2012数学建模作业参考答案(部分).pdf

协方差分析协方差分析 育肥试验中 供试猪按所给不同促生长剂分成四组 每组随机地分 配四头猪 且同样的试验共进行两批 得到供试猪试验前后体重 x 与 y 单位 kg 的观测值如下 试以 x 为协变量作协方差分析 生长剂 批次 1 2 一 14 6 97 8 12 1 94 2 19 5 113 2 18 8 110 1 二 13 6 100 3 12 9 98 5 18 5 119 4 18 2 114 7 三 12 8 99 2 10 7 89 6 18 2 1222 16 9 105 3 四 12 0 102 1 12 4 103 8 16 4 117 2 17 2 117 9 以下仅供参考以下仅供参考 本题属于考虑交互作用的双因素协方差分析问题 主要研究的问题是探讨不 同生长剂 不同批次 生长剂与批次的交互作用 供试猪试验前的体重对猪的生 长是否有显著性影响 通过 SAS 编程 运行结果如下 其中 a 因素代表生长剂 b 因素代表了批次 a b 代表了生长剂与批次的交 互作用 x 作为协变量 从 SAS 运行结果可知 生长剂对试验猪的生长有显著性 影响 协变量 x 即试验猪试验前的体重对试验后的体重有显著性差异 而其他 因素对试验猪的生长没有显著性的影响 由此 试验猪的成长除了跟生长剂的不同而存在差异外 也跟试验猪试验前 的体重存在差异 多元回归分析多元回归分析 已知煤的有机成分主要为碳 C 氢 H 氧 O 氮 N 等元 素 由于变质程度不同 它们的含量 也不同 煤的性能也不同 今搜集各 种煤的样品 10 块 分别测得碳 氢 氧 氮与高发热量 卡 克 的含量如下表 试求高发热量与碳 氢 氧 氮的关系 C H O N 高发热量 69 5 5 24 1 5 6700 57 6 35 2 5200 82 4 3 12 1 9 8400 77 4 8 17 1 3 7500 59 6 33 1 9 5400 80 4 6 14 1 7 8000 64 5 8 29 1 7 6000 67 5 7 26 1 6 6300 62 5 9 30 1 9 5700 73 5 21 1 6 7000 以下解法仅供参考以下解法仅供参考 本题属于一个因变量 高发热量 并记为y 与多个自变量 碳 氢 氧 氮 并依次记为 C H O N 的回归分析 为了初步判断他们属于多元线性回 归还是非线性回归 可以通过画图对比 从上图可以看出 依次比较因变量 Y 与各自变量的趋势 可知 Y 与各自变量 基本有相似的趋势 或者 我们也可以分别以每个自变量为自变量 画出其与 Y 的图像 如下 50 60 70 80 90 5000 6000 7000 8000 9000 C Y 4 4 5 5 5 5 6 5000 6000 7000 8000 9000 Y H 10 20 30 40 5000 6000 7000 8000 9000 O Y 1 4 1 6 1 8 2 5000 6000 7000 8000 9000 Y N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 高发 热量 Y 0 5 10 50 60 70 80 90 C 0 5 10 4 4 5 5 5 5 6 H 0 5 10 10 15 20 25 30 35 O 0 5 10 1 4 1 6 1 8 2 N 上图可知 除 N 和 Y 的线性关系不明显 其他基本有较强的线性关系 综合 以上分析 我们暂且假定 Y 与各变量是线性关系 因此 提出多元线性模型 N O H C a y 4 3 2 1 1 通过 SAS 编程结果如下 上述结果表明 F 值 336 18 Pr F 的概率小于 0 0001 远远小于 0 05 故 拒绝原假设 即认为 y 与各自变量 C H O N 之间具有显著的线性相关关系 并且 拟合度 2 R 0 9963 说明了样本观察值有 99 6 的信息可以用线性回归方程 进行解释 因此 拟合效果较好 认为 y 与各自变量的之间具有显著的线性相关 关系 但并非说明 y 与各自变量都有显著的线性相关关系 但由于上述参数估计和显著性检验表明 1 式中的系数都没有通过检验 此时虽然系数都没有通过检验 但并非说明系数都为零 下面 用逐步回归 进行建模 其 SAS 运行结果如下所示 以上结果表明 最终只有一个自变量与因变量有显著的线性关系 即 O y 669 137 82739 9937 注 由于本题数据的问题 所以建立的模型并不理想 但是同学们也须注意 SAS 软件是高度智能的软件 在带给我们方便的同时 也将失去其灵活性 事实 上 可以将因变量 y 与上述自变量一一进行一元线性回归 其结果表明都有显著 的线性关系 下面 我们提出一种方法 即主成分回归法 本法不一定可靠 但可当作一 种补充 有兴趣的同学可作为参考 上述模型之所以并不理想 可能是变量之间可能有较高的共线性 不妨考查 自变量的相关系数 以上表明 自变量之间有一定的共线性 因此 我们可以采取主成分回归法 即先对自变量做主成分分析 提取主成分变量 然后再对 y 与主成分变量进行回 归分析 对自变量做主成分分析 结果如下 根据上述结果 我们提取两个主成分变量 记为 z1 z2 则有 z1 0 555198 c 0 540367 h 0 55344 o 0 30571 h z2 120988 c 0 