 章 图像的基本知识17 3.1 图像介绍17 3.1.1 图像概述17 3.1.2 图像分类18 3.2 静态灰度图像的数学模型18 3.2.1 静态灰度图像的连续模型18 3.2.2 灰度图像的离散模型20 3.3 静态彩色图像的数学模型20 3.3.1 静态灰度图像的连续模型20 3.3.2 彩色图像的数学模型20 成都理工大学毕业设计（论文） IV 3.4 动态图像的数学模型21 3.5 数字图像的采集21 3.6 图像格式23 第 4 章 数字图像处理的基本知识27 4.1 数字图像处理的概述27 4.1.1 数字图像处理技术的发展27 4.1.2 数字图像处理技术的流程27 4.1.3 低层图像处理28 4.2 滤波和滤波器29 4.3 图像增强算法30 4.3.1 平滑空间滤波30 4.3.2 锐化空间滤波30 4.4 图像还原算法31 4.4.1 噪声模型31 4.4.2 去噪算法32 第 5 章 基于偏微分方程的图像平滑34 5.1 偏微分方程的概述34 5.2 基于偏微分方程的图像平滑处理34 5.2.1 各向同性扩散方程35 5.2.2 各向异性扩散方程37 5.3 图像平滑的实验分析38 5.3.1 传统图像平滑方法分析38 5.3.2 偏微分方程图像平滑方法分析42 结 论48 致 谢50 参考文献51 成都理工大学毕业设计（论文） 1 第 1 章 前 言 1.1 课题研究背景 21 世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重 要作用。据统计，人类从自然界获取的信息中，视觉信息占 75%85%。俗话说 “百闻不如一见”，有些场景或事物，不管花费多少笔墨都难以表达清楚，然而， 若用一幅图像描述，可以做到一目了然。可见，在当代高度信息化的社会中， 图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大，在图像处理领域，数字图像处 理得到了飞速发展。 早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅，尽管图像处理与分析与计算 机科学有很强的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正 确性没有得到很好的证明，图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究 者数学功底的增强，同时，由于该领域的巨大市场需求吸引了越来越多的数学 工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展。图像增强、图像恢复和图像 分割是图像处理与分析中的主要问题，对图像进行平滑和边缘检测等处理是常 用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低通滤 波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很 敏感的，图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方 法难以处理这类问题。由于基于 PDEs 的图像处理方法在平滑噪声的同时可以 使边界得到保持，因此在图像处理中得到广泛的运用。 基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的 研究工作可从 Nagao,rudin 等关于图像光滑和图像增强的研究以及 Koenderink 对于图像结构的探索。 图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分 割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就 的边界。其中 Mumford-Shah 模型是较为常用的方法。具体算法略。第二是图 像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984 年，Koenderink 发现了图像信号 经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制 条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的 AMSS 方 Comment w3: 邻域 成都理工大学毕业设计（论文） 2 程。 基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括 图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、 彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。 一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展， 人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程 的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。 我国的研究人员在这个领域关注的比较晚，从 20 世纪 90 年代到现在也取得 了很多骄人的研究成果。 1.2 图像平滑的研究现状 图像平滑也称为图像去噪，是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后 继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。 