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第60课 椭圆(本课对应学生用书第136-139页)自主学习回归教材1. 椭圆的定义平面内与两个定点f1,f2的距离的和等于定长(大于f1f2)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,用符号表示为pf1+pf2=2a(2af1f2).2. 平面内,到定点f(c,0)的距离与到直线l:x=的距离之比是常数(ac0)的动点的轨迹叫作椭圆.定点f(c,0)是椭圆的焦点,直线l叫作椭圆的准线.3. 椭圆+=1(ab0)的焦点为(c,0),其中c=,焦点f1(-c,0)对应的准线为x=-,焦点f2(c,0)对应的准线为x=.4. 椭圆+=1(ab0)的离心率e=是椭圆上任意一点m到焦点f的距离与点m到焦点f对应的准线的距离的比.椭圆越扁,离心率越大越小;椭圆越圆,离心率越小.?5. 椭圆的焦半径公式:椭圆+=1(ab0)上任意一点m(x0,y0)到左焦点的距离为a+ex0,到右焦点的距离为a-ex0,其中e为椭圆的离心率.6. 点p(x0,y0)和椭圆+=1的位置关系:(1) 点p在椭圆内+1.1. (选修1-1p26习题2改编)已知椭圆c:+=1(ab0)的焦距为4,且过点p(,),那么椭圆c的方程为.答案+=1解析因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆c过点p(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆c的方程为+=1.2. (选修1-1p26习题2(4)改编)经过点a与b的椭圆的标准方程为.答案+y2=1解析设椭圆方程为mx2+ny2=1,因为椭圆经过点a,b,所以解得m=,n=1,故所求椭圆的方程是+y2=1.3. (选修2-1p28习题4改编)“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)答案充要解析将方程mx2+ny2=1转化为+=1.根据椭圆的定义,要使方程表示焦点在y轴上的椭圆,必须满足0,所以mn0.同理,由mn0,可得方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆.4. (选修1-1p26习题3改编)已知f1,f2是椭圆+=1的两个焦点,过点f1作倾斜角为的直线与椭圆交于a,b两点,那么abf2的周长为.答案16解析根据椭圆的定义可知af1+af2=8,bf1+bf2=8,所以三角形周长为ab+af2+bf2=af1+af2+bf1+bf2=16.5. (选修1-1p26习题4改编)若椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,两焦点分别为f1,f2,m为椭圆上一点,且f1f2m的周长为16,则椭圆c的方程是 .答案+=1解析设椭圆c的半焦距为c,则 =,即c=a
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