（教师用书）高考数学一轮总复习 第八章 立体几何初步课时训练 理.docVIP

第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系1. 如图，直线ab、ad，直线cb、cd，点eab，点fbc，点gcd，点hda.若直线eh直线fgm，则点m在_上答案：直线bd(或、的交线)解析：根据平面的基本性质知点m在直线bd(或、的交线)上2. 直线a及不在直线a上的不共线三点，可以确定平面的个数是_答案：1个、3个或4个解析：先考虑平面最多的情形，再考虑它们可能重合的情况3. 若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对答案：24解析：正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以ac为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是ab，bc，ad，cd，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)4. 一个正方体的展开图如图所示，a、b、c、d为原正方体的顶点，则在原来的正方体中下列结论正确的是_(填序号) abcd； ab与cd相交； abcd； ab与cd所成的角为60.答案：解析：如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见不正确图(b)中，deab，cde为ab与cd所成的角，cde为等边三角形， cde60.正确5. 已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b_(填序号) 一定是异面直线； 一定是相交直线； 不可能是平行直线； 不可能是相交直线答案：解析：如图所示，图(1)中，b与c相交，图(2)中b与c异面，假如bc， ac， ab这与a，b异面矛盾， b与c不可能为平行直线6. 在正方体abcda1b1c1d1中，已知p、q分别是aa1、cc1的中点，则过点b、p、q的截面的形状是_答案：菱形解析：先证截面bpd1q是平行四边形，再证是菱形7. 如图，g、n、m、h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填序号)答案：解析：图中，直线ghmn；图中，g、h、n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连结mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g、m、n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以图中gh与mn异面8. 如图，abc和abc的对应顶点的连线aa、bb、cc交于点o，o在平面abc和平面abc之间，且，则_答案：解析：由题设条件知， abcabc. .9. 如图所示，o1是正方体abcda1b1c1d1的上底面a1b1c1d1的中心，m是对角线a1c和截面b1d1a的交点求证：o1、m、a三点共线证明： a1c1b1d1o1，b1d1平面b1d1a，a1c1平面aa1c1c， o1平面b1d1a，o1平面aa1c1c. a1c平面b1d1am，a1c平面aa1c1c， m平面b1d1a，m平面aa1c1c.又a平面b1d1a，a平面aa1c1c， o1、m、a在两个平面b1d1a和平面aa1c1c的交线上，由公理3可知o1、m、a三点共线10. 在梯形abcd中，abcd，e、f分别为bc和ad的中点，将平面cdef沿ef翻折起来，使cd到cd的位置，g、h分别为ad和bc的中点，求证：efgh为平行四边形证明： 梯形abcd中，abcd，e、f分别为bc、ad的中点， efab且ef(abcd)又cdef，efab， cdab. g、h分别为ad、bc的中点， ghab且gh(abcd)(abcd)， ghef且ghef， efgh为平行四边形11. 已知：如图，空间四边形abcd中，e、h分别为bc、ab的中点，f在cd上，g在ad上，且有dffcdgga23，求证：直线ef、bd、hg交于一点证明：连结eh、ac、fg. e、h分别为bc、ab的中点， ehac，且ehac. dffc23，dgga23， fgac，fgac， ehfg且ehfg， e、f、g、h四点共面且ef与gh不平行 ef与gh相交设efgho，则ogh，oef， gh平面abd，ef平面bcd， o平面abd，o平面bcd. 平面abd平面bcdbd， obd， 直线ef、bd、hg交于一点第2课时直线与平面的位置关系(1)1. 过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面有_个答案：0，1或无数解析：当两点所在的直线与直线l平行时，可以作无数个平面与l平行；当两点所确定直线与直线l异面时，可以仅作一个平面与直线l平行；当两点所在的直线与直线l相交时，则不能作与直线l平行的平面2. 不同直线m、n和不同平面，给出下列命题： mn； n； m，n不共面； mn.其中，假命题的个数是_个答案：4解析：中m与n可能平行，也可能异面，中可能n，中可能mn，中不知道与的位置，无法判断m与n的关系，故四个命题全不正确3. 