图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转 换过程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起 的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不连续性或粒 子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。一个较好的去除噪声的 方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的 同时有效地保持空间分辨率。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的 好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声 模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像 中原本没有的、由噪声所带来的细节。 图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处 理或局部处理，亦可以按线性平滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介 绍几种简单的图像平滑的方法. 1.2.1 领域平均法 邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像为 )(yxf，NM 的阵列，平滑处理后得到的图像为,由式（1.1）决定)(yxg，)(yxg， 成都理工大学毕业设计（论文） 3 (1.1) snm nmf M yxg , ),( 1 ),( 式中的=0 , 1 , 2 ， ,点邻域中心点的坐标的集合，yx，)(1yxSN，是， 但不包括点，内坐标点的总数。平滑化的图像的每个像素)(yx，SM是)(yxg， 的灰度值由包含在的预定邻域中的的几个像素的灰度值的平均)(yx，)(yxf， 值所决定。 以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像 产生模糊，邻域越大，模糊越厉害。 为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的 平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值 时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法 模糊度减少。 1.2.2 低通滤波法 这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它 的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变 部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声， 从而使图像得到平滑。 利用卷积定理，可以写成以下形式 )()()(vuFvuHvuG， （1.2） 其中是含噪图像的傅里叶变换，是平滑后图像的傅里叶变)(vuF，)(vuG， 换，是传递函数。利用使的高频分量得到衰减，得到)(vuH，)(vuH，)(vuF， 后再经过反变换就得到所希望的平滑图像了。)(vuG，)(vug， )(yxf，),(vuF),(vuG),(vug 图 1-1 低通滤波平滑图像的处理框图 FFT 线性滤波器 ),(VUH IFFT 成都理工大学毕业设计（论文） 4 由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重 的模糊和振铃现象。 1.2.3 多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并 且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目 的。 设为有噪声图像 ，为噪声，为原始图像，可)(yxf，),(yxn),(yxg),(yxg 用（1.3）式表示： ( , )( , )( , )f x yg x yn x y （1.3） 多图像平均法是把一系列有噪声的图像 叠加起来，然后再取平均),(yxf 值以达到平滑的目的。 当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪 声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使 相应的像素能正确地对应排列。 1.2.4 中值滤波法 （1）对某些输入信号中值滤波的不变性 对某些特定的输入信号，如在窗口内单调增加或减少的序列，中值滤波输 出信号仍保持输入信号不变，即：或 niini fff ，则。 