264654 h 0 1427830 o 0 946009 h 然后对 y 和 z1 z2 做多元线性回归 有 因此 1 78506 111 5846 4335 z y 即 N O H C y 1738 34 8663 61 405 60 0628 62 5846 4335 点评 点评 对于多元线性回归分析 或可化为多元线性回归的非线性回归分析 首先 我们应 该先做全回归分析对所取得的实验数据 首先用全回归模型建模 若能同时通过第一 第二类 检验 则此模型是很好的线性回归模型 否则 不是线性的 要用特殊回归模型来做 但在许多情况下 所建立的模型能通过第一类检验 而不能通过第二类检验 这与变量间 的多重相关性有关 这时可以尝试逐步回归 主成分回归 岭回归等 典型相关分析典型相关分析 棉花红铃虫第一代发蛾高峰日 y1 第一代累计百株卵量 y2 发 蛾高峰日百株卵量 y3 及 2 月下旬至 3 月中旬的平均气温 x1 1 月下旬至 3 月上旬的日照小时累计数的常用对数 x2 的 16 组观测数据如下表 试作气象指标 x1 x2 与 y1 y2 y3 的典型相关分析 x1 x2 y1 y2 y3 1 9 200 2 014 186 46 3 14 3 2 9 100 2 170 169 30 7 14 0 3 8 600 2 258 171 144 6 69 3 4 10 233 2 206 171 69 2 22 7 5 5 600 2 067 181 16 0 7 3 6 5 367 2 197 171 12 3 8 0 7 6 133 2 170 174 2 7 1 3 8 8 200 2 100 172 26 3 7 9 9 8 800 1 983 186 247 1 85 2 10 7 600 2 146 176 47 7 12 7 11 9 700 2 074 176 536 25 3 12 8 367 2 102 172 137 6 58 0 13 12 167 2 284 176 118 9 43 3 14 10 267 2 242 161 62 7 29 3 15 8 900 2 283 171 26 2 8 3 16 8 233 2 068 172 123 9 32 7 答案仅供参考 假设 x1 x2 服从二元正态分布 y1 y2 y3 服从三元正态分布 与多元线性回归揭示一个变量与一组变量的相关关系不同的是 典型相关分 析是用于揭示了两组多元随机变量之间的相关关系 上题中为揭示两组随机变量 x x1 x2 和 y y1 y2 y3 的相关关系 采取典型相关分析 随机变量组反 映了棉花红铃虫的生长 繁殖 而随机变量组 x 反映了影响 y 的因素 因此 我 们将变量组 y 记为 因变量组 记变量组为 自变量组 一 模型计算与统计检验 通过 SAS 编程 运行结果如下 根据运行结果得到分析结果 见表 1 表 1 棉花红铃虫生长与影响因素的二个自变量的典型相关系数及特征 值 序号 典型相关系数 标准误差 特征值 方差比率 累计方差比率 1 0 735230 0 118626 1 1766 0 7970 0 7970 2 0 480160 0 19867 0 2996 0 2030 1 0000 从表 1 可知 第一个典型相关系数较高 但不能确定只能提取一个典型变量 要确定第一个典型相关变量与第二个典型相关变量之间是否显著相关 尚需要进 行相关系数的 F 统计检验 其结果见表 2 表 2 相关系数检验 序号 F 值 自由度 P 值 显著性 1 2 5 6 0 0535 显著 2 1 8 2 0 2075 不显著 从表 2 得出 第二对典型中 其相关系数是不显著的 因此只有第一对典型 变量通过检验 为了得到产出组被典型变量的解释能力 我们需要整理冗余度分 析的结果 并 得到典型变量对产出组的解释能力 见表 3 表 3 典型变量的解释能力 序号 产出组方差被影 响组解释的比例 对产出组解 释能力 产出组方差被典 型变量解释比例 对影响组 解释能力 影响组方差被典 型变量解释比例 1 0 5406 0 4391 0 2374 0 4455 0 2408 2 0 2306 0 3725 0 0859 0 5545 0 1278 从表 3 可知 1 第三列 五列可知 第一对典型变量对产出组和影响组的解释能力均明 显比第二对典型变量的解释能力强 2 从第二列可知 第一对典型变量的具有较高的解释能力 典型相关系数 的平方表明 产出组中有 54 06 的信息可以由相应的影响变量予以解释 3 从第四列可知 第二对典型相关的产出组方差被典型变量解释比例仅 8 59 且由表 2 知 第二对典型相关变量的相关系数未能通过 F 检验 综上所述 我们选择第一对典型相关变量 二 典型相关模型 程序运行可以得到典型相关模型结果如下 但由上面分析知 我们只提取第一对典型变量 2 1 1 3 2 1 1 0378 1 3498 0 0289 0 4204 0 8119 0 x x w y y y v 1 三 结果分析 由 1 式知 典型变量 1 v 中 1 y 和 2 y 的系数较大 典型变量 1 w 中 2 x 的系数较 大 绝对值大小 即 1 w 主要由变量 2 x 所决定 典型变量 1 v 主要 1 y 和 2 y 决定 因 此 典型变量 1 v 和 1 w 的相关主要是变量 2 x 和 1 y 和 2 y 的相关 也就是说 