如图，在空间四边形abcd中，mab，nad，若，则mn与平面bdc的位置关系是_答案：平行解析： mab，nad， mnbd. mn平面bdc，bd平面bcd， mn平面bdc.4. 一条直线l上有相异三个点a、b、c到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是_答案： l或l解析：l时，直线l上任意点到的距离都相等；l时，直线l上所有点与距离都是0；l时，直线l上只能有两点到距离相等；l与斜交时，只能有两点到距离相等5. 若空间四边形abcd的两条对角线ac、bd的长分别是9、17，过ab的中点e且平行于bd，ac的截面四边形的周长为_答案：26解析：过ab的中点e且平行于bd、ac的截面四边形是连结各边中点的平行四边形，周长为两对角线之和所以答案为26.6. 在正方体abcda1b1c1d1中，平面aa1c1c和平面bb1d1d的交线与棱cc1的位置关系是_，截面ba1c1和直线ac的位置关系是_答案：平行平行解析：如图所示，平面aa1c1c平面bb1d1doo1，o为底面abcd的中心，o1为底面a1b1c1d1的中心， oo1cc1.又aca1c1，a1c1平面ba1c1，ac平面ba1c1， ac平面ba1c1.7. 过三棱柱abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条答案：6解析： 四条棱ac、bc、a1c1、b1c1的中点中任意两点连线均与平面abb1a1平行，所以共有6条直线符合题意8. 与不共面的四点距离相等的平面个数为_答案：7个解析：两个点在一边，另两个点在另一边的满足条件的面有3个，三个点在一边，一个点在另一边的满足条件的面有4个，共7个9. 已知四面体abcd中，m、n分别是三角形abc和三角形acd的重心，求证：(1) mn平面abd；(2) bd平面cmn.证明：(1) 如图所示，连结cm、cn并延长分别交ab、ad于g、h，连结gh、mn. m、n分别为abc、acd的重心， . mngh.又gh平面abd，mn平面abd， mn平面abd.(2) 连结am、an并延长分别交bc、cd于e、f，连结ef.同理mnef，又e、f分别为bc、cd的中点， bdef. bdmn.又mn平面cmn，bd平面cmn， bd平面cmn.10. 如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，e、e1分别是棱ad、aa1的中点设f是棱ab的中点，证明：直线ee1平面fcc1.证明：(证法1)取a1b1的中点为f1，连结ff1、c1f1，由于ff1bb1cc1，所以f1平面fcc1，因此平面fcc1即为平面c1cff1.连结a1d、f1c，由于a1f1d1c1cd，所以四边形a1dcf1为平行四边形，因此a1df1c.又ee1a1d，得ee1f1c，而ee1平面fcc1，f1c平面fcc1，故ee1平面fcc1.(证法2)因为f为ab的中点，cd2，ab4，abcd，所以cdaf，因此四边形afcd为平行四边形，所以adfc.又cc1dd1，fccc1c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，所以平面add1a1平面fcc1.又ee1平面add1a1，所以ee1平面fcc1.11. 如图，四棱锥eabcd中，eaeb，abcd，abbc，ab2cd.(1) 求证：abed；(2) 线段ea上是否存在点f，使df平面bce？若存在，求出的值；若不存在，说明理由(1) 证明：取ab中点o，连结eo、do.因为eaeb，所以eoab.因为abcd，ab2cd，所以bocd，bocd.又abbc，所以四边形obcd为矩形，所以abdo.因为eodoo，所以ab平面eod.所以abed.(2) 解：点f满足，即f为ea中点时，有df平面bce.证明如下：取eb中点g，连结cg、fg.因为f为ea中点，所以fgab，fgab.因为abcd，cdab，所以fgcd，fgcd.所以四边形cdfg是平行四边形，所以dfcg.因为df平面bce，cg平面bce，所以df平面bce.第3课时直线与平面的位置关系(2) 1. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是_(填序号) 平行； 垂直； 相交不垂直； 不确定答案：解析：三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直2. 若一条直线l上有两个点到平面的距离相等，则l与的关系是_(填序号) 平行； 相交； 垂直； 不确定答案：解析：当l时，直线l上所有点到的距离都相等；当l与相交(包括垂直)时，对于l上任一点p，在平面另一侧的直线上总存在一点p，有p、p到平面的距离相等， 不确定3. 有以下四个命题： 在空间中，垂直于平行四边形对边的直线，必垂直于另两边； 在空间中，垂直于三角形两边的直线必垂直另外一边； 在空间中，垂直于梯形两底的直线必垂直两腰； 若mn，n，则m.上述命题中，错误的个数为_答案：3解析：错，正确，错，错4. 已知平面、和直线m，给出条件： m； m； m； .当满足条件_时，有m.