niini fff ii fy 33 方形窗口中值滤波 55551111 55501111 55551101 55551111 50551111 55551111 555111 555111 555111 555111 成都理工大学毕业设计（论文） 5 33 方形窗口中值滤波 00100 00100 00100 00100 00100 00000 00000 00000 00000 00000 33 方形中值滤波 1111111111 1111111111 1155555511 1155555511 1155885511 1155885511 1155555511 1155555511 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1111111111 1111111111 (a) 原始图像 (b)中值滤波输出 图 1.1 中值滤波不变性示例 二维中值滤波的不变性如图 1.1 所示。它不但与输入信号有关，而且还与 窗口形状有关。一般与窗口对顶角连线垂直的边缘线保持不变性。利用这个特 点，可以使中值滤波既能去除图像中的噪声，又能保持图像中一些物体的边缘。 对于一些周期性的数据序列，中值滤波对此序列保持不变性。例如，下列 一维周期性的数序列 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, i f 若设窗口长度为 9，则中值滤波对此序列保持不变性。对于二维周期序列不 变性，如周期网状结构图案，分析起来就更复杂了，可以通过试验改变窗口形 状和尺寸来获取。 （2）中值滤波去噪声性能 对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出的噪声方差近似为 2 med （1.4） 2 1 2 )(4 1 2 2 2 m mmf i med 成都理工大学毕业设计（论文） 6 式中：为输入噪声功率（方差） ，为中值滤波窗口长度（点数） ，为 2 i mm 输入噪声均值，为输入噪声密度函数。)(mf 而均值滤波的输出噪声方差为 2 0 22 0 1 i m （1.5） 比较两公式，可以看出，中值滤波的输出与输入噪声的密度分布有关。对 随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差一些。但对脉冲干扰，特别是 脉冲宽度小于 m/2、相距较远的窄脉冲干扰，中值滤波的效果较好。 （3）中值滤波的频谱特性 设 G 为输入信号频谱，F 为输出信号频谱，定义中值滤波的频率响应特性 为 （1.6） 试验表明，中值滤波频谱特性起伏不大，其均值比较平坦。可以认为信号 经中值滤波后，频谱基本不变。这一特点对设计和使用中值滤波器很有意义。 1.2.5 各向同性扩散方程 传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像 的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩 散。 如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度 较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似 地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区 域的迁移过程，称之为热传导。若以函数表示浓度随空间和时间)(tzyxu， 的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度来刻画，于是可以将杂质在宏观u 上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力-所推动的，这里负号表示作用u 力指向u值减小的方向。 F G H 成都理工大学毕业设计（论文） 7 1.2.6 各向异性扩散方程 （1）P-M模型 为了达到去噪同时保护边缘，可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像 的局部特征。具体来说，在图像比较平坦的区域，传导系数能自动增大。这可 使平坦区域中较小的起伏被平滑；而在图像的边缘附近，传导系数能自动减小， 可使边缘几乎不受影响。 Perona和Malik引入的各向异性扩散方程是这个领域最有影响的工作。他们 提出用保边界的具有方向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器。他们的研究 开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。 （2）Catte模型 理想的扩散系数要使得式在图像均质区域内扩散程度大以利于噪声消除； 在边缘区域内扩散程度小以利于保持边缘。Catte 等人指出P-M 方法是“病态” 的，输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker 证明P-M 方法处理所得的 图像受“阶梯”效应干扰，视觉效果差。 1.3 本文的研究目标和主要内容 图像在获取和传输过程中，往往受到噪声的干扰，而降噪的目的是尽可能 保持原始信号主要特征的同时，除去信号中的噪声。目前的图像去噪方法可以 将图像的高频成分滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但同时破坏了图像细 节。边缘特性是图像最为有用的细节信息，本文对邻域平均法、中值滤波法、 维纳滤波法及偏微分方程的各向异性扩散方程方法和各向同性方程方法的图像 去噪算法进行了研究分析和讨论。 本文共分为六部分，具体内容安排如下： 前言，介绍所研究课题的研究背景、意义，国内外研究现状，以及课题 的研究思路、研究内容。 第二章，偏微分方程的基础知识，简单介绍了偏微分方程的概念和几种 常见的偏微分方程，及偏微分方程在图像处理中的几个例子。 第三章，简单地介绍了图像的基本知识，介绍了图像的概念、分类、图 像的采集、图像的模型和常见的图像的格式。 