（江苏专用）高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第51讲 立体几何中的向量方法(2)——求空间角与距离》理（含解析） 苏教版.doc

2013高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第51讲 立体几何中的向量方法(2)求空间角与距离（基础达标演练+综合创新备选，含解析）a级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1上的动点，则直线no、am的位置关系是_ 解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在长方体abcd-a1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.答案4(2011全国卷改编)已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，点b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则cd_.解析如图，建立直角坐标系dxyz，由已知条件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t0)，由ab2解得t.答案5在正方体abcd-a1b1c1d1中，e是棱bb1中点，g是dd1中点，f是bc上一点且fbbc，则gb与ef所成的角为_解析如图建立直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件g，b，e，f，cos，0，则.答案906正四棱锥s abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角的大小为_解析如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案307(2011全国卷改编)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为由令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面abc的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答题(每小题15分，共45分)8如图，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd垂足为h，ph是四棱锥的高，e为ad中点(1)证明：pebc；(2)若apbadb60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值解以h为原点，ha、hb、hp所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段ha的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则a(1,0,0)，b(0,1,0)(1)证明设c(m,0,0)，p(0,0，n)(m0，n0)，则d(0，m,0)，e.可得，(m，1,0)因为00，所以pebc.(2)由已知条件及(1)可得m，n1，则p(0,0,1)，(1,0,1)由(1)知为面peh的一个向量，因此直线pa与平面peh所成角的正弦值为.9如图所示，在四棱锥abcde中，底面bcde为矩形，侧面abc底面bcde，bc2，cd，abac.(1)证明：adce；(2)设侧面abc为等边三角形，求二面角cade的大小(1)证明取bc中点o，连接ao，则aobc由已知条件ao平面bcde，如图，建立空间直角坐标系oxyz，则a(0,0，t)，d(1，0)c(1,0,0)，e(1，0)，(1，t)(2，0)则0，因此adce.(2)解作cfad垂足为f，连接ef，则ad平面cef从而efad则cfe为二面角cade的平面角在rtacd中，cf，在等腰ade中，ef，coscfe.二面角c-ad-e的余弦值为.10(2011扬州调研)如图，在三棱锥pabc中，pb底面abc，bca90，pbbcca4，点e，f分别是pc，pa的中点，求二面角abef的余弦值解如图，以bp所在直线为z轴，bc所在直线y轴，建立空间直角坐标系bxyz，则b(0,0，0)，a(4，4，0)，c(0，4，0)，p(0,0，4)，e(0，2，2)，f(2，2，2)因为pb平面abc，所以pbac.又accb，所以ac平面pbc.所以acpc.所以efpc. 又bepc，所以pc平面bef.而(0,4，4)，所以平面bef的一个法向量n1(0,1，1)设平面abe的一个法向量n2(x，y，z)，则取x1，则平面abe的一个法向量n2(1，1,1)所以cosn1，n2.由图知二面角abef的平面角为锐角所以二面角abef的平面角的余弦值为.b级综合创新备选(时间：40分钟满分：90分)一、填空题(每小题5分，共15分)1如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mpmc，则点m 在正方形abcd内的轨迹为_ 解析以d为原点，da、dc所在直线分别为x、y轴建系如图：设m(x，y,0)，设正方形边长为a，则p，c(0，a,0)，则mc，mp.由mpmc得x2y，所以点m在正方形abcd内的轨迹为直线yx的一部分答案2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上，当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_解析以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)设b，可得：p(，)再由cos apc可求得当时，apc最大故vpabc11.答案3p是二面角ab棱上的一点，分别在、平面上引射线pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_解析不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90.