（教师用书）高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课堂过关 理.doc

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角 的三角函数(对应学生用书(文)、(理)404页) 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切 能准确进行角度与弧度的互化. 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号1. (必修4p15练习6改编)若角同时满足sin0且tan0，则角的终边一定落在第_象限答案：四解析：由sin0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限2. 角终边过点(1，2)，则cos_答案：3. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_答案：1或44. 已知角终边上一点p(4a，3a)(a0)，则sin_答案：5. (必修4p15练习2改编)已知角的终边经过点p(x，6)，且cos，则sin_，tan_答案：解析：cos，解得x，故sin，tan.1. 任意角(1) 角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角(2) 终边相同的角终边与角相同的角可写成 k360(kz)(3) 弧度制 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径 弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度 弧长公式：l|r扇形面积公式：s扇形lr|r22. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设p(x，y)是角终边上任意一点，且|po|r(r0)，则有sin，cos，tan，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：全正、正弦、正切、余弦3. 三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点p，过p作pm垂直于x轴于m，则点m是点p在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点p的坐标为(cos，sin)，其中cosom，sinmp，单位圆与x轴的正半轴交于点a，单位圆在a点的切线与的终边或其反向延长线相交于点t，则tanat我们把有向线段om、mp、at叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线备课札记题型1 三角函数的定义例1 是第二象限角，p(x，)为其终边上一点，且cosx，求sin的值解： op， cosx.又是第二象限角， x0，得x， sin.已知角的终边经过点p(x，) (x0)，且cosx，求sin的值解： p(x，) (x0)， 点p到原点的距离r.又cosx， cosx. x0， x. r2.当x时，p点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin， sin；当x时，同理可求得sin.题型2 三角函数值的符号及判定例2 (1) 如果点p(sincos，2cos)位于第三象限，试判断角所在的象限；(2) 若是第二象限角，试判断sin(cos)的符号解：(1) 点p(sincos，2cos)位于第三象限， sincos0，2cos0，即 为第二象限角(2) 2k2k(kz)， 1cos0， sin(cos)0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l，弓形面积为s弓 60，r10， l(cm) s弓s扇s10102sin6050 cm2.(2) 扇形周长c2rl2rr， r， s扇r2，当且仅当，即2(2舍去)时，扇形面积有最大值.(1) 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2) 一个扇形oab的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长ab.解：(1) 设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去) 扇形的圆心角为.(2) 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得 圆心角2.如图，过o作ohab于h，则aoh1弧度 ah1sin1sin1 (cm)， ab2sin1 (cm)1. 若角与的终边相同，则在0，2内终边与的终边相同的角是_答案：，解析：由题意，得2k(kz)，(kz)又0，2，所以k0，1，2，3，.2. (2014全国)已知角的终边经过点(4，3)，则cos_答案：解析：根据题意，cos.3. 已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为_cm2.答案：4解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2rl8，srlr(82r)r24r(r2)24，所以smax4(cm2)4. 若角的终边与直线y3x重合且sin0，又p(m，n)是角终边上一点，且|op|，则mn_答案：2解析：依题意知解得m1，n3或m1，n3.又sin0， 的终边在第三象限， n0， m1，n3， mn2.1. 设集合m，n|，则mn_答案：解析：由，得k. kz， k1，0，1，2，故mn.2. 已知，回答下列问题(1) 写出所有与终边相同的角；(2) 写出在(4，2)内与终边相同的角；(3) 若角与终边相同，则是第几象限的角？解： (1) 所有与终边相同的角可表示为.(2) 由(1) 令42k2(kz)，则有2k1. kz， 取k2、1、0.故在(4，2)内与终边相同的角是、.(3) 由(1) 有2k(kz)，则k(kz) 是第一、三象限的角3. (2014宿迁市调研)角终边上的点p与a(a，2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点q与a关于直线yx对称，求sincossincostantan的值解：由题意得，点p的坐标为(a，2a)，点q的坐标为(2a，a)所以，sin，cos，tan2；sin，cos，tan.故有sincossincostantan(2)1.4. 已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解： 扇形的周长为40， r2r40.sr2r2r100.当且仅当r2r，即r10，2时扇形面积取得最大值，最大值为100.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式(2) 已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角2. 已知角终边上一点p的坐标，则可先求出点p到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解的三角函数值3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1) 用边界值定出角的终边位置(2) 根据不等式(组)定出角的范围(3) 求交集，找单位圆中公共的部分(4) 写出角的表达式请使用课时训练(b)第1课时(见活页)第2课时同角三角函数的基本关系式 与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)4243页) 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21， tan. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(kz)，1. (必修4p16例1改编)已知是第二象限角，tan，则sin_答案：解析：由解得sin. 为第二象限角， sin0， sin.2. cos_答案：解析：coscoscos(17)cos.3. sin2()cos()cos()1_答案：2解析：原式(sin)2(cos)cos1sin2cos212.4. (必修4p21例题4改编)已知cos，且，则cos_答案：解析：coscossin.又，所以.所以sin，所以cos.5. (必修4p22习题9(1)改编)已知tan2，则_答案：2解析：2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin2cos21(2) 商数关系：tan. 2. 诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4p23第18题改编)已知是三角形的内角，且sincos.(1) 求tan的值；(2) 将用tan表示出来，并求其值解：(1) (解法1)联立方程由得cossin，将其代入，整理，得25sin25sin120. 是三角形内角， tan.(解法2) sincos， (sincos)2，即12sincos， 2sincos， (sincos)212sincos1. sincos0且00，cos0， sincos.由得 tan.(2) . tan， . 已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为sin和cos，且(0，2)(1) 求的值；(2) 求m的值；(3) 求方程的两根及此时的值解：(1) 由韦达定理可知而sincos.(2) 由两边平方得12sincos，将代入得m.(3) 当m时，原方程变为2x2(1)x0，解得x1，x2， 或 (0，2)， 或.例2 (必修4p23第10(2)题改编)化简：()()解：原式()()()()已知sincos0，化简：cossin_答案：sin解析： sincos0， 为第四象限角， 为第二或四象限角 原式cossin原式sin.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin，(0，)，求的值解： sin， cos.又(0，)， sin.原式.已知cos()，且角在第四象限，计算：(1) sin(2)；(2) (nz)解： cos()， cos，cos.又角在第四象限， sin.(1) sin(2)sin2()sin()sin .(2) 4.1. 已知sin，那么cos_答案：解析：sinsincos.2. 已知an为等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)_答案：解析：由条件，知a1a5a93a5， a5， cos(a2a8)cos2a5cos.3. 已知tan，则tan_答案：解析： ， tan()tantan.4. 已知sincos，则sincos的值为_答案：解析：(解法1) 0， cossin.又(sincos)212sincos， 2sincos， (sincos)212sincos1， sincos.(解法2) sincos，且， ，sincossin，即sin.又cos， sincos(cossin)cos.1. 已知0x，sinxcosx.(1) 求sinxcosx的值；(2) 求tanx的值 解：(1) sinxcosx， 12sinxcosx， 2sinxcosx. 0x0，2sinxcosx0， cosx0， sinxcosx .(2) ，tanx.2. 已知3cos2(x)5cos1，求6sinx4tan2x3cos2(x)的值解：由已知得3cos2x5sinx1，即3sin2x5sinx20，解得sinx或sinx2(舍去)这时cos2x1，tan2x，故6sinx4tan2x3cos2(x)643.3. 已知在abc中，sinacosa.(1) 求sinacosa；(2) 判断abc是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求tana的值解：(1) 因为 sinacosa，两边平方得12sinacosa，所以sinacosa.(2) 由(1) sinacosa0，且0a，可知cosa0，cosa0，所以sinacosa，所以由，可得sina，cosa，则tana.4. 若sin(3)cos，cos()cos()，且0，0，求和的值解：由已知，得22得sin23cos22(sin2cos2)，即sin23(1sin2)2，得sin2， sin. 0， sin， 或.将或代入，得cos或cos. 00，0)在一个周期内的图象，则iasin(t)的解析式为_答案：isin解析：由图可知a，.代入和，解得，于是isin.4. (必修4p32练习6改编)函数ycos的单调递增区间是_答案：(kz)解析：2k2x2k，即kxk(kz)，所求单调递增区间是(kz)5. (必修4p32第5题改编)函数y2sinx的值域是_答案：1，2解析：根据正弦函数图象，可知x时，函数取到最小值1；x时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xt)f(x)都成立，则称yf(x)为周期函数；函数yasin(x)和yacos(x)的周期均为t；函数yatan(x)的周期为t2. 三角函数的图象和性质三角函数ysinxycosxytanx图象定义域rr值域和最值1，1 最大值：1最小值：11，1 最大值：1最小值：1r无最值周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于xk(kz)对称关于xk(kz)对称对称中心是(kz)单调区间在2k，2k(kz) 上单调递增在2k，2k(kz)上单调递减2k，2k2(kz)单调递增2k，2k(kz)单调递减在(k，k)(kz)上单调递增3. “五点法”作图在确定正弦函数ysinx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、(，0)、 (2，0)余弦函数呢？4. 函数 yasin(x)的特征若函数yasin(x) (a0，0，x(，)表示一个振动量时，则a叫做振幅，t叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相备课札记题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f(x)2sin(x)(0)的部分图象如图所示，则_答案：解析：由图象可知函数的四分之三周期为t，t3，.已知函数yasin(x)(其中a0，0，|)的部分图象如图所示，则_答案：3解析：由图知，a2，将(0，)、代入函数，得 题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y2sin(xr)的图象，只需把函数y2sinx(xr)的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y2sinx用代替x，左移 个单位y2sin再用代替x，各点横坐标伸长到原来的3倍。y2sin.已知函数f(x)2sincossin(x)(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解：(1) 因为f(x)sinsinxcosxsinx22sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象， g(x)f2sin2sin. x0， x， 当x，即x时，sin1，g(x)取得最大值2.当x，即x时，sin，g(x)取得最小值1.题型3 五点法作图例3 已知函数y2sin.(1) 求它的振幅、周期、初相；(2) 用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3) 说明y2sin的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到解：(1) y2sin的振幅a2，周期t，初相.