成都理工大学毕业设计（论文） 8 第四章，简单地介绍了数字图像处理的基本知识，介绍了数字图像处理 的发展状况，说明了数字图像处理的流程以及图像增强算法和图像还 原算法。 第五章，研究了基于偏微分方程图像平滑的方法，简单的介绍了各向同 性扩散方程和各向异性扩散方程方法，用实验验证了偏微分方程的图 像平滑方法。 第六部分给出了本文的研究结论，对比了传统的图像平滑方法和基于偏 微分方程图像平滑方法。 第 2 章 偏微分方程基础知识 2.1 偏微分方程的导出与定解 2.1.1 偏微分方程的概念 如果一个微分方程中待求解的未知函数只有一个自变量，那么这个方程是 常微分方程；如果未知函数有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量 的各阶偏导数，那么，这样的微分方程就称为偏微分方程。 偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有 的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只 受到一个 因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必 须用偏微分方程才能描述并求解，需要指出的是，大多数的偏微分方程都与某 个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的，在早期的研究 过程中，这样的实际问题大多来源于物理学范畴，所以偏微分方程也经常被称 为数学物理方程，因此偏微分方程从一开始就是一问应用性极强的数学分支。 与常微分方程的研究过程有所不同的是，数学家们在试图建立偏微分方程 研究的一般性理论时一再受挫，最终不得不放弃了这种企图，偏微分方程是十 分复杂的研究对象吗，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度；至 于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提 出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越 来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的 研究内容，同 成都理工大学毕业设计（论文） 9 时也促进了许多其它数学分支的发展。 2.1.2 几个典型的数学物理方程 一个物理量往往是空间位置（）和时间 的函数，例如，某个区域zyx，t 中温度的分布和变化，就可以用来表示，有了这个函数，就)(zyxtuu， 能知道这个区域内各点在各个时刻的温度，在物体内部不具有热源的情况下， 它的温度分布应该满足 ），（其中0)( 2 2 2 2 2 2 2 a z u y u x u a t u （2.1） 这里，是传热系数，是热容量。 Q k a 2 kQ （2.1）被称为热传导方程，热传导方程，因为它表示了一种传热过程；其实一种化学物 质在溶液中的浓度也同样满足（2.1） ，所以它有时也被称为扩扩)(zyxtuu， 散方程散方程。 当物体处于热稳定状态时，也就是说，此时它的温度处于不随时间变化而 改变的状态，那么温度就满足方程u 0 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u （2.2） 方程（2.2）称为拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）方程）方程，或称为调和方程调和方程，它除了表 示热的平衡外，也可以用来表示真空中静止的电磁场、经典的引力场、或流体 的某种稳态流动等。 类似地，当声波在空气中传播时，如果表示压强的小扰动，那么满足uu (其中) )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 0a （2.3） 这里是声音在空气中的传播速度，方程（2.3）不仅用来表示声波，也可a 以用来表示电磁波或其它的波动，一般称为波动方程波动方程。 成都理工大学毕业设计（论文） 10 上述三种方程是物理学中最早出现的偏微分方程，18 世纪以来，它们就被 认为是最典型的数学物理方程。对这三种方程的求解，能够解释许多重要的物 理现象，因此有广泛而重要的应用。 2.1.3 初边值问题 对于波动方程，最典型的求解问题是初始值问题初始值问题，或称为柯西问题柯西问题，即： 求波动方程（2.3）中的解，使其满足u (2.4)()0()()( 10 zyxuzyx t u zyxuzyxou， 上式称为初始条件初始条件，其中的和是已给的函数，他们)( 0 zyxu，)( 1 zyxu， 分别表示在时刻 =0 时的波的形状和关于 的变化率。tt 我们先考虑一维的情形，此时（2.3）化为弦振动方程 0 2 2 2 2 2 x u a t u （2.5） 相应的初始条件为).()0()()0( 10 xux t u xuxu ， 作变换则方程（2.5）化为，atxatx 0 2 u 从而（2.5）的通解为 (2.6)()(atxgatxfu 这里和是任意的两个具有连续二阶导数的函数， （2.6）的含义是，弦fg 的横振动是由一个向右传的波和一个向左传的波叠加而成的，)(atxf)(atxg 之所以被称为向右传的波，是因为当 取不同值时，的波形总是一样)(atxftu 的，但以速度向右推移；含义类似。