(填序号)答案：解析：若m，则m.故填.5. 平行四边形abcd的对角线交点为o，点p在平面abcd之外，且papc，pdpb，则po与平面abcd的关系是_答案：垂直解析： papc， poac. pbpd， pobd. acbdo， po平面abcd.6. 正三棱柱abca1b1c1的各棱长都是2，e、f分别为ab、a1c1的中点，则ef长为_答案：解析：取a1b1中点h，连结eh、fh，则eh2，fh1，且ehf为直角三角形 ef.7. 已知a、b两点在平面的同侧，ac于c，bd于d，且adbce，ef于f，aca，bdb，那么ef的长等于_答案：解析：由下图可知，有1，所以ef.8. 在abc中，acb90，ab8，abc60，pc平面abc，pc4，m是ab上一个动点，则pm的最小值为_答案：2解析： pc平面abc，cm平面abc， pccm， pm.要使pm最小，只需cm最小，此时cmab， cm2， pm的最小值为2.9. 如图，已知空间四边形abcd的边bcac，adbd，becd，e为垂足，作ahbe于h，求证：ah平面bcd.解：取ab的中点f，连结cf、df， acbc， cfab. adbd， dfab， ab平面cdf.又cd平面cdf， cdab.又cdbe，cd平面abe， cdah.又ahbe，becde， ah平面bcd.10. 在三棱柱abca1b1c1中，已知abacaa1，bc4，点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.试在侧棱aa1上确定一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长解：连结ao，在aoa1中，作oeaa1于点e，因为aa1bb1，所以oebb1.因为a1o平面abc，所以a1obc.因为abac，oboc，得aobc，又a1oaoo，a1o、ao平面aa1o，所以bc平面aa1o，又oe平面aa1o，所以bcoe，而bb1bcb，bb1、bc平面bb1cc1所以oe平面bb1c1c.又ao1，aa1，得ae.11. 如图所示，abc中，b为直角，p是abc外一点，且papb，pbbc.若m是pc的中点，试确定ab上点n的位置，使得mnab.解： cbab，cbpb，abpbb， cb平面apb.过m作mecb，则me平面apb， meab.若mnab， memnm，则ab平面mne， aben.取ab中点d，连结pd， papb， pdab， nepd.又m为pc中点，mebc， e为pb中点 enpd， n为bd中点，故当n为ab的四等分点(ab4bn)时，mnab.第4课时平面与平面的位置关系1. 两平面分别过两平行线中的一条，则这两平面的位置关系是_答案：平行或相交2. 给出下列命题： 平行于同一直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行； 正方体abcda1b1c1d1中，平面acd1与平面a1bc1平行其中正确的是_(填序号)答案：解析：正方体abcda1b1c1d1中，平面bcc1b1与平面cdd1c1都与aa1平行，但此两平面交线为cc1，故错误正确正确，bc1ad1，a1bcd1，由两面平行判定定理的推论知，平面a1bc1平面acd1.故填.3. 设a、b是异面直线，、是两个平面，且a，b，a，b，则当_(填一种情况即可)时，有.答案：ab(开放题，答案不唯一)解析：可以填ab，也可以填a或b，都可以证明其结论正确4. 若有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是_(填序号) 若m，n，则mn； 若m，n，m，n，则； 若，m，则m； 若，m，m，则m.答案：解析：如图(1)，m，n，有m，n，但m与n可以相交，故错；如图(2)，mnl，l，有m，n，故错；如图(3)，l，m，ml，故错故选.5. 设、是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出四个论断：b；a；ab；a.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：_答案：或解析：若b，a，ab，a，且b，则a，即；若b，a，a，则ab，即.6. 已知，a、c，b、d，直线ab与cd交于点s，且as8，bs9，cd34.(1) 当s在、之间时，cs_；(2) 当s不在、之间时，cs_答案：(1) 16(2) 272解析：(1) 如图所示， ab与cd相交于s， ab、cd可确定平面，且ac，bd. ， acbd，则有，即， ， cs16.(2) 如图所示，由(1)知acbd，则有，即.解得cs272.7. 在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.答案：bmpc解析： 四边形abcd为菱形， acbd.又pa底面abcd, pabd. paaca， bd平面pac， bdpc.又bmpc，bmbdb， pc平面bdm. pc平面pcd, 平面mbd平面pcd.8. 如图，在长方形abcd中，ab2，bc1，e为dc的中点，f为线段ec(端点除外)上一动点现将afd沿af折起，使平面abd平面abc.