1 月下 旬至 3 月上旬的日照小时累计数的常用对数与棉花红铃虫第一代发蛾高峰日 第 一代累计百株卵量相关 聚类分析聚类分析 现有 8 个企业 对每个企业用 3 个指标来刻画企业的技术密集水平 生产工人劳动生产率 x 每百万元固定资产所容纳的职工人数 y 和技术管 理人员在职工中的比重 z 具体数据如下表 试对这 8 个企业的技术密集水平 作聚类分析 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 8 2 1 3 2 2 2 2 5 2 8 1 9 2 0 y 95 99 101 103 98 102 120 130 z 0 15 0 21 0 18 0 17 0 16 0 20 0 09 0 11 本题属于 Q 型聚类 样品聚类 即根据衡量样本之间相似性的度量 即所 谓的 距离函数 不断将较近的样本聚为一类 其中这个相似性度量有多种 主要有距离 相似系数 相关系数 夹角余弦等 但在 SAS 中默认的只是欧氏距 离作为相似度量 而测度类与类之间距离的方法有八种左右 在 SAS 中设计了最 短距离法 sin 最长距离法 com 最小方差法 ward 等 10 种 本文基于 ward 法进行聚类 根据 SAS 软件 其运行结果 动态聚类图如下 在聚类分析中确定最佳分类数尤为重要 一般可以根据下面依据进行聚类 1 用树形图确定 2 类间的距离结合专业知识确定 3 利用散点图确定 仅限于二维 三维变量 多维需要降维处理 4 统计量法 立方聚类准则 CCC CCC 一般不适用于最小距离聚类法 CCC 统计量是一 种考查聚类效果的统计量 其值越大说明上一次聚类效果越好 所以可以根据 CCC 值最大时的聚类数确定为最佳分类数 伪 F 统计量 即 Pseudo F 如果分为 k 个类合理 则类内离差平方和应 该较小 所以应该取 Pseudo F 较大而分类数较小的聚类水平 伪 2 t 统计量 即 Pseudo T2 其值越大聚类效果越差 不应合并 RSQ 是 2 R 统计量 反映类内离差平方和的大小 其值越大 说明聚类效果 越好 SPRSQ 是半偏 2 R 统计量 它说明了本次合并信息损失程度 因此其越大说 明这两个类越不应该合并 综上 即 CCC 最大值对应的类数 伪统计量 2 t 显著性减少 Pseudo F 是否 显著增加 SPRSQ 显著增加 RSQ 显著减少 此时的分类数为最佳分类数 一般前三种方法带有一定的主观性和专业限制性 因此 本题采用统计量法 确定分类 根据 SAS 运行结果 在分类数为 2 合并为 1 类时 Pseudo T2 从零显 著增加到 61 1 而 Pseudo F 由 61 1 显著减少零 RSQ 显著减少到零 SPRSQ 由 0 0473 显著增加到 0 9105 因此 最佳分类数为 2 从聚类图可知 公司 1 2 3 5 6 为一类 7 8 为一类 根据指标判断知 前 类属于技术密集型企业 后者属于劳动力密集型企业 APPENDIX data Cluster input x1 x3 factory cards 1 8 95 0 15 1 2 1 99 0 21 2 3 2 101 0 18 3 2 2 103 0 17 4 2 5 98 0 16 5 2 8 102 0 20 6 1 9 120 0 09 7 2 0 130 0 11 8 proc cluster data Cluster method ward ccc pseudo outtree tree id factory run proc tree data tree horizontal id factory run 判别分析判别分析 观测 3 名健康人和 4 名心肌梗塞病人的心电图的 3 项指标 x y z 所 得的观测值如下表 现有一人心电图的 3 项指标为 400 72 49 46 2 25 请 问他应属两类中的哪一类 类 号 x y z 1 健康 1 436 70 49 59 2 32 1 2 290 67 30 02 2 46 1 3 352 53 36 23 2 36 2 病人 1 510 47 67 64 1 73 2 2 510 41 62 71 1 58 2 3 470 30 54 40 1 68 2 4 364 12 46 26 2 09 本题中已知了两个类别 并分别给出了 3 4 个样本 对与新样本的的归类 我们主要在于求出已经类别的判别函数 然后基于聚类最近原则进行归类 一 一 判别函数判别函数 本题基于 Bayes 判别法进行判别 通过 SAS 软件 我们求得判别函数 即 从上结果可以得出 Bayes 判别函数为 健康类 3 2 1 1 16437 680 81953 24 5946 4 1157 x x x y 心肌梗塞类 3 2 1 2 11079 563 49113 19 70434 3 6799 801 x x x y 二 二 误判概率误判概率 误判概率如下 其中上述结果中 Rate 所做行表示对应类的误判概率 表明误判概率为 0 说明判别能力很强 说明可以利用已经建立的判别函数去进行判别 其 中 Priors 表示对应类的样本总数占样本总数的比例 三 待判别样本分类结果 由 SAS 运行结果可知 判别分类的结果如下 由上可知 样本值为 400 72 49 46 2 25 的样本应该判别为第一 类 即这个人是属于健康人 