黑龙江省哈尔滨六中高三数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=（）a（1，2）b（1，2c1，1）d（1，1）2若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）a（2，4）b（2，4）c（4，2）d（4，2）3已知abc中，|=2，|=3，且abc的面积为，则bac=（）啊啊a150b120c60或120d30或1504已知p是边长为2的正三角形abc边bc上的动点，则的值（）a是定值6b最大值为8c最小值为2d与p点位置有关5设x0，且1bxax，则（）a0ba1b0ab1c1bad1ab6掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（）abcd7数列an是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列bn的相邻三项若b2=5，则bn=（）a5b5c3d38某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）a2bcd39如图所示程序框图中，输出s=（）a45b55c66d6610点a、b、c、d在同一个球的球面上，ab=bc=ac=，若四面体abcd体积的最大值为，则这个球的表面积为（）ab8cd11已知圆o：x2+y2=2，直线l：x+2y4=0，点p（x0，y0）在直线l上若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），则x0的取值范围是（）a0，1bcd12已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1x2x3x4，则的取值范围是（）a（20，32）b（9，21）c（8，24）d（15，25）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列an中，a2=1，an+1=an+n1，则a5=14如果x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是15过抛物线y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为30的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的长为8，则p=16已知函数f（x）=exmx+1的图象为曲线c，若曲线c存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设abc的三内角分别是a、b、c若f（）=，且ac=1，bc=3，求sina的值18某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区a，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区a是否达到“低碳小区”的标准？19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，pa=pd=2，bc=，m是棱pc的中点（）求证：pa平面mqb；（）求三棱锥pdqm的体积20过椭圆=1（ab0）的左顶点a作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为b，与y轴的交点为c，已知|ab|=|bc|（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点p，且与直线x=4相交于点q，若x轴上存在一定点m（1，0），使得pmqm，求椭圆的方程21已知关于x的函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，adc的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=3，ec=6时，求ad的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线c：sin2=2acos（a0），过点p（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与c分别交于m，n（1）写出c的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求a的值选修4-5；不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|2xa|，ar（1）当a=3时，解不等式f（x）0；（2）当x（，2）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1x），则ab=（）a（1，2）b（1，2c1，1）d（1，1）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算【专题】函数的性质及应用【分析】求解一元二次不等式化简集合a，求解对数函数的定义域化简集合b，然后直接利用交集运算求解【解答】解：a=x|x2x20=x|1x2，b=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则ab=x|1x1=1，1）故选：c【点评】本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题2若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）a（2，4）b（2，4）c（4，2）d（4，2）【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i，从而求得z对应的点的坐标【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=42i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，2），故选c【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题3已知abc中，|=2，|=3，且abc的面积为，则bac=（）a150b120c60或120d30或150【考点】三角形的面积公式【专题】解三角形【分析】根据sabc=|sinbac，代入求出sinbac=，从而求出答案【解答】解：sabc=|sinbac，=23sinbac，sinbac=，bac为30，或150，故选：d【点评】本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题4已知p是边长为2的正三角形abc边bc上的动点，则的值（）a是定值6b最大值为8c最小值为2d与p点位置有关【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】先设=， =， =t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案【解答】解：设=t则=，2=4=2=22cos60=2=+=+t=1t+t+=+=1t+t+=1t2+1t+t +t2=1t4+2+t4=6故选a【点评】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习5设x0，且1bxax，则（）a0ba1b0ab1c1bad1ab【考点】指数函数单调性的应用【专题】探究型【分析】利用指数函数的性质，结合x0，即可得到结论【解答】解：1bx，b0bx，x0，b1bxax，x0，ab1ba故选c【点评】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题6掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；概率与统计【分析】向上的点数之和不小于6的情况找出，再利用古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出【解答】解：将两骰子投掷一次，共有36种情况，每种情况等可能出现，属于古典概型（1）设事件a=两骰子向上的点数和不小于6；事件a1=两骰子向上的点数和6，有5种情况事件a2=两骰子向上的点数和7；有6种情况事件a3=两骰子向上的点数和为8，有5种情况事件a4=两骰子向上的点数和为9；有4种情况事件a5=两骰子向上的点数和为10；有3种情况事件a6=两骰子向上的点数和为11；有2种情况事件a7=两骰子