在平面abd内过点d作dkab，k为垂足设akt，则t的取值范围是_答案：解析：如图，过d作dgaf，垂足为g，连结gk. 平面abd平面abc，dkab， dk平面abc， dkaf. af平面dkg， afgk.容易得到，当f接近e点时，k接近ab的中点，当f接近c点时，k接近ab的四等分点 t的取值范围是.9. 如图，在四棱锥pabcd中，pd垂直于正方形abcd所在的平面，e是pa的中点. 若d在pc上的射影为f.求证：平面def平面pbc.证明： pd平面abcd，bc平面abcd， pdbc.又abcd是正方形， bccd. pd平面pdc，cd平面pdc，pdcdd， bc平面pdc.又df平面pdc， bcdf.又d在pc上的射影为f， dfpc. bcpcc, df平面pbc.又df平面def， 平面def平面pbc.10. 如图所示，p为平行四边形abcd所在平面外一点，m、n分别为ab、pc的中点，平面pad平面pbcl.(1) 判断bc与l的位置关系，并证明你的结论；(2) 判断mn与平面pad的位置关系，并证明你的结论解：(1) 结论：bcl.证明： adbc，bc平面pad，ad平面pad， bc平面pad. bc平面pbc，平面pad平面pbcl， bcl.(2) 结论：mn平面pad.证明：设q为cd的中点，连结nq、mq，则nqpd，mqad， nqmqq，pdadd， 平面mnq平面pad. mn平面mnq， mn平面pad.11. (2014安徽文)如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点g、e、f、h分别是棱pb、ab、cd、pc上共面的四点，平面gefh平面abcd，bc平面gefh.(1) 证明：ghef；(2) 若eb2，求四边形gefh的面积(1) 证明：因为bc平面gefh，bc平面pbc，且平面pbc平面gefhgh，所以ghbc.同理可证efbc，因此ghef.(2) 解：连结ac、bd交于点o，bd交ef于点k，连结op、gk.因为papc，o是ac的中点，所以poac，同理可得pobd.又bdaco，且ac、bd都在平面abcd内，所以po平面abcd.因为平面gefh平面abcd，且po平面gefh，所以po平面gefh.因为平面pbd平面gefhgk，所以pogk，所以gk平面abcd.又ef平面abcd，所以gkef，所以gk是梯形gefh的高由ab8，eb2，得ebabkbdb14，从而kbdbob，即k是ob的中点再由pogk，得gkpo，所以g是pb的中点，且ghbc4.由已知可得ob4，po6，所以gk3，故四边形gefh的面积sgk318.第5课时空间几何体的表面积和体积1. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为_答案：解析：如图所示vsabch显然正三角形abc面积s()2，高hso，从而v.2. 圆柱的底面半径为3cm，体积为18cm3，则其侧面积为_cm2.答案：12解析： vr2l9l18，所以l2，故s侧面积2rl12.3. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案：解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为v11.4. 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abad3 cm，aa12 cm，则三棱锥ab1d1d的体积为_cm3.答案：3解析：vab1d1dvb1ad1dvb1aa1dsaa1db1a12333.5. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_答案：2解析：由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r1，高h1，则该圆柱的侧面积s2rh2.6. 已知正四棱锥oabcd的体积为，底面边长为，则以o为球心，oa为半径的球的表面积为_答案：24解析：设正四棱锥的高为h，则()2h，解得高h.则底面正方形的对角线长为，所以oa，所以球的表面积为4()224.7. 如图，在正三棱柱abca1b1c1中，d为棱aa1的中点若aa14，ab2，则四棱锥bacc1d的体积为_答案：2解析：vb-acc1dsacc1dh，易知h为abc的高，即h2，又sa cc1d6， vb-acc1d62. 8. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为_答案：解析：由圆锥母线l，s侧rl. 9. 如图(a)，在直角梯形abcd中，adc90，cdab，ab4，adcd2，将adc沿ac折起，使平面adc平面abc，得到几何体dabc，如图(b)所示(1) 求证：bc平面acd；(2) 求几何体dabc的体积(1) 证明：在图中，可得acbc2，从而ac2bc2ab2，故acbc.又平面adc平面abc，平面adc平面abcac，bc平面abc， bc平面acd.(2) 解：由(1)可知，bc为三棱锥bacd的高，bc2，sacd2， vbacdsacdbc22，由等体积性可知，几何体dabc的体积为.10. 