（新课标）北京市高考数学一轮复习 第21讲 逻辑推理与证明方法 课后练习 理(1).doc

第21讲 逻辑推理与证明方法题一： 求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点题二： 是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.题三： 抛物线y2=2px (p0)，过焦点f的直线和抛物线交于a、b两点，问以焦点弦ab为直径的圆是否与准线相切？题四： 如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为.（1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点. 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.题五： 已知正项数列an中，对于一切的nn*均有 anan+1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与 的大小，并证明你的结论题六： 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an+1 f (an1)试比较与1的大小，并说明理由题七： abc的三个内角a、b、c成等差数列， 分别为三个内角a、b、c所对的边，求证： .题八： 用分析法证明：若a0，则.第21讲 逻辑推理与证明方法题一： 证明略。详解：证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有三式相加，得a2+b2+c2abacbc0(ab)2+(bc)2+(ca)20a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点题二： 1，2，3详解：由得,所以,由此得到.又因为,故.又因为, 令 则.当时，关于t单调递增，所以，.因此 可以取1，2，3. 题三： 是详解：如图，设ab的中点为m，过a，b，m作准线的垂线，垂足分别为a1，b1，m1a a1+ b b1=ab，m m1=，即以ab为直径的圆与准线相切。题四： （1）；（2）；（3）省略.详解：（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值. 由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积取得最大值，最大值为.（2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为.解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为.则，且.可得又，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.又因为点在圆内运动，所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边形的面积最大，最大值为.不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点与圆心重合.（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大.类比猜想2：当点在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的面积最大.以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大. 证：设椭圆的方程为（），平行弦的方程为，联立可得不妨设、，则 由于平行弦的斜率保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值（*）.特别地，当斜率不存在时，此结论也成立.由以上结论可知，类比猜想1正确。又对于椭圆内任意一点构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心重合的椭圆内接四边形,而其中,所以必有.即证明了猜想2也是正确的.类比猜想3：当点在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值.要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.”在此基础上，可参考以下方法.证明：当点在椭圆中心时，不妨设对角线所在直线的斜率为.（i）当时，即为椭圆长轴，又，故是椭圆的短轴. 所以此时椭圆内接四边形的面积为.（ii）当时，对角线的斜率为.由此前证明过程中的（*）可知，,若将代换式中的，则可得弦的长度，. 所以，由，则，综上（i）和（ii），故可证明猜想3正确.题五： （1）省略；（2）an0，an+10，an0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0an1，那么a2a12，由此猜想：an .下面用数学归纳法证明：当n2，nn时猜想正确当n2时，显然成立；假设当nk (k 2，kn)时，有ak 成立那么ak+1 ak22，当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nn*，都有an.解法2：由 anan+1，得0ak+1 akak (1ak)，0ak1.令k1,2,3，n1得：1，1，1，n1n，an231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设当nk(k 1且kn*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak+1(ak1)2122k12k+11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nn*，都有an2n1.即1an2n.1()n1.题七： 证明略。详解：用分析法要证，即需证.即证.又需证，需证.abc三个内角a、b、c成等差