福建省晨曦中学高三数学上学期开学试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省晨曦中学高三（上）开学数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，满分60分）1全集u=0，1，3，5，6，8，集合a=1，5，8 ，b=2，则集合（ua）b=( )a0，2，3，6b0，3，6c2，1，5，8d2方程x2+2x+5=0的一个根是( )a1+2ib1+2ic2+id2+i3若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )abcd4函数y=2cos2（+）1（xr）的图象的一条对称轴是( )ax=bx=cx=dx=5已知命题：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位后，对应函数的解析式为y=sin（2x）；命题q：正切函数y=tanx在定义域内为增函数，则下列命题中为真命题的是( )a（）（q）b（）qc（q）dq6如图，在oab中，p为线段ab上的一点，=x+y，且=3，则( )ax=，y=bx=，y=cx=，y=dx=，y=7由曲线y=，x轴及直线y=x2所围成的图形的面积为( )ab4cd68如图，已知p是矩形abcd所在平面外一点，pa平面abcd，e、f分别是ab，pc的中点若pda=45，则ef与平面abcd所成角的大小是( )a90b60c45d309若x，y满足约束条件则目标函数z=x2+y2的最小值为( )ab2c3d410已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x12+x22等于( )abcd11如图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框内应填入( )app=bp=cp=dp=12已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为f1f2，这两条曲线在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是( )a（，+）b（，+）c（，+）d（0，+）二、填空题（共4小题，满分20分）13若（1+ax）7（a0）的展开式中x5与x6的系数相等，则a=_14设函数f（x）=x（ex+aex）（xr）是偶函数，则实数a=_15在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=2sina，b=，a=3c，则c=_16已知点a（1，0），b（1，0），直线l：x=1，p为平面上一动点，设直线pa的斜率为k1，直线pb的斜率k2，且k1k2=1，过p作l的垂线，垂足为q，则apq面积的最大值为_三、解答题（共8小题，满分70分）17已知等差数列an的首项为1，前n项和为sn，且s1，s2，s4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记tn为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得tn？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由18某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数api的监测数据，结果统计如下：api0，50（50，100（100，150（150，200若某企业每天由空气污染造成的经济损失s（单位：元）与空气质量指数api（记为）的关系式为：s=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失s大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=19如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac，ab=ac=1，aa1=，p是a1c1上一点（1）若p是棱a1c1的中点，求证：a1b平面b1pc；（2）若二面角b1cpa的大小为60，求三棱锥b1pcc1的体积20已知过点a（4，0）的动直线l与抛物线c：x2=2py（p0）相交于b、c两点当l的斜率是时，（1）求抛物线c的方程；（2）设bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围21已知函数f（x）=ax2+xxlnx（a0）（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当xy1时，试比较与的大小22如图，在abc中，cd是acb的平分线，acd的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=1，ec=2时，求ad的长23已知曲线c的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点p（m，0），若直线l与曲线c交于a，b两点，且|pa|pb|=1，求实数m的值24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围2015-2016学年福建省晨曦中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，满分60分）1全集u=0，1，3，5，6，8，集合a=1，5，8 ，b=2，则集合（ua）b=( )a0，2，3，6b0，3，6c2，1，5，8d考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：利用补集的定义求出（cua），再利用并集的定义求出（cua）b解答：解：u=0，1，3，5，6，8，a= 1，5，8 ，（cua）=0，3，6b=2，（cua）b=0，2，3，6故选：a点评：本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集2方程x2+2x+5=0的一个根是( )a1+2ib1+2ic2+id2+i考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：直接利用求根公式求解即可解答：解：方程x2+2x+5=0，可得x=12i方程x2+2x+5=0的一个根是1+2i故选：a点评：本题考查实系数方程的根的求法，基本知识的考查3若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )abcd考点：由三视图还原实物图 专题：立体几何分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选d点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为n棱锥（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台4函数y=2cos2（+）1（xr）的图象的一条对称轴是( )ax=bx=cx=dx=考点：二倍角的余弦；余弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用倍角公式可得函数y=，由=k，kz，对k取值即可得出解答：解：函数y=2cos2（+）1=，由=k，kz，取k=1，则x=函数的图象的一条对称轴是x=故选：d点评：本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式，考查了计算能力，属于基础题5已知命题：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位后，对应函数的解析式为y=sin（2x）；命题q：正切函数y=tanx在定义域内为增函数，则下列命题中为真命题的是( )a（）（q）b（）qc（q）dq考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断解答：解：命题：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位后，对应函数的解析式为y=sin（2x），为真命题，故为假命题；命题q：正切函数y=tanx为周期函数，在每个周期内为增函数，所以命题q为假命题，q为真命题，qp为假命题，qp为假命题，qp为真命题，qp为假命题，故选：c点评：本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系6如图，在oab中，p为线段ab上的一点，=x+y，且=3，则( )ax=，y=bx=，y=cx=，y=dx=，y=考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：根据向量的基本运算以及平面向量的基本定理进行表示即可得到结论解答：解：=3，=33，即4=3+，即=+=，=x+y，x=，y=，故选：c点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键7由曲线y=，x轴及直线y=x2所围成的图形的面积为( )ab4cd6考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：联立方程可解得交点，易得面积s=dx，计算可得解答：解：联立可解得，所围成的图形的面积s=dx=（x2+2x）=点评：本题考查定积分求面积，属基础题8如图，已知p是矩形abcd所在平面外一点，pa平面abcd，e、f分别是ab，pc的中点若pda=45，则ef与平面abcd所成角的大小是( )a90b60c45d30考点：直线与平面所成的角 