如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abbc，e、f分别是a1b、ac1的中点(1) 求证：ef平面abc；(2) 求证：平面aef平面aa1b1b；(3) 若a1a2ab2bc2a，求三棱锥fabc的体积(1) 证明：连结a1c. 在直三棱柱a1b1c1abc中，aa1c1c是矩形， 点f在a1c上，且为a1c的中点在a1bc中， e、f分别是a1b、a1c的中点， efbc. bc平面abc，ef平面abc， ef平面abc.(2) 证明： 在直三棱柱a1b1c1abc中，b1b平面abc， b1bbc. efbc，abbc， abef，b1bef. b1babb， ef平面abb1a1. ef平面aef，平面aef平面abb1a1.(3) 解：vfabcva1abcsabcaa1a22a.11. 如图，已知四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，abc45，dc1，ab2，pa平面abcd，pa1.(1) 求证：ab平面pcd；(2) 求证：bc平面pac；(3) 若m是pc的中点，求三棱锥macd的体积. (1) 证明：已知底面abcd是直角梯形， abdc.又ab平面pcd，cd平面pcd， ab平面pcd.(2) 证明：在直角梯形abcd中，过c作ceab于点e，则四边形adce为矩形， aedc1.又ab2， be1.在rtbec中，abc45， cebe1，cb，则ac， ac2bc2ab2， bcac.又pa平面abcd， pabc.又paaca， bc平面pac.(3) 解： m是pc的中点， m到平面adc的距离是p到平面adc距离的一半 vmacdsacd.第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)1. 已知空间四边形oabc，点m、n分别为oa、bc的中点，且a，b，c，用a、b、c表示，则_答案：(bca)解析：(bc)a.2. 已知向量ami5jk，b3ijrk，若ab则实数m_，r_答案：15解析：a(m，5，1)，b(3，1，r)，m15，r.3. 若向量a(1，2)，b(2，1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_答案：2或解析：由cosa，b，解得2或.4. 已知向量a(2，1，3)，b(4，2，x)，若ab，则x_；若ab，则x_答案：6解析：若ab，则823x0，x；若ab，则2(4)(1)23x，x6.5. 已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为_答案：解析：如图建立空间直角坐标系，则b(4，0，0)，c(4，4，0)，c1(4，4，2)，显然ac平面bb1d1d， (4，4，0)为平面bb1d1d的一个法向量又(0，4，2)， cos，.即bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为.6. 已知空间三点a(2，0，2)，b(1，1，2)，c(3，0，4)，设a，b.若向量kab与ka2b互相垂直，则k_答案：或2解析：a(12, 10，22)(1，1，0)，b(32，00，42)(1，0，2)kab(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4) (kab)(ka2b)， (k1，k，2)(k2, k，4)(k1)(k2)k280，即2k2k100， k或k2.7. 在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_答案：30解析：如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a，0，0)，b(0，a，0)，c(a，0，0)，p，则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面pac的法向量为n，可求得n(0，1，1)，则cos，n， ，n60， 直线bc与平面pac所成的角为906030.8. 在正方体abcda1b1c1d1中，m是棱dd1的中点，点o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任一点，则异面直线op与am所成的角的大小为_答案：解析：以d为原点，、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设|1，则a(1，0，0)，m，o，p(1，y，1)，则， 0， opam.9. 在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图所示(1) 求证：abcd；(2) 若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值(1) 证明： 平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab平面abd，abbd， ab平面bcd.又cd平面bcd， abcd.(2) 解：过点b在平面bcd内作bebd.由(1)知ab平