APPENDIX data Discrim input g x1 x3 cards 1 436 70 49 59 2 32 1 290 67 30 02 2 46 1 352 53 36 23 2 36 2 510 41 62 71 1 58 2 470 30 54 40 1 68 2 364 12 46 26 2 09 data ex1 input x1 x3 cards 400 72 49 46 2 25 proc discrim data Discrim testdata ex1 anova manova simple list testout ex2 class g proc print data ex2 run 主成分分析主成分分析 下表是某地区某时间的气候综合指数 其中 x1 为某地区平均降水 量 x2 为气压值 x3 为气温值 x4 为绝对湿度 试用主成分分析法分析该地区 的气候综合指数 x1 42 4 10 2 116 8 4 8 43 6 13 3 61 1 99 3 139 3 55 5 68 3 x2 12 19 4 24 6 28 8 24 7 28 3 18 7 18 3 9 4 8 1 3 5 x3 24 18 4 12 5 1 2 8 1 8 8 8 13 7 18 7 22 6 26 7 x4 22 7 15 1 12 1 4 4 5 4 4 7 8 5 11 8 17 9 22 3 29 1 x1 83 4 90 18 8 47 6 99 6 100 1 80 6 90 100 8 146 1 55 1 x2 5 7 12 8 19 4 22 8 21 23 2 8 21 2 15 1 8 4 6 7 x3 27 5 23 7 17 4 13 3 9 5 3 6 2 6 6 8 14 2 19 6 22 4 x4 29 4 23 6 15 1 12 3 10 6 6 7 6 2 8 3 13 7 18 6 21 2 主成分分析法的主要思想是对指标 或对样本 本题仅限于对指标 进行某 种线性组合变换 将原本可能相关的指标通过变换 化为互不相关的新综合变量 下记为主成分 方差在一定意义上代表了所谓 信息 只要保证较少几个新 的综合变量所含有的 信息 满足达到一定的量 比如原信息的 85 或更多 就可以舍去其他包含其他综合变量 实现了降维 即保留各次观测中具有最大变 异的那些综合变量 可以舍去那些视为常数的综合变量 从而实现了降维 1 选取主成分个数 通过 SAS 软件 我们得到各指标相关系数矩阵的特征值以及累积解释方差的 比率结果如下 相关系数矩阵 标准化处理过的指标的相关系数矩阵 SAS 软件会处理 的 特征值代表了主成分的方差 也即代表了原始变量的信息 从上述结果可知 四 个主成分的方差贡献率分别为 67 46 23 78 8 22 5 3 前 2 个主成分包 含了全部信息的 91 24 因此 我们选取前 2 个主成分代替原来 4 个指标 2 主成分表达式 下图为四个主成分对原始变量的线性组合系数矩阵 由上图主成分对标准化处理的原始指标的线性组合系数矩阵得知 前两个 主成分为 4 3 2 1 1 582291 0 574093 0 530075 0 231972 0 x x x x p 1 4 3 2 1 2 231158 0 246516 0 110494 0 934659 0 x x x x p 2 其中 i x 是 i x 的标准化 即 i i i i s x x x 主成分中各指标的系数绝对值大小反映了改指标对主成分的解释强弱 第一 主成分主要由 2 x 3 x 3 x 决定 第二主成分主要由 1 x 决定 通过因子载荷阵 我们可以进一步验证各主成分的主要解释变量 其中因子 载荷阵以及显著性检验如下 上述结果验证了第一主成分主要由 2 x 3 x 3 x 决定 第二主成分主要由 1 x 决定 第三主成分和第四主成分的方差贡献较少 且相关系数基本没有通过显著性检 验 因此 第一主成分可以理解是温 湿度的综合指数 第二主成分主要是反映 该地的降水指数 附录 data Princomp input x1 x4 cards 42 4 12 24 22 7 10 2 19 4 18 4 15 1 116 8 24 6 12 5 12 1 4 8 28 8 1 4 4 43 6 24 7 2 8 5 4 13 3 28 3 1 8 4 7 61 1 18 7 8 8 8 5 99 3000000000000 18 3000000000000 13 7000000000000 11 8000000000000 139 300000000000 9 40000000000000 18 7000000000000 17 9000000000000 55 5000000000000 8 10000000000000 22 6000000000000 22 3000000000000 68 3000000000000 3 50000000000000 26 7000000000000 29 1000000000000 83 4000000000000 5 70000000000000 27 5000000000000 29 4000000000000 90 12 8000000000000 23 7000000000000 23 6000000000000 18 