向上的点数和为12；有1中种情况则a1与a2、a3a7为互斥事件，且a=a1+a2+a3+a7p（a）=p（a1+a2+a3+a7）=p（a1）+p（a2）+p（a7）=故选a【点评】熟练掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式是解题的关键7数列an是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列bn的相邻三项若b2=5，则bn=（）a5b5c3d3【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由数列an是公差不为零的等差数列，利用等差数列的性质得到a8=a5+3d，a13=a5+8d，再由a5，a8，a13是等比数列bn的相邻三项，利用等比数列的性质列出关系式，得到a5与d的关系，用d表示出a5，由等比数列的性质得到q=，将表示出的a8代入后，再将表示出的a5代入，约分后求出q的值，由q的值及b2的值，求出首项b1的值，由b1及q的值，利用等比数列的通项公式即可表示出bn的通项【解答】解：an是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列bn的相邻三项，（a5+3d）2=a5（a5+8d），q=，b2=5，q=，b1=3，故选d【点评】此题考查了等差、等比数列的性质，以及等差、等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键8某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）a2bcd3【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：v=3x=3故选d【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键9如图所示程序框图中，输出s=（）a45b55c66d66【考点】循环结构【专题】计算题；简易逻辑【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求s=1222+3242+（1）n+1n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案【解答】解：由程序框图知，第一次运行t=（1）212=1，s=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行t=（1）322=4，s=14=3，n=2+1=3；第三次运行t=（1）432=9，s=14+9=6，n=3+1=4；直到n=9+1=10时，满足条件n9，运行终止，此时t=（1）1092，s=14+916+92102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）100=9100=55故选：b【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键10点a、b、c、d在同一个球的球面上，ab=bc=ac=，若四面体abcd体积的最大值为，则这个球的表面积为（）ab8cd【考点】球的体积和表面积【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，abc是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1小圆的圆心为q，若四面体abcd的体积的最大值，由于底面积sabc不变，高最大时体积最大，所以，dq与面abc垂直时体积最大，最大值为sabcdq=，dq=4，设球心为o，半径为r，则在直角aqo中，oa2=aq2+oq2，即r2=12+（4r）2，r=则这个球的表面积为：s=4（）2=故选c【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体abcd的体积的最大值，是解答的关键11已知圆o：x2+y2=2，直线l：x+2y4=0，点p（x0，y0）在直线l上若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），则x0的取值范围是（）a0，1bcd【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】根据条件若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），等价po2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围【解答】解：圆o外有一点p，圆上有一动点q，opq在pq与圆相切时取得最大值如果op变长，那么opq可以获得的最大值将变小可以得知，当opq=45，且pq与圆相切时，po=2，而当po2时，q在圆上任意移动，opq45恒成立0因此满足po2，就能保证一定存在点q，使得opq=45，否则，这样的点q是不存在的；点p（x0，y0）在直线x+2y4=0上，x0+2y04=0，即y0=|op|2=x02+y02=x02+（）2=x022x0+44，x022x00，解得，0x0，x0的取值范围是0，故选：b【点评】本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出po2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键综合性较强，难度较大12已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1x2x3x4，则的取值范围是（）a（20，32）b（9，21）c（8，24）d（15，25）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2x3x410，由此可得则的取值范围【解答】解：函数的图象如图所示，f（x1）=f（x2），log2x1=log2x2，log2x1x2=0，x1x2=1，f（x3）=f（x4），x3+x4=12，2x3x410=x3x4（x3+x4）+1=x3x411，2x3x410的取值范围是（9，21）故选：b【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列an中，a2=1，an+1=an+n1，则a5=7【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】an+1=an+n1，变形为anan1=n2（n2）利用“累加求和”即可得出【解答】解：an+1=an+n1，anan1=n2（n2）an=（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+a2=（n2）+（n3）+1+1=+1=+1a5=+1=7故答案为：7【点评】本题考查了递推式、数列的其通项公式、“累加求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14如果x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点c时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即c（，）此时z的最大值为z=2+=故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15过抛物线y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为30的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的长为8，则p=1【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1x2|，利用弦长公式表示出段ab的长求得p【解答】解：由题意可知过焦点的倾斜角为30直线方程为y=（x），联立可得：x27px+=0，x1+x2=7p，x1x2=，|x1x2|=4p，|ab|=|x1x2|=4p=8，解得：p=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求16已知函数f（x）=exmx+1的图象为曲线c，若曲线c存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为（，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得