专题：空间角分析：取pd的中点为g，过g作ghad，垂足为h，则可得gah为ag与平面abcd所成的角，即为所求角，求解即可解答：解：取pd中点g，连接ag、fg，ef分别为ab、pc的中点，ae=ab，gfdc且gf=dc，又在矩形abcd中abcd且ab=cd，aegf且ae=gf，四边形aefg是平行四边形，agef，ag与平面abcd所成的角等于ef与平面abcd所成的角，过g作ghad，垂足为h，则ghpapa平面abcd，gh平面abcd，gah为ag与平面abcd所成的角，即为所求角，pda=45，g为pd的中点，gah=45，即ef与平面abcd所成的角为45故选：c点评：本题考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键9若x，y满足约束条件则目标函数z=x2+y2的最小值为( )ab2c3d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解目标函数z=x2+y2的最小值解答：解：由约束条件得如图所示的阴影区域，目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由可行域可知，a到原点的距离最小，由点到直线x+y2=0的距离d=目标函数z=x2+y2的最小值为2故选：b点评：在解决线性规划的问题时，常用目标函数的几何意义，或“角点法”；“角点法”的其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解10已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x12+x22等于( )abcd考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：利用函数的零点求出函数的解析式，求出函数的极值点，即可求解x12+x22的值解答：解：由题意可知：f（0）=0，f（1）=0，f（2）=0，可得1+b+c=0，8+4b+2c=0，解得b=3，c=2，函数的解析式为：f（x）=x33x2+2xf（x）=3x26x+2，令3x26x+2=0可得x1+x2=2，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=42=故选：c点评：本题考查函数的导数的应用，极值点的求法，函数的解析式的求法以及图象的应用，考查计算能力11如图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框内应填入( )app=bp=cp=dp=考点：程序框图 专题：概率与统计；算法和程序框图分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式解答：解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，m是圆周内的点的次数，当i大于200时，圆周内的点的次数为4m，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是p=故选：b点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率的方法，考查计算能力，属于基础题12已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为f1f2，这两条曲线在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是( )a（，+）b（，+）c（，+）d（0，+）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|pf1|=m，|pf2|=n，（mn），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5c，（c5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|pf1|=m，|pf2|=n，（mn），由于pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得mn=2a2，即有a1=5+c，a2=5c，（c5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c10，可得c，即有c5由离心率公式可得e1e2=，由于14，则有则e1e2 的取值范围为（，+）故选：a点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，满分20分）13若（1+ax）7（a0）的展开式中x5与x6的系数相等，则a=3考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：先写出展开式的通项，再利用x5与x6的系数相等，建立方程，即可求得a的值解答：解：展开式的通项为tr+1=x5与x6的系数相等，解得a=3，故答案为：3点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题14设函数f（x）=x（ex+aex）（xr）是偶函数，则实数a=1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可解答：解：因为函数f（x）=x（ex+aex）（xr）是偶函数，所以g（x）=ex+aex为奇函数由g（0）=0，得a=1故答案是1点评：考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法15在锐角abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=2sina，b=，a=3c，则c=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：a=2sina，b=，由正弦定理可得：=2，可得，解得b再由a=3c及其余弦定理可得：b2=a2+c22accosb，解出即可解答：解：a=2sina，b=，由正弦定理可得：=2，b为锐角，b=由余弦定理可得：b2=a2+c22accosb，21=9c2+c2，化为c2=3，解得c=故答案为：点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知点a（1，0），b（1，0），直线l：x=1，p为平面上一动点，设直线pa的斜率为k1，直线pb的斜率k2，且k1k2=1，过p作l的垂线，垂足为q，则apq面积的最大值为考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆分析：由已知可得p为以ab为直径的圆上，除ab外的任意点，设p点坐标为（cosx，sinx），xk，kz，进而可得apq面积的最大值解答：解：直线pa的斜率为k1，直线pb的斜率k2，且k1k2=1，papb，故p为以ab为直径的圆上，除ab外的任意点，由点a（1，0），b（1，0），可得以ab为直径的圆为x2+y2=1，设p点坐标为（cosx，sinx），xk，kz，则q点的坐标为（1，sinx），不妨令p点在第一，二象限，则apq中|pq|=cosx+1，pq边上的高为sinx，故apq面积s=sinx（cosx+1）=（sinxcosx+sinx）=sin2x+sinx，s=（cos2x+cosx）=（2cos2x+cosx1），令s=0，则cosx=，或cosx=1（舍去），此时x=， s取最大值sin+sin=，故答案为：点评：本题考查的知识点是直线垂直的充要条件，三角函数的最值问题，是三角函数与直线和圆的综合应用，难度中档三、解答题（共8小题，满分70分）17已知等差数列an的首项为1，前n项和为sn，且s1，s2，s4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记tn为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得tn？