8000000000000 19 4000000000000 17 4000000000000 15 1000000000000 47 6000000000000 22 8000000000000 13 3000000000000 12 3000000000000 99 6000000000000 21 9 50000000000000 10 6000000000000 100 100000000000 23 3 60000000000000 6 70000000000000 80 6000000000000 2 80000000000000 2 60000000000000 6 20000000000000 90 21 2000000000000 6 80000000000000 8 30000000000000 100 800000000000 15 1000000000000 14 2000000000000 13 7000000000000 146 100000000000 8 40000000000000 19 6000000000000 18 6000000000000 55 1000000000000 6 70000000000000 22 4000000000000 21 2000000000000 proc princomp data Princomp out prin proc print data prin proc corr var prin1 prin4 with x1 x4 run 因子分析因子分析 对 10 名大学生进行有关价值观的测验 包括 9 个项目 测试结果如 下表所示 表中数据为各学生在相应测验项目上的得分 试根据这 9 项内容作相 应的因子分析 合作性 16 18 17 17 16 20 18 14 19 19 分配 16 19 17 17 15 17 16 16 19 14 出发点 13 15 17 17 16 16 16 15 20 14 工作投入 18 16 14 16 16 17 20 19 14 116 发展机会 16 18 17 19 18 18 15 19 18 17 社会地位 17 18 18 18 18 18 16 19 20 16 权力距离 15 18 16 19 15 17 19 18 19 17 职位升迁 16 17 16 20 16 19 14 19 17 18 领导风格 16 19 16 19 16 18 17 14 20 19 依次记合作性 分配 出发点 工作投入 发展机会 社会地位 权力距离 职位升迁 领导风格为 9 2 1 x x x L 因子分析的目的主要是从一组多元试验数据中提取一组原指标或原样本中 潜在的 不能直接观察的随机变量 本题通过因子分析提取反映大学生的价值观 的因子 即提取多指标的因子分析 1 选取公共因子个数 通过 SAS 软件 得到各个公因子的方差贡献 方差贡献率 贡献率 累积贡 献率如下 从上可知 前个公共因子的累积贡献率达到 83 07 按照累积贡献率超过 80 选取公共因子个数的原则 我们选取前三个公共因子 分别记为 1 F 2 F 3 F 其贡献率分别为 39 33 33 50 10 24 2 初始因子载荷系数 我们选取前三个公共因子 其载荷系数 从上可知 三个因子在各个原始指标的表达式中 其因子载荷的差异不大 尤其是第三个因子 1 F 因此难以根据因子载荷对公因子的意义作出明确解释 为 了希望增大因子载荷的差异 我们将进行因子旋转 3 因子旋转及因子载荷系数 因子旋转的 SAS 运行程序结果如下 其中 Orthogonal Transformation Matrix 表示因子正交旋转变换矩阵 Rotated Factor Pattern 表示因子旋转后的载荷系数 三个公共因子分别为 1 F 0 07857x1 0 82465x20 82465x2 0 72896x30 72896x3 0 85899x4 0 85899x4 0 28121x5 0 77873x60 77873x6 0 32973x7 0 09434x8 0 04502x9 2 F 0 89576x10 89576x1 0 36660 x2 0 43544x3 0 33242x4 0 04450 x5 0 05882x6 0 58873x70 58873x7 0 13195x8 0 94137x90 94137x9 3 F 0 16607x1 0 07088x2 0 11025x3 0 10442x4 0 93408x50 93408x5 0 52403x6 0 20835x7 0 94718x80 94718x8 0 10100 x9 从上可知 9 项不同的指标由 3 个公共因子表现 其中第一个公共因子主要 支配了 分配 x2 出发点 x3 工作投入 x4 社会地位 x6 第二个公共因子主要体现了 合作性 x1 权力距离 x7 领导风格 x9 第三个公共因子主要体现了 发展机会 x5 职位升迁 x8 4 因子得分与综合评价 因子得分如下 为了比较不同学生的价值观 我们计算按照下式出每个学生的因子得分 3 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 1 i i i i F F F f 即 第一个学生至第十个学生的因子总得分依次为 f1 0 7602 f2 0 3986 f3 0 