(2) 令x2x，则y2sin2sinx.列表，并描点画出图象：xx02ysinx01010y2sin02020(3) (解法1)把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象(解法2)将ysinx的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin2x的图象；再将ysin2x的图象向左平移个单位，得到ysin2sin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y2sin的图象已知f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1) 求和的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象；(3) 若f(x)，求x的取值范围解：(1) 周期t， 2， fcoscossin，又， 2k2x2k， 2k2x2k， kxk，kz， x的取值范围是.题型4 函数yasin(x)的图象与性质的综合应用例4 已知函数f(x)asin(x)(其中a0，0，0)的周期为，且图象上有一个最低点为m.(1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数yf(x)f的最大值及对应x的值解：(1) 由，得2.由最低点为m，得a3.且22k(kz)，0， . f(x)3sin.(2) yf(x)f3sin3sin3sin3cos3sin， ymax3.此时，2x2k，即xk，kz.已知函数f(x)asin(x)，xr(其中a0，0，0)的周期为，且图象上一个最低点为m.(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x时，求f(x)的最值解：(1) 由最低点为m，得a2.由t，得2.由点m在图象上，得2sin2， 2k(kz)，即2k，kz.又， ， f(x)2sin.(2) x， 2x. 当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值.1. (2014江苏)已知函数ycosx与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_答案：解析：将x分别代入两个函数，得到sin，解得2k(kz)或2k(kz)，化简解得2k(kz)或2k(kz)又0，)，故.2. (2014南通期末)将函数f(x)sin(2x)(00)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点p，则的最小正值是_答案：解析：依题意g(x)sin2(x)sin(2x2)因为f(x)，g(x)的图象都经过点p，所以因为，所以，则22k或22k(kz)，即k或k(kz)在k(kz)中，取k1，即得.2. (2014泰州期末)已知函数f(x)2sin.(1) 求函数yf(x)的最小正周期及单调递增区间；(2) 若f，求f(x0)的值解：(1) t，增区间为，kz.(2) f，即sin(2x0)，所以cos(2x0)，f(x0)2sin(sin2x0cos2x0)或.3. 已知函数f(x)asin(x)(xr，a0，0)的最大值为2，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数g(x)ff的单调递增区间解：(1) 由题意，得a2，2，当x时，2sin2，即sin1，所以k，解得k.又0，所以.故f(x)2sin.(2) g(x)2sin2sin2sin2x2sin2sin2x2sin2xcos2x2sin.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以函数g(x)的单调递增区间是，kz.4. 设a，b(4sinx，cosxsinx)，f(x)ab.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数0，若yf(x)在区间上是增函数，求的取值范围；(3) 设集合a，bx|f(x)m|2，若ab，求实数m的取值范围解：(1) f(x)sin24sinx(cosxsinx)(cosxsinx)4sinxcos2x2sinx(1sinx)12sin2x2sinx1， 所求解析式为f(x)2sinx1.(2) f(x)2sinx1，0，由2kx2k，得f(x)的增区间是，kz. f(x)在上是增函数， . 且， .(3) 由|f(x)m|2，得2f(x)m2，即f(x)2mf(x)2. ab， 当x时，不等式f(x)2mf(x)2恒成立 f(x)max2mf(x)min2. f(x)maxf3，f(x)minf2， m(1，4)1. 求形如yasin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysinx的相应单调区间内即可，注意先把化为正数求yacos(x)和yatan(x)的单调区间类似2. 求函数yasin(x)(a0，0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定a，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由条件求得yasin(x)(a0，0)的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解3. 由ysinx的图象变换到yasin(x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值请使用课时训练(b)第3课时(见活页)备课札记第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)4748页)掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用1. (必修4p98第1题改编)sin75cos30sin15sin150_答案：解析：sin75cos30sin15sin150sin75cos30cos75sin30sin(7530)sin45.2. (必修4p104习题5改编)已知tan，tan，则tan()_答案：1解析：tan()tan()()1.3. (必修4p94习题2(1)改编)若sin，则cos_答案：解析：由，sin，得cos，由两角和与差的余弦公式得coscoscossinsin(cossin).4. (必修4p99第10题改编)计算：_答案：解析：原式.5. (必修4p115第6题改编)计算：_答案：2解析：sin7sin(158)sin15cos8cos15sin8，cos7cos(158)cos15cos8sin15sin8， 原式tan15tan(4530)2.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点p1(cos，sin)，p2(cos，sin)，则p1op2.向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab|a|b|cos()cos()，由向量数量积的坐标表示，可知abcoscossinsin，因而cos()coscossinsin.2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintan()tan()4. asinbcossin()，其中cos，sin，tan.的终边所在象限由a、b的符号来确定备课札记题型1 化简求值例1 化简：tan(18x)tan(12x)tan(18x)tan(12x)_答案：1解析： tan(18x)(12x)tan30， tan(18x)tan(12x)1tan(18x)tan(12x)，于是原式tan(18x)tan(12x)1tan(18x)tan(12x)1.求值：tan20tan40