（江苏专用）高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第10课 指数式与指数函数 文.doc

第10课 指数式与指数函数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1p60例1改编)计算：+=.【答案】4【解析】+=|-4|+=4-+=4.2.(必修1p61例2改编)计算：+(-9.6)0-=.【答案】【解析】原式=+1-=.3.(必修1p67练习1改编)若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则实数a=.【答案】2【解析】由题意得a2-3a+3=1且a0，a1，所以a=2.4.(必修1p52习题1改编)当x0时，指数函数f(x)=(a-1)x，且(a-1)x0时，(a-1)x1恒成立，所以0a-11，所以1a0且a1)的图象如图所示，则a+b=.(第5题)【答案】-2【解析】由图可知，此函数过点(2，0)和(0，-3)，则有a2+b=0，且1+b=-3，解得a=2，b=-4，所以a+b=-2.1.指数中的相关概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.(2)方根的性质当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.(3)分数指数幂的意义=(a0，m，n都是正整数，n1)；=(a0，m，n都是正整数，n1).2.指数函数的定义一般地，形如y=ax(a0且a1)的函数叫作指数函数.3.指数函数的图象和性质a10a1”和“0a0且a1)的图象均在x轴上方，故y0，图象无限接近x轴，但不会相交，因此，x轴是指数函数的“渐近线”.【要点导学】要点导学各个击破指数幂的运算例1求下列各式的值.(1)(0.027+-+10-2；(2)+-(1.03)0.【思维引导】按照幂指数运算法则运算，分母含根式的进行分母有理化.【解答】(1)原式=+-+=.(2)原式=+(+-=+5+2+=.【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求：(1)化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序.(2)结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂.变式化简下列各式(a0，b0).(1)()(-3)；(2).【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解，含根式的化成分数指数幂后再计算或化简.【解答】(1)原式=-9=-9a.(2)原式=(-2)=a.【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式.指数函数图象的应用例2已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.【思维引导】(1)对于y=|2x-1|的图象，我们通过y=2x的图象翻折得到，在翻折指数函数图象时一定要注意渐近线也要随之翻折，作出f(x)的图象，数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)，f(x+1)的图象，数形结合求解.【解答】(1)由f(x)=|2x-1|=作出函数的图象如图(1)所示.因此函数f(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)，f(x+1)的图象，如图(2)所示.由图象知，当|-1|=|-1|时，x0=log2，根据图象可知，当xf(x+1)；当x=log2时，f(x)=f(x+1)；当xlog2时，f(x)f(x+1).图(1)图(2)(例2)【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.(3)函数y=ax，y=a|x|的关系：函数y=ax与y=|ax|是同一个函数的不同表现形式，函数y=a|x|与y=ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同.变式画出函数y=2|x|的图象，其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.(变式)【解答】当x0时，y=2|x|=2x；当x1时，函数y=ag(x)的单调性和y=g(x)的单调性相同；当0a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】将不等式3-1，然后利用指数函数的单调性，最后利用一元二次不等式恒成立的知识求解.【解答】原不等式即为3-1，则有ax2-2ax-1，即ax2-2ax+10对一切实数恒成立.当a=0时，满足题意；当a0时，=(-2a)2-4a0，即a2-a0，解得0a0且a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求实数a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立.【思维引导】 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形，恒成立问题可通过求最值解决.【解答】(1)由ax-10，得ax1，所以x0，所以函数f(x)的定义域为x|x0.(2)对于定义域内任意x，有f(-x)=(-x)3=(-x)3=(-x)3=x3=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)当a1时，若x0，由指数函数的性质知ax1，所以ax-10，+0.又x0时，x30，所以x30，即当x0时，f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则当x0，有f(-x)=f(x)0成立.