0589 f4 0 5293 f5 0 3845 f6 0 2742 f7 0 3379 f8 0 0930 f9 1 1694 f10 0 7370 附录 data Factor input ob x1 x9 cards 1 16 16 13 18 16 17 15 16 16 2 18 19 15 16 18 18 18 17 19 3 17 17 17 14 17 18 16 16 16 4 17 17 17 16 19 18 19 20 19 5 16 15 16 16 18 18 15 16 16 6 20 17 16 17 18 18 17 19 18 7 18 16 16 20 15 16 19 14 17 8 14 16 15 19 19 19 18 19 14 9 19 19 20 14 18 20 19 17 20 10 19 14 14 116 17 16 17 18 19 proc factor data Factor method principal rotate varimax percent 0 8 score outstat ex1 var x1 x9 run proc score data Factor score ex1 out ex2 var x1 x9 run proc print data ex1 proc print data ex2 run 投资问题投资问题 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资 可供购进的证券以 及其信用等级 到期年限 收益如下表所示 按照规定 市政证券的收益可以免 税 其它证券的收益需按50 的税率纳税 此外还有以下限制 1 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元 2 所购证券的平均信用等级不超过1 49 信用等级数字越小 信用程度越高 3 所购证券的平均到期年限不超过5年 1 若该经理有1000万元资金 应如何投资 2 如果能够以2 75 的利率借到不超过100万元资金 该经理应如何操作 3 在1000万元资金情况下 若证券A的税前收益增加为4 5 投资应否改变 若 证券C的税前收益减少为4 8 投资应否改变 表 表 证券信息证券信息 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前 收益 A 市政 2 9 4 3 B 代办机构 2 15 5 4 C 政府 1 4 5 0 D 政府 1 3 4 4 E 市政 5 2 4 5 参考答案参考答案 1 设 X 表示各种证券的投资金额 2 设 Credit Year Gain Tax 分别表示信用等级 到期年限以及到 期税前收益等 建立模型 建立模型 I 400 sum Securities X Credit 1 49 M sum Securities X Year 5 M 若改经理有1000万元如何投资 M 1000 运行结果为 运行结果为 Global optimal solution found Objective value 30 39273 Infeasibilities 0 000000 Total solver iterations 4 Variable Value Reduced Cost X 1 226 3636 0 000000 X 2 0 000000 0 4872727E 01 X 3 707 7273 0 000000 X 4 0 000000 0 6363636E 03 X 5 65 90909 0 000000 由结果可以看出 A 类证券需要投资 226 3636 万元 B 类证券不需要投资 C 类证券需要投资 707 7273 D 类证券不需要投资 E 类证券需要投资 65 90909 万元 在 在 1000 1000 万元资金情况下万元资金情况下 若证券 若证券 A A 的税前收益增加为 的税前收益增加为 4 5 投资应否改变4 5 投资应否改变 将程序中的Gain 0 043 0 054 0 05 0 044 0 045 改为 Gain 0 043 0 054 0 05 0 045 0 045 Global optimal solution found Objective value 30 39273 X 1 226 3636 0 000000 X 2 0 000000 0 4872727E 01 X 3 707 7273 0 000000 X 4 0 000000 0 1363636E 03 X 5 65 90909 0 000000 由结果可以看出 投资计划不需要更改 若证券 若证券 C C 的税前收益减少为 的税前收益减少为 4 8 投资应否改变 4 8 投资应否改变 将程序中的Gain 0 043 0 054 0 05 0 044 0 045 改为 Gain 0 043 0 054 0 048 0 044 0 045 运行结果为 运行结果为 Global optimal solution found Objective value 29 99640 X 1 339 6000 0 000000 X 2 0 000000 0 4972000E 01 X 3 0 000000 0 4400000E 03 X 4 622 8000 0 000000 X 5 