答案90二、解答题(每小题15分，共75分)4(2011南京模拟)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，a1a，m是cc1的中点(1)求证：a1bam；(2)求二面角b amc的平面角的大小(1)证明以点c为原点，cb、ca、cc1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系cxyz，如图所示，则b(1,0,0)，a(0，0)，a1(0，)，m.所以(1，)，.因为10()()()0，所以a1bam.(2)解因为abc a1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc，又bc平面abc，所以cc1bc.因为acb90，即bcac，所以bc平面acc1，即bc平面amc.所以是平面amc的一个法向量，(1,0,0)设n(x，y，z)是平面bam的一个法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z2.所以n(，2)因为|1，|n|2，所以cos，n，因此二面角b amc的大小为45.5(2011苏锡常镇扬五市调研)如图，正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别在棱aa1和cc1上(含线段端点)(1)如果aec1f，试证明b，e，d1，f四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点e，使得直线a1b和平面bfe所成角等于？如果存在，确定点e的位置；如果不存在，试说明理由(1)证明以点a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴建立空间直角坐标系axyz，设aegft. 则b(1,0,0)，d1(0,1,1)，e(0,0，t)，f(1,1,1t)，其中0t1.则(1,0，t)，所以befd1.所以b，e，d1，f四点共面(2)解(1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面bfe的法向量n(t，t1,1)，若直线a1b与平面bfe所成的角等于，则有sin，即，解得t0，所以点e存在，且坐标为e(0,0,0)，即e在顶点a处6(2011南通调研)在正方体abcd a1b1c1d1中，o是ac的中点，e是线段d1o上一点，且d1eeo.(1)若1，求异面直线de与cd1所成角的余弦值；(2)若平面cde平面cd1o，求的值解(1)不妨设正方体的棱长为1，以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系d xyz.则a(1,0,0)，o，c(0,1,0)，d1(0,0,1)，(1)由题意知e.于是，(0，1,1)由cos，.所以异面直线de与cd1所成角的余弦值为.(2)设平面cd1o的法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由d1eeo，则e，.又设平面cde的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因为平面cde平面cd1o，所以mn0，得2.7(2011常州调研)如图，在四棱锥pabcd中，已知pb底面abcd，abbc，adbc，abad2，cdpd，异面直线pa和cd所成角等于60. (1)求直线pc和平面pad所成角的正弦值的大小；(2)在棱pa上是否存在一点e，使得二面角abed的余弦值为？若存在，指出点e在棱pa上的位置；若不存在，说明理由解如图，以b为原点，ba，bc，bp所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设bca，bpb，则b(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0，a,0)，d(2,2,0)，p(0,0，b)p(2,2，b)，c(2,2a,0)，cdpd，cp0.442a0，a4.又p(2,0，b)，c(2，2,0)，异面直线pa和cd所成角等于60，即，解得b2.(1)p(0,4，2)，a(0,2,0)，p(2,0，2)设平面pad的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则由得取n1(1,0,1)，sin ，直线pc和平面pad所成角的正弦值为.(2)假设存在，设pp，且e(x，y，z)，则(x，y，z2)(2,0，2)，e(2，0,22)设平面deb的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则由得取n2(1,1，)，又平面abe的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合题意)存在这样的e点，e为棱pa上的靠近a的三等分点8(2010山东)如图，在五棱锥p-abcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc，abc45，ab2，bc2ae4，三角形pab是等腰三角形 (1)求证：平面pcd平面pac；(2)求直线pb与平面pcd所成角的大小；(3)求四棱锥pacde的体积(1)证明在abc中，因为abc45，bc4，ab2，所以ac2ab2bc22abbccos 458，因此ac2，故bc2ac2ab2，所以bac90.又pa平面abcde，abcd，所以cdpa，cdac，又pa，ac平面pac，且paaca，所以cd平面pac.又cd平面pcd，所以平面pcd平面pac.(2)解法一因为pab是等腰三角形，所以paab2，因此pb4.又abcd，所以点b到平面pcd的距离等于点a到平面pcd的距离，由于平面pcd平面pac，在rtpac中，pa2，ac2，所以pc4，故pc边上的高为2，此即为点a到平面pcd的距离所以b到平面pcd的距离为h2.设直线pb与平面pcd所成的角为，则sin .又，所以.法二由(1)知ab，ac，ap两两相互垂直，分别以ab、ac、ap为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于pab是等腰三角形，所以paab2.又ac2， 因此a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(0,2，0)，p(0,0,2)因为aced，cdac，所以四边形acde是直角梯形因为ae2，abc45，aebc，所以bae135，因此cae45，故cdaesin