综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立.当0a0时，1ax0，ax+10，ax-10，此时f(x)0，不满足题意；当x0，f(-x)=f(x)0，也不满足题意.综上，实数a的取值范围是(1，+).【精要点评】(1)判断此类函数的奇偶性，常常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(-x)f(x)，来判断奇偶性.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域的问题，是解决恒成立问题的常用方法.变式已知定义域为r的函数f(x)=是奇函数.(1)求实数a，b的值；(2)若对任意的tr，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立，求实数k的取值范围.【解答】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即=0，解得b=1，从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)，知=-，解得a=2.经检验a=2符合题意，故a=2，b=1.(2)由(1)知f(x)=-+.由上式易知f(x)在(-，+)上为减函数.又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0，等价于f(t2-2t)-2t2+k，即对一切tr有3t2-2t-k0，从而=4+12k0，解得kag(x)(a0且a1)，可利用指数函数的单调性求解.当0aag(x)f(x)1时，af(x)ag(x)f(x)g(x).1.(2015海门中学模考改编)设函数f1(x)=，f2(x)=x-1，f3(x)=x2，则f1(f2(f3(2 017)=.【答案】【解析】f1(f2(f3(2 017)=f1(f2(2 0172)=f1(2 0172)-1)=(2 0172)-1=2 017-1.2.(2015东北师大附中)设函数f(x)=|3x-1|，cbf(a)f(b)，在关系式3c3b；3b3a；3c+3a2；3c+3a2中，一定成立的是.(填序号)(第2题)【答案】【解析】如图，作出y=|3x-1|的图象如图中实线部分所示，由cbf(a)f(b)，知3c3b|3a-1|3b-1|，转化为1-3c3a-10，3c+3a0，a1)的定义域和值域都是-1，0，则a+b=.【答案】-【解析】当a1时，无解；当0a0恒成立，求实数k的取值范围.【解答】(1)设g(x)=ax(a0且a1)，则a2=9，所以a=3或a=-3(舍去)，所以g(x)=3x，f(x)=.又因为f(x)为定义在r上的奇函数，所以f(0)=0，即=0，所以m=1，所以f(x)=.(2)因为f(x)=-=-1+，所以f(x)为减函数.要使对任意的t0，5，f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)0恒成立，即对任意的t0，5，f(t2+2t+k)-f(-2t2+2t-5)恒成立.因为f(x)为奇函数，只需f(t2+2t+k)f(2t2-2t+5)恒成立.又因为y=f(x)在r上单调递减，所以t2+2t+k2t2-2t+5在t0，5时恒成立，所以kt2-4t+5=(t-2)2+1在t0，5时恒成立.而当t0，5时，1(t-2)2+110，所以k0，b0)=.2.函数y=的值域是.3.若23-2x0.53x-4，则x的取值范围是.4.若把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，则f(x)=.5.若102x=25，则10-x=.6.函数f(x)=1-e|x|的大致图象是.(填序号) (第6题)7.(2014佛山模拟)已知不论a为何值，函数y=(a-1)2x-的图象恒过定点，则这个定点的坐标是.8.(2014广州联考)已知函数f(x)=x+1(q)的定义域为-b，-aa，b，其中0am，求实数m的取值范围.10.若方程2a=|ax-1|(a0，a1)有两个实数解，求实数a的取值范围.11.(2014洛阳一模)已知函数f(x)=(ax-a-x)(a0且a1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x-1，1时，f(x)b恒成立，求实数b的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f(x)=3x，且f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x的定义域为0，1.(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，并判定函数的单调性；(3)求g(x)的值域.【检测与评估答案】第10课指数式与指数函数1.【解析】原式=.2. 【解析】g(x)=2x-x2=-(x-1)2+11，所以函数y=的值域为.3. (-，1)【解析】原不等式等价于23-2x24-3x，所以3-2x4-3x，解得xm，则m1时，函数y=|ax-1|的图象如图(1)所示，显然直线y=2a与该图象只有一个交点，故a1不合适；当0a1时，函数y=|ax-1|的图象如图(2)所示，要使直线y=2a与该图象有两个交点，则02a1，即0a1时，0，y=ax为增函数，y=a-x为减函数，从而y=ax-a-x为增函数，所以f(x)为增函数.当0a1时，0且a1时，f(x)在定义域内单调递增.(3)由(2)知f(x)在区间-1，1上为增函数，所以f(-1)f(x)f(1)，所以f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=-1，所以要使f(x)b在-1，1上恒成立，只需b-1.故实数b的取值范围是(-，