37 60000 0 000000 由结果可以看出 A 类证券需要投资 339 6 万元 B 类证券不需要投资 C 类证券不需要投资 D 类证券需要投资 622 8 万元 E 类证券需要投资 37 6 万元 模型 模型 II 再设需要借款 再设需要借款 N 万元 建立模型如下 万元 建立模型如下 400 sum Securities X Credit 1 49 M sum Securities X Year 5 M 如果能够以2 75 的利率借到不超过100万元资金 该经理应如何操作 M 1000 N N 100 运行结果为 运行结果为 Global optimal solution found Objective value 30 68200 Variable Value Reduced Cost N 100 0000 0 000000 M 1100 000 0 000000 X 1 249 0000 0 000000 X 2 0 000000 0 4872727E 01 X 3 778 5000 0 000000 X 4 0 000000 0 6363636E 03 X 5 72 50000 0 000000 由结果可以看出 A 类证券需要投资 249 万元 B 类证券不需要投资 C 类证券需要投资 778 5 万元 D 类证券不需要投资 E 类证券需要投资 72 5 万元 需要借款 100 万元 售书问题售书问题 一家出版社准备在某市建立两个销售代销点 向 个区的大学生售 书 每个区的大学生数量 单位 千人 已经表示在图上 每个销售代理点只能 向本区和一个相连区的大学生售书 这两个销售代理点应该建在何处才能使所能 供应的大学生的数量最大 参考答案 参考答案 1 设 0 1 变量 Zn n 代表售书点 zij 1 代表在第i点建立售书点 并同时向i点 和j点售书 2 设 D 为 0 1 矩阵代表上图的邻接矩阵 dij 1 代表 i点和 j点相邻否则不相 邻 3 设 P 矩阵代表售书人数 pij 1 代表在第 i点建立售书点 并同时向i点和 j点售书的人数 则可以建立模型如下 j i pe pe j i pe j i p z z z d z p z f x ma j i i ij n j ij n i ij n i n j ij ij ij ij n i n j ij 5 0 4 1 3 1 2 2 1 模型说明 模型说明 目标函数为 ij n i n j ij p z f x ma 表示总的售书人数 约束条件 1 代表联合售书的两个点必须相连 否则不能联合售书 约束条件 2 总的售书点为 2 个 约束条件 3 每个地点不能建立两个售书点 约束条件 4 两个售书点不能向同一个售书点同时售书 式 5 为计算从i点向i j 两点售书的总人数为了避免重复计算 仅计算上 三角矩阵 依据以上的约束条件编写以下 lingo lingo 程序程序 sets space 1 7 people matrix space space D Z P endsets data 邻接矩阵D D 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 people 34 29 42 21 56 18 71 enddata max sum matrix Z P for matrix bin Z for matrix Z D sum matrix Z 2 for space i sum space j Z i j 1 for space i sum space j Z j i 1 calc for matrix i j i LT j P people i people j for matrix i j i EQ j P people i for matrix i j i GT j P 0 endcalc 运行结果为 Global optimal solution found Objective value 177 0000 Objective bound 177 0000 Infeasibilities 0 000000 Variable Value Reduced Cost Z 2 5 1 000000 85 00000 Z 4 7 1 000000 92 00000 结果为 结果为 最大的售书人数人 177 售书点为 2 5 中的一个点以及 4 7 中的一个点 下料问题下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货 将钢管按照顾客的要求切割后售出 从 钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm 现有一客户需要15根290mm 28 根315mm 21根350mm和30根455mm的钢管 为了简化生产过程 规定所使用的切割 模式的种类不能超过4种 使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值 的1 10增加费用 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2 10增加费 用 依此类推 且每种切割模式下的切割次数不能太多 一根原料钢管最多生产 5根产品 此外 为了减少余料浪费 