概率论与数理统计第4-5章复习题(含解答).doc

概率论与数理统计第四、五章复习题解答1. 已知二维离散型随机变量的联合分布律为X Y101210.150.10.050.0200.10.150.050.0610.150.050.10.02(1) 分别求的边缘分布律及的边缘分布函数; (2) 求时, 的条件分布律; (3) 求; (4) 求, , 的分布律; (5) 求相关系数; (6) 判断判别是否相关? 是否独立? 说明理由.解：（1）在联合分布律表格中横向、纵向对求和，得的边缘分布律 第 2 页 共 8 页X101pk0.320.360.32Y1012pk0.40.30.20.1又由的边缘分布律得; (2) 条件分布律为 即1010.20.60.2(3) ； (4) 分别沿路径: 对相加, 得的分布律分别为Z210123pk0.150.020.350.120.160.02U1012pk0.150.350.40.1V101pk0.570.310.12第 2 页 共 3 页(5) 由的边缘分布律得，.，.由的联合分布律得, 于是, .(6) , 故相关, 从而不独立.2. 已知二维随机变量，在区域内服从均匀分布，求(1) 的联合分布密度; (2) 条件概率; (3)边缘分布密度, ; (4) 条件密度; (5) 条件概率; (6 ) 方差及协方差; (7) 判别是否相关? 是否独立? (8) 的分布密度.题2(1) 图题2(2) 图题2(8) 图题2(2) 图解：如图, (1) , 故; (2) ; (3)由题2(1)图知 , ;(4) 时, 有; (5) 由(4)知, 故;(6) （奇函数在对称区间上的积分为0）， ，；，; (7) ，故不相关； 但，故也不独立.(8) , . (区域见图示)当时, ; 当时, ; 当时, . 从而.3. 设的概率密度为, 且. 求 (1) 常数的值; (2) 期望. 解: (1) 由得 , 解得. 故.(2) 4. 设的概率密度为, 现对独立重复观察4次, 以表示观察值大于的次数, 求. 解: , , .5. 射击比赛中每人可发4弹, 并规定全都不中得0分, 中1弹得15分, 中2弹得30分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击命中率为3/4, 求他的平均得分.解: 射中的弹数为随机变量X, 其最后得分为Y. 则, 且, , , ,. 即有分布律0153055100从而6. 完成下列问题:(1)设相互独立，求的概率密度函数. (2) 已知二维随机变量，分析所服从的分布(包括分布类型及参数). (3) 设，且，求参数. (4) 设相互独立，且，求的期望和方差.解: (1) 相互独立，故服从正态分布, 且, 于是;(2) , 故相互独立，于是经类似(1)中的分析可知; (3) , 故, 解得; (4) 因为, 且, .，于是,.7. 已知是二维正态分布, 且, 且, 求 (1) ; (2) ; (3) 问是否独立? 为什么? 解: (1) , .(2) ; (3) 是二维正态分布, 是的线性函数, 故也是二维正态分布.由(2)知, , 即不相关, 从而独立(二维正态变量的独立与不相关等价).8. 设, 且相互独立, 试求之间的相关系数(是非零常数), 并分析相互独立的充要条件.解: (1) , 于是. (2) 因为, 所以是二维正态分布. 而都是的线性函数, 故也是二维正态分布. 于是相互独立的充要条件是它们不相关, 即, 亦即.9. 某电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且设开关时间彼此独立，试用中心极限定理求夜晚同时开灯盏数在6800和7200之间的概率的近似值. 解: 设夜晚同时开灯盏数为X ，则由题意知.这里, 充分大, 由棣美弗-拉普拉斯中心极限定理知于是, .10. 设甲乙距离较远, 因此要分成100段测量两地的距离. 若每段测量值的误差服从(1,1)的均匀分布(单位: 厘米), 求测量值总和的误