（浙江通用）高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.【知识拓展】1若p为线段ab的中点，o为平面内任一点，则()2若a、b、c是平面内不共线的三点，则0p为abc的重心【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若ab，bc，则ac.()(4)向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(6)abc中，d是bc中点，则()()1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有正确命题的序号是()a bc d答案a解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误2如图所示，向量ab等于()a4e12e2 b2e14e2ce13e2 d3e1e2答案c解析由题图可得abe13e2.3(2015课标全国)设d为abc所在平面内一点，3，则()a. b.c. d.答案a解析3，3()，即43，.4已知a，b，c三点在同一条直线l上，o为直线l外一点，若pqr0，p，q，rr，则pqr等于()a1 b0c1 d3答案b解析a，b，c三点在同一条直线l上，存在实数使，()，即(1)0.pqr0，p1，q1，r，pqr0.5(教材改编)已知abcd的对角线ac和bd相交于o，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.题型一平面向量的概念例1下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则a、b、c、d四点共线；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小答案解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()a0 b1c2 d3答案d解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则等于()a. b.c. d.(2)在abc中，c，b，若点d满足2，则等于()a.bc b.cbc.bc d.bc答案(1)c(2)a解析(1)()()().(2)2，22()，32，bc.命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)在abc中，已知d是ab边上的一点，若2，则等于()a. b.c d(2)在abc中，点d在线段bc的延长线上，且3，点o在线段cd上(与点c，d不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()a. b.c. d.答案(1)a(2)d解析(1)2，即2()，.(2)设y，yy()y(1y).3，点o 在线段cd上(与点c，d不重合)，y，x(1x)，xy，x.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值如图，一直线ef与平行四边形abcd的两边ab，ad分别交于e，f两点，且交对角线ac于k，其中，则的值为()a. b.c. d.答案a解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由e，f，k三点共线，可得，故选a.题型三共线定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a、b、d三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点b，a、b、d三点共线(2)解kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210.k1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()aa，b，c三点共线 ba，b，d三点共线ca，c，d三点共线 db，c，d三点共线(2)设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案(1)b(2)解析(1)2a6b2(a3b)2，、共线，又有公共点b，a，b，d三点共线故选b.(2)()，12，1，2，故12.10方程思想在平面向量线性运算中的应用典例(14分)如图所示，在abo中，ad与bc相交于点m，设a，b.试用a和b表示向量.思维点拨(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又a、m、d三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又c、m、b三点共线，与共线10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1. 由得m，n，ab.14分温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视a、m、d三点共线和b、m、c三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点o，不共线，满足xy(x，yr)，则p，a，b共线xy1.失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误a组专项基础训练(时间：30分钟)1设o是正方形abcd的中心，则向量，是()a相等的向量 b平行的向量c有相同起点的向量 d模相等的向量答案d解析这四个向量的模相等2设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()aa0b0 ba0b01c|a0|b0|2 d|a0b0|2答案c解析因为是单位向量，所以|a0|1，|b0|1.3在四边形abcd中，abcd，ab3dc，e为bc的中点，则等于()a. b.c. d.答案a解析，.4已知平面内一点p及abc，若，则点p与abc的位置关系是()a点p在线段ab上 b点p在线段bc上c点p在线段ac上 d点p在abc外部答案c解析由得，即2，所以点p在线段ac上5已知点o为abc外接圆的圆心，且0，则abc的内角a等于()a30 b60 c90 d120答案b解析由0，知点o为abc的重心，又o为abc外接圆的圆心，abc为等边三角形，a60.6已知o为四边形abcd所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形abcd的形状为_答案平行四边形解析由得，所以.所以四边形abcd为平行四边形7设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，216，|，则|_.答案2解析由|可知，则am为rtabc斜边bc上的中线，因此，|2.8(2015北京)在abc中，点m，n满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析()，x，y.9.在abc中，d、e分别为bc、ac边上的中点，g为be上一点，且gb2ge，设a，b，试用a，b表示，.解()ab.()()ab.10设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：a、c、d三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且a、c、d三点共线，求k的值(1)证明e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线又与有公共点c，a、c、d三点共线(2)解(e1e2)(2e13e2)3e12e2，a、c、d三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.b组专项能力提升(时间：15分钟)11设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若a，b，d三点共线，则实数p的值是()a2 b1 c1 d2答案b解析ab，a2b，2ab.又a，b，d三点共线，共线设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.12如图，已知ab是圆o的直径，点c，d是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于()aabb.abcabd.ab答案d解析连接cd，由点c，d是半圆弧的三等分点，得cdab且a，所以ba.13设g为abc的重心，且sin asin bsin c0，则b的大小为()a45 b60c30 d15答案b解析g是abc的重心，0，()，将其代入sin asin bsin c0，得(sin bsin a)(si