每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm 为了使总费用最小 应如何下料 分析分析 下料方式种数限制为 4 种 设xi 表示第 i 种下料模式下的数目 Rij 为 i 模式下每种长度钢管的数量 设每根钢管费用为单位 1 建立模型如下 建立模型如下 5 1850 1750 4 1 3 1 2 1 1 1 4 1 4 4 4 3 2 1 j ij i i i ij i j i i ij r x x r num num x r st x x x x n mi 约束条件 1 表示满足每种钢管的切割数量 2 表示余料长度小于 100 3 表示前一种切割模式的数量大于后一种 4 每种切割模式下的切割次数小于 5 求解得到结果如下求解得到结果如下 总费用最小为 总费用最小为 29 1 29 1 钢管数目为 钢管数目为 26 26 Lingo Lingo 程序如下 程序如下 model Title 钢管下料 最小化钢管根数的LINGO模型 SETS NEEDS 1 4 LENGTH NUM CUTS 1 4 X P PATTERNS NEEDS CUTS R ENDSETS DATA LENGTH 290 315 350 455 NUM 15 28 21 30 CAPACITY 1850 P 1 1 1 2 1 3 1 4 ENDDATA min SUM CUTS X P FOR needs i sum cuts j R i j NUM I 满足需求约束 FOR CUTS J SUM NEEDS I LENGTH I R I J CAPACITY 100 合理切割模式约束 SUM CUTS I X I 26 SUM CUTS I X I X I 1 人为增加约束 FOR CUTS J GIN X J FOR PATTERNS I J GIN R I J end 运行结果如下 运行结果如下 Global optimal solution found Objective value 29 10000 X 1 21 00000 X 2 5 000000 X 3 0 000000 X 4 0 000000 R 1 1 0 000000 R 1 2 3 000000 R 1 3 1 000000 R 1 4 1 000000 R 2 1 3 000000 R 2 2 0 000000 R 2 3 1 000000 R 2 4 1 000000 R 3 1 1 000000 R 3 2 0 000000 R 3 3 2 000000 R 3 4 2 000000 R 4 1 1 000000 R 4 2 2 000000 R 4 3 1 000000 R 4 4 1 000000 由上述结果得到总费用为由上述结果得到总费用为29 1 总的钢管数目为总的钢管数目为21 5 26 采用的切割模式为 采用的切割模式为 两种两种 R1 0 3 1 1 R2 3 0 0 2 钢管切割数目为 钢管切割数目为 num1 15 num2 63 num3 21 num4 31 生产计划问题生产计划问题 某企业拟生产 A 和 B 两种产品 其生产投资费用分别为 2100 元 t 和 4800 元 t A B 两种产品的利润分别为 3600 元 t 和 6500 元 t A B 产品每月的最 大生产能力分别为 5t和 8t 市场对这两种产品总量的需求每月不少于 9t 试问 该企业应该如何安排生产计划 才能既能满足市场需求 又节约投资 而且使生 产利润达到最大最 该问题是一个线性多目标规划问题 如果计划决策变量用 1 x 和 2 x 表示 它 们分别代表 A B 产品每月的生产量 单位 t 112 f x x 表示生产 A B 两种产 品的总投资费用 单位 元 1 12 f x x 表示生产 A B 两种产品获得的总利润 单 位 元 那么 该多目标规划问题就是 求 1 x 和 2 x 使 2 1 2 1 1 4800 2100 min x x x x f 2 1 2 1 2 6500 3600 max x x x x f 而且满足 0 9 8 5 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 求解程序如下 编辑目标函数 M 文件 ff12 m function f ff12 x f 1 2100 x 1 4800 x 2 f 2 3600 x 1 6500 x 2 按给定目标取 goal 30000 45000 weight 30000 45000 给出 x0 2 2 A 1 0 0 1 1 1 b 5 8 9 lb zeros 2 1 调用 fgoalattain 函数 x fval attainfactor exitflag fgoalattain ff12 x0 goal weight A b lb 运行后 输出结果为 x 5 4 fval 29700 44000 attainfactor 0 0100 exitflag 1 由程序运行结果可知 应该生产 A 产品 5 吨 B 产品 4 吨 阿桑的计划阿桑的计划 阿桑小姐是一个小学教师 她刚刚继承了一笔遗产 交纳税金后净 得 50 000 美元 阿桑小姐感到她的工资已足够她每年的日常开支 但是还不能 满足她暑假旅游的计划 因此 她打算把这笔遗产全部用去投资 利用投资的年 息资助她的旅游 她的目标当然是在满足某些限