高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法及其应用学案 理 北师大版.doc

13.3数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(kn，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()题组二教材改编2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()a1 b2c3 d4答案c解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3已知an满足an1anan1，nn，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题组三易错自纠4用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nn)，在验证n1时，等式左边的项是()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3答案c解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.5对于不等式n1(nn)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kn)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，0，整数p1，nn.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；(2)数列an满足a1，an1ana.证明：anan1.证明(1)当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kn)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立(2)方法一当n1时，由题设知a1成立假设当nk(k1，kn)时，不等式ak成立由an1ana易知an0，nn.则当nk1时，a1.由ak 0得11p.因此ac，即ak1.所以当nk1时，不等式an也成立综合可得，对一切正整数n，不等式an均成立再由1可得1，即an1an1，nn.方法二设f(x)xx1p，x，则xpc，并且f(x)(1p)xp0，x.由此可得，f(x)在，)上是增加的，因而，当x时，f(x)f().当n1时，由a10，即c可知a2a1a1，从而a1a2.故当n1时，不等式anan1成立假设当nk(k1，kn)时，不等式akak1成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f()，即有ak1ak2.所以当nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan1均成立思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点p(4,5)，qn(xn，f(xn)(nn)的直线pqn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明当n1时，x12，f(x1)3，q1(2，3)所以直线pq1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此2x1x23，即n1时结论成立假设当nk(k1，kn)时，结论成立，即2xkxk13.当nk1时，直线pqk1的方程为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2xk13，xk240，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn11时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上是减少的，(a1)1时，存在x0，使(x)0(nn)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33，猜想：ann.由2snan，可知，当n2时，2sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1.()当n2时，a2a2121，a20，a22.()假设当nk(k2，kn)时，akk，那么当nk1时，a2ak1a12ak1k21，即ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1，即当nk1时也成立ann(n2)，显然当n1时，也成立，故对于一切nn，均有ann.命题点3存在性问题的证明典例 设a11，an1b(nn)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nn成立？证明你的结论解(1)方法一a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nn)方法二a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设当nk(k1，kn)时结论成立，即ak1，则ak1111.所以当nk1时结论成立所以an1(nn)(2)方法一设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明加强命题：a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2a31，结论成立假设当nk(k1，kn)时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.方法二设f(x)1，则an1f(an)先证：0an1(nn)当n1时，结论显然成立假设当nk(k1，kn)时结论成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)11，即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立故成立再证：a2na2n1(nn)当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，有a2a3，即n1时成立假设当nk(k1，kn)时，结论成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.这就是说，当nk1时成立，所以对一切nn成立由得a2n1，即(a2n1)2a2a2n2，因此a2nf(a2n1)，即a2n1a2n2，所以a2n11.解得a2n1.综上，由知存在c使得a2nc0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)由(1)知0a11，那么a2a1a2，由此猜想an.下面用数学归纳法证明：当n2，且nn时猜想正确当n2时已证；假设当nk(k2，且kn)时，有ak成立，那么，ak1aka22，当nk1时，猜想正确综上所述，对于一切nn，都有an.归纳猜想证明问题典例 (12分)数列an满足sn2nan(nn)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想思维点拨 (1)由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式(2)用数学归纳法证明规范解答(1)解当n1时，a1s12a1，a11；当n2时，a1a2s222a2，a2；当n3时，a1a2a3s323a3，a3；当n4时，a1a2a3a4s424a4，a4.2分由此猜想an(nn)4分(2)证明当n1时，a11，结论成立5分假设当nk(k1且kn)时，结论成立，即ak，那么当nk1时，7分ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.9分ak1.当nk1时，结论成立11分由知猜想an(nn)成立12分归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n)成立；第三步：假设当nk(kn0，kn)时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn成立1(2018商丘周测)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()a若f(1)1成立，则f(10)100成立b若f(2)，b2，b3.猜想bn(nn)下面利用数学归纳法证明当n1时，b12，b1.假设当nk(k1，kn)时，结论成立，即 0.当nk1时，bk10.bk1 ，也就是说，当nk1时，结论也成立根据知bn(nn)4数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立证明当n2时，左边1，右边.左边右边，不等式成立假设当nk(k2，且kn)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立5求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nn)证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(k1，kn)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对所有nn等式成立6数列xn满足x10，xn1xxnc(nn)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明：数列xn是递增数列证明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，所以数列xn是递减数列必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，所以c0.故xn是递减数列的充要条件是c0.(2)若0xn，即xn1xnxc0，也就是证明xn .下面用数学归纳法证明当0c时，xn 对任意n1，nn都成立当n1时，x10 ，结论成立假设当nk(k1，kn)时结论成立，即xk .因为函数f(x)x2xc在区间上是增加的，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xnxn，即xn是递增数列7(2017广州模拟)已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nn，证明：an.(1)解由题意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f(x)maxf.所以a21.又当x时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立因为当x时，0f(x)，所以0a2f(a1).故当n2时，原不等式也成立假设当nk(k2，kn)时，不等式0ak成立由(1)知a1，f(x)xx2，因为f(x)xx2的对称轴为直线x，所以当x时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立根据，知对任意nn，不等式an成立8(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nn)证明：当nn时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.证明(1)用数学归纳法证明xn0.当n1时，x110.假设当nk时，xk0，那么当nk1时，若xk10，则0xkxk1ln(1xk1)0，与假设矛盾，故xk10，因此x