exm=有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围【解答】解：函数f（x）=exmx+1的导数为f（x）=exm，若曲线c存在与直线y=ex垂直的切线，即有exm=有解，即m=ex+，由ex0，则m则实数m的范围为（，+）故答案为：（，+）【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设abc的三内角分别是a、b、c若f（）=，且ac=1，bc=3，求sina的值【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=cos2x，从而可求最小正周期和最大值；（2）由已知先求得cosc的值，即可求sinc的值，由余弦定理可得：ab的值，从而由正弦定理得sina的值【解答】解：（1）f（x）=2cos（2x+）+sin2x=cos2xsin2x+sin2x=cos2x函数f（x）的最小正周期t=，函数f（x）的最大值是1；（2）f（x）=cos2x，f（）=cosc=，可得：cosc=sinc=由余弦定理可得：ab2=bc2+ac22acbccosc=9+12=7，既得ab=由正弦定理：可得：sina=【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题18某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区a，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区a是否达到“低碳小区”的标准？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布【专题】概率与统计【分析】（i）从5个小区中任选两个小区，列出所有可能的结果，然后找出选出的两个小区恰有一个为非低碳小区的基本事件，根据古典概型的概率公式解之即可；（ii）根据图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，由图2可求出三个月后的低碳族的比例，从而可判定三个月后小区a是否达到了“低碳小区”标准【解答】解：（）设三个“非低碳小区”为a，b，c，两个“低碳小区”为m，n，用（x，y）表示选定的两个小区，x，ya，b，c，m，n，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是（a，b），（a，c），（a，m），（a，n），（b，c），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（m，n）用d表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则d中的结果有6个，它们是：（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n）故所求概率为（ii）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.760.75，所以三个月后小区a达到了“低碳小区”标准【点评】本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及频率分布直方图，同时考查了识图能力，属于基础题19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，pa=pd=2，bc=，m是棱pc的中点（）求证：pa平面mqb；（）求三棱锥pdqm的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（）连接ac，交bq于n，连接mn，证明mnpa，利用直线与平面平行的判定定理证明pa平面mqb（）利用vpdqm=vmpdq，求出m到平面pad的距离为，然后求解体积【解答】证明：（）连接ac，交bq于n，连接mn，bcad且，即bcaq，四边形bcqa为平行四边形，且n为ac中点，又因为点m是棱pc的中点，mnpa，因为 mn平面mqb，pa平面mqb，则pa平面mqb；6 分（）vpdqm=vmpdq，证明出cd平面pad所以m到平面pad的距离为9 分所以【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力20过椭圆=1（ab0）的左顶点a作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为b，与y轴的交点为c，已知|ab|=|bc|（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点p，且与直线x=4相交于点q，若x轴上存在一定点m（1，0），使得pmqm，求椭圆的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用|ab|=|bc|设直线ab：y=2（x+a），a（a，0），c（0，2a），求出带入椭圆方程，求解离心率（2）设椭圆方程为，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，=0，通过pmqm数量积为0，得到方程求解可得椭圆方程【解答】解：（1）由|ab|=|bc|知，设直线ab：y=2（x+a），a（a，0），c（0，2a）所以带入得，3a2=4b2，所以（2）由（1）设椭圆方程为，联立y=kx+m和椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+4m212c2=0，由y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点p知=64k2m24（3+4k2）（4m212c2）=0得m2=c2（3+4k2），（1），q（4，4k+m），由pmqm得即m2=（3+4k2），（2）由（1），（2）得c2=1所以椭圆方程为 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力21已知关于x的函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）若函数f（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点【专题】导数的综合应用【分析】（）a=1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；（）求f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值，从而确定使f（x）没有零点时a的取值【解答】解：（）因为函数，所以，xr；当a=1时，f（x），f（x）的情况如下表：x（，2）2（2，+）f（x）0+f（x）极小值所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（2）=e2；（）因为，当a0时，f（x），f（x）的情况如下表：x（，2）2（2，+）f（x）0+f（x）极小值因为f（1）=10，若使函数f（x）没有零点，需且仅需，解得ae2，所以此时e2a0；当a0时，f（x），f（x）的情况如下表：x（，2）2（2，+）f（x）+0f（x）极大值因为f（2）f（1）0，且，所以此时函数f（x）总存在零点综上所述，所求实数a的取值范围是a|e2a0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，adc的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=3，ec=6时，求ad的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；立体几何【分析】（）连接de，证明dbecba，利用ab=2ac，结合角平分线性质，即可证明be=2ad；（）根据割线定理得bdba=bebc，从而可求ad的长【解答】（）证明：连接de，aced是圆内接四边形，bde=bca，又dbe=cba，dbecba，即有，又ab=2ac，be=2de，cd是acb的平分线，ad=de，be=2ad；（）解：由条件知ab=2ac=6，设ad=t，则be=2t，bc=2t+6，根据割线定理得bdba=bebc，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得或6（舍去），则【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23在直角