陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的有关问题典例例题素材 北师大版必修5.doc

解三角形三角形中的有关问题1正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和一边，求其他两边和一角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角 2余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边，求三角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角3三角形的面积公式： 典型例题例1. 在abc中，已知a，b，b45，求角a、c及边c解 a160 c175 c1a2120 c215 c2变式训练1：(1)的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）a b c d解：b 提示：利用余弦定理（2）在abc中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）a.b. c.d. 解：c 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在abc中，已知，则的值为（ ）a b c 或 d 解：a 提示:在abc中，由 知角b为锐角（4）若钝角三角形三边长为、，则的取值范围是 解： 提示：由可得（5）在abc中，= 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得例2. 在abc中，若 sina2sinb cos c， sin2asin2bsin2c，试判断abc的形状解：sina2sinbcoscsin(bc)2sinbcoscsin(bc)0bcsin2asin2bsin2ca2b2c2a90 abc是等腰直角三角形。变式训练2：在abc中，sina=，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以abc是直角三角形.例3. 已知在abc中，sina(sinbcosb)sinc0，sinbcos2c0，求角a、b、c解：由sina(sinbcosb)sinc0，得sinasinbsinacosbsin(ab)0，所以sinb(sinacosa)0b(0, ), sinb0, cosasina，由a(0, )，知a从而bc，由sinbcos2c0得sinbcos2(b)0cos(2b)cos2(2b)cos(2b)sin2b得sinbsin2b0，亦即sinb2sinbcosb0，由此各cosb，b，ca b c变式训练3：已知abc中，2（sin2asin2c）=（ab）sinb，abc外接圆半径为.（1）求c；（2）求abc面积的最大值.解：（1）由2（sin2asin2c）=（ab）sinb得2（）=（ab）.又r=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosc=.又0c180，c=60.（2）s=absinc=ab=2sinasinb=2sinasin（120a）=2sina（sin120cosacos120sina）=3sinacosa+sin2a=sin2acos2a+=sin（2a30）+.当2a=120，即a=60时，smax=.例4. 如图，已知abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过abc的中心g设mga()(1)试将agm、agn的面积（分别记为s1与s2）表示为的函数；(2)求y的最大值与最小值解 (1) ag， 由正弦定理得，ancbdmg（，(2