a)(atxg 代入初始条件，我们得到弦振动的达朗贝尔（d Alembert）公式： = （2.7）Udu a atxuatxu atx atx )( 2 1 2 )()( 0 在高维的情形下，相应的求解过程要复杂的多，这时可以利用傅里叶 （Fourier）变换求解，我们把记为 x=()又记)(zyx， 321 xx,x， 成都理工大学毕业设计（论文） 11 ，定义），（ 321 321321 ),()(dxdxdxexxxff xi （2.8） 其中为向量内积，我们称为的傅里叶变换，当 332211 xxxx)( f)(xf 时具有连续偏导数的函数，且及其导数当时速降，则不仅有),( 321 xxxffx)( f 意义，而且 (2.9) 321321 - 3 ),( )2( 1 )( dddefxf xi 式（2.9）称为傅里叶逆变换，另外还有 (i=1,2,3) (2.10) 321321 ),()(dxdxdxexxx x f fi xi i i 等公式，它表明求导运算经傅里叶变换后化为乘法运算. 用傅里叶变换求解偏微分方程（以波动方程为例）初始值问题的基本思路 是： 第一步，对方程（2.3）的初始条件（2.4）作关于变量（）的傅里叶变zyx， 换，并利用性质（2.10） ，从而得到含参数的关于 t 的常微分方程初始值问题： ua dt ud )( 2 3 2 2 2 1 2 2 2 （2.11） )(),( 1000 u dt ud uu tt （2.12）第二步，解常微分方程初值问题（2.11） ， （2.12） ，从而得出 a ta utautu )sin( ),()cos(),(),( 32113210321 （2.13） 其中. 2 3 2 2 2 1 第三步，作的傅里叶逆变换，得出所求的解，这),( 321 tu ),( 321 tu 一运算过程比较复杂，最后结果是： 成都理工大学毕业设计（论文） 12 at t at t tt dslxu ta dslxu tat dsatlxatu a dsatlxatu at xtu )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 ),( 1 1 2 0 1 2 11 1 10 1 （2.14） 这就是解波动方程初始值问题的“泊松（Poison）公式”，式中 是用向量表l 示的积分变量，是球面的面积元素，特别地，在最后的表)( 1at dsds)( 1atll 达式中，积分是在沿以为中心，为半径的球面上进行的。xat 上述用傅里叶变换求解偏微分方程的思想可归纳为下述图表： 解 傅里叶逆变换 ),( xtu),(tu 解常微分方程 初始条件 傅里叶变换 初始条件 10,u u 1 0,uu 有时候我们考虑的偏微分方程求解问题与边界有关，比如我们来考虑有限 物体的温度分布，设该物体占据三维空间的某个有界区域，他的边界有 一定的光滑性，显然物体所处的环境肯定会对物体的温度分布产生影响，如果 物体表面的温度是给定的，即 xxtgxtu x ),(),( （2.15） 且当时的温度为0t （x 为向量） )(), 0( 0 xuxu （2.16） 因此，我们要求的既要满足热传导方程（2.1） ，又要满足初始条件),( xtu （2.16）和边界条件（2.15） ，求解这样的问题，称为偏微分方程的初边值问题初边值问题. 初边值问题可用分离变量法（即傅里叶变换法）求解，这是法国数学家傅 里叶提出的，对数学及其各个领域的应用产生了重要的影响。 成都理工大学毕业设计（论文） 13 2.2 热传导方程初值问题的求解 本节我们讲述如何利用傅里叶变换来求解这一类问题，为了方便用式子右 上角叫记号表示傅里叶的逆变换，于是 ff ）（ 考虑以下初值问题 0,),( 2 2 2 txtxf x u a t u xxuxu),() 0 , ( 0 （2.17） 在上式两边关于变量作傅里叶变换，得到x ),( 22 tfua dt ud )( 1 t u 解之得， defetu ta t ta)( 0 2222 ),(),( 经傅里叶变换得到 dftxKddtxKtxu t ),(),()(),(),( 0 （2.18） 其中 0, 0),( ; 0, 2 1 ),( )4/( 22 ttxK te ta txK tax （2.19） 成都理工大学毕业设计（论文） 14 通常称（2.18）为泊松（泊松（Poisson）公式）公式 ， 称为),();,(txKtx 热传导方程的基本解基本解。 定理定理 2.1 若且有界，则由泊松公式（2.18）确),()(Cx0),(txf 定的函数是初值问题（2.17）的解有界。 2.3 二阶偏微分方程的分类与化简 2.3.1 二阶偏微分方程的分类 前面介绍过三个典型的偏微分方程分别是： （波动方程） fua t u 2 2 2 （2.20） （热传导方程） （2.21）fua t u 2 （位势方程） fu （2.22） 其中为 Laplace 算子，的函数，其)()( 11 1 2 2 txxxxf x mm m i i ，或，是， 中 a 是常数， （2.22）中当=0 为调和方程，很显然，他们都是二阶线性偏微分f 方程。 二阶偏微分方程的一般形式是 fcu x u b xx u a i m i i ji m ji ij 1 2 1， （2.23） 其中的函数，因此上面提到的这三个方程都是)( 1mijiij xxfcbaa，都是、 它的特例。以 A 表示矩阵，对于波动方程，取 m=n+1,则 mjiij a ,.,2, 1, )( 1 n xt A= 1 2 2 aO Oa 成都理工大学毕业设计（论文） 15 对于热传导方程，取，则 1 , 1 n xtnm A= 0 2 2 aO Oa 1 1 n