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由考点：数列与不等式的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设数列an的公差为d，利用s1，s2，s4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式（）利用an=1时，tn=n1，此时不存在正整数n，使得；当an=2n1时，利用裂项法求出tn，通过，解得n1007得到n的最大值解答：解：（）设数列an的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，所以（2+d）2=4+6d，即d22d=0，所以d=0或d=2因此，当d=0时，an=1；当d=2时，an=2n1（）当an=1时，tn=n1，此时不存在正整数n，使得；当an=2n1时，=由，得，解得n1007故n的最大值为1006点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力18某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数api的监测数据，结果统计如下：api0，50（50，100（100，150（150，200若某企业每天由空气污染造成的经济损失s（单位：元）与空气质量指数api（记为）的关系式为：s=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失s大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=考点：独立性检验的应用 专题：计算题；概率与统计分析：（1）由200s600，得150250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论解答：解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失s大于200元且不超过600元”为事件a由200s600，得150250，频数为39，p（a）=（2）根据以上数据得到如表：k2的观测值k2=4.5753.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关点评：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关19如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac，ab=ac=1，aa1=，p是a1c1上一点（1）若p是棱a1c1的中点，求证：a1b平面b1pc；（2）若二面角b1cpa的大小为60，求三棱锥b1pcc1的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）证明线面平行，可利用线面平行的判定定理，则想到连接bc1，交b1c于m，连接mp后可由三角形的中位线知识得到线线平行，进一步得到线面平行；（2）找出二面角b1cpa的平面角，通过解三角形得到p点位置，求得三角形cc1p的面积，代入棱锥的体积公式得答案解答：（1）证明：连接bc1，交b1c于m，连接mp，p是棱a1c1的中点，mpa1b，a1b平面b1pc，mp平面b1pc，a1b平面b1pc；（2）解：a1b1a1c1，a1b1aa1，且aa1a1c=a1，b1a1平面acc1a1，取a1c的中点o，连接mo，则mo平面acc1a1，过o作onpc，垂足是n，连接mn，则mno为二面角b1cpa的平面角，等于60，在rtmon中，om=，on=，ac=1，则oc=，设pc1=x，pc2=x2+2，a1p=1x，即，整理并解得：x=2（舍），或x=，点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题20已知过点a（4，0）的动直线l与抛物线c：x2=2py（p0）相交于b、c两点当l的斜率是时，（1）求抛物线c的方程；（2）设bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：（1）设出b，c的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得（2）设直线l的方程，ab中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出ab的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围解答：解：（1）设b（x1，y1），c（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y4由得2y2（8+p）y+8=0又，y2=4y1由及p0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y（2）设l：y=k（x+4），bc中点坐标为（x0，y0）由得：x24kx16k=0bc的中垂线方程为bc的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2对于方程由=16k2+64k0得：k0或k4b（2，+）点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题解决此类问题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用21已知函数f（x）=ax2+xxlnx（a0）（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当xy1时，试比较与的大小考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系 专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（1）依题意，1b，构造函数g（x）=1，利用导数可求得g（x）min，从而可求得实数b的取值范围；（2）f（x）=2axlnx，（x0），令f（x）0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围；（3）由（1）知g（x）=1在（0，1）上单调递减，从而可得，xy1时，进一步分析即可得到解答：解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x0，x2+xxlnx）bx2+2x恒成立1b，令g（x）=1，可得g（x）在（0，1上递减，在1，+）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b0（2）f（x）=2axlnx，（x0），令f（x）0得：2a，设h（x）=，当x=e时，h（x）max=，当a时，函数f（x）在（0，+）单调递增若0a，g（x）=2axlnx，（x0），g（x）=2a，g（x）=0，x=，x（0，），g（x）0，x（，+），g（x）0，x=时取得极小值，即最小值而当0a时，g（）=1ln0，f（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调a（3）由（1）知g（x）=1在（0，1）上单调递减，xy1时，g（x）g（y）即而xy1时，1lnx0，1+lnx0，点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，突出分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于难题22如图，在abc中，cd是acb的平分线，acd的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=1，ec=2时，求ad的长考点：圆內接多边形的性质与判定 专题：推理和证明分析：（）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果（）利用上步的结论和割线定理求出结果解答：证明：（）连接de，由于四边形deca是圆的内接四边形，所以：bde=bcab是公共角，则：bdebca则：，又：