高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时学案 理 北师大版.doc

第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()am1 bm0c0m5且m1 dm1且m5答案d解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m1且m5.2已知直线l：y2xm，椭圆c：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆c：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆c的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆c没有公共点思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型二弦长及弦中点问题命题点1弦长问题典例 斜率为1的直线l与椭圆y21相交于a，b两点，则|ab|的最大值为()a2 b. c. d.答案c解析设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|ab|x1x2|，当t0时，|ab|max.命题点2弦中点问题典例 已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交椭圆e于a，b两点若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线ab的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因为a2b29，解得b29，a218.命题点3椭圆与向量等知识的综合典例 (2017沈阳质检)已知椭圆c：1(ab0)，e，其中f是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆c交于点a，b，线段ab的中点横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆c的标准方程；(2)求实数的值解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆c的标准方程为1.(2)由，可知a，b，f三点共线，设点a(x1，y1)，点b(x2，y2)若直线abx轴，则x1x21，不符合题意；当ab所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab| (k为直线斜率)(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式跟踪训练 (2018长春调研)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为b(0，4)，离心率e，直线l交椭圆于m，n两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦mn的长；(2)如果bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f，求直线l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|mn|x2x1|.(2)椭圆右焦点f的坐标为(2,0)，设线段mn的中点为q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又b(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，即故得x03，y02，即q的坐标为(3，2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kmn，故直线mn的方程为y2(x3)，即6x5y280.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法典例1 已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a，b两点若|af|bf|4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是()a. b.c. d.解析设左焦点为f0，连接f0a，f0b，则四边形afbf0为平行四边形|af|bf|4，|af|af0|4，a2.设m(0，b)，则m到直线l的距离d，1b2.离心率e，故选a.答案a典例2 (12分)如图，设椭圆方程为y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围规范解答解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为am，由得(1a2k2)x22a2kx0，2分故x10，x2，因此|am|x1x2|.4分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p，q，满足|ap|aq|.记直线ap，aq的斜率分别为k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分由(1)知|ap|，|aq|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.7分由k1k2，k10，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，10分由e ，得02，即b0)，则c1.因为过f2且垂直于x轴的直线与椭圆交于a，b两点，且|ab|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.5从椭圆1(ab0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且abop(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()a. b.c. d.答案c解析由题意可设p(c，y0)(c为半焦距)，kop，kab，由于opab，y0，把p代入椭圆方程得1，2，e.故选c.6已知椭圆e的左、右焦点分别为f1，f2，过f1且斜率为2的直线交椭圆e于p，q两点，若pf1f2为直角三角形，则椭圆e的离心率为()a. b. c. d.答案a解析由题意可知，f1pf2是直角，且tanpf1f22，2，又|pf1|pf2|2a，|pf1|，|pf2|.根据勾股定理得22(2c)2，离心率e.7设f1，f2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点p，使()0(o为坐标原点)，则f1pf2的面积是()a4 b3 c2 d1答案d解析()()0，pf1pf2，f1pf290.设|pf1|m，|pf2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn2，mn1.8已知椭圆c：1(ab0)的左焦点为f，椭圆c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af，bf，若|ab|10，|af|6，cosabf，则椭圆c的离心率e_.答案解析设椭圆的右焦点为f1，在abf中，由余弦定理可解得|bf|8，所以abf为直角三角形，且afb90，又因为斜边ab的中点为o，所以|of|c5，连接af1，因为a，b关于原点对称，所以|bf|af1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.9p为椭圆1上的任意一点，ab为圆c：(x1)2y21的任一条直径，则的取值范围是_答案3,15解析圆心c(1,0)为椭圆的右焦点，()()()()22|21，显然|ac，ac2,4，所以|213,1510已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过f1的直线l与椭圆交于a，b两点若|ab|bf2|af2|345，则椭圆c的离心率为_答案11.如图，椭圆c：1(ab0)的右焦点为f，右顶点、上顶点分别为a，b，且|ab|bf|.(1)求椭圆c的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆c于p，q两点，opoq，求直线l的方程及椭圆c的方程解(1)由已知|ab|bf|，即a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，3a24c2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆c：1.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.opoq，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b.椭圆c的方程为y21.综上可知，直线l的方程为2xy20，椭圆c的方程为y21.12(2016全国)设圆x2y22x150的圆心为a，直线l过点b(1,0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点e的轨迹方程；(2)设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围解(1)因为|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圆a的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.由题设得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.点(1,0)在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两交点则x1x2，x1x2，所以|mn|x1x2|.过点b(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点a到m的距离为，所以|pq|24.故四边形mpnq的面积s|mn|pq|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形mpnq面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|mn|3，|pq|8，四边形mpnq的面积为12.综上，四边形mpnq面积的取值范围为12,8)13(2018广州模拟)已知椭圆c：1(ab0)的右焦点为f2，o为坐标原点，m为y轴上一点，点a是直线mf2与椭圆c的一个交点，且|oa|of2|2|om|，则椭圆c的离心率为()a. b.c. d.答案d解析方法一|oa|of2|2|om|，m在椭圆c的短轴上，设椭圆c的左焦点为f1，连接af1，|oa|of2|，|oa|f1f2|，af1af2，从而af1f2omf2，又|af1|2|af2|2(2c)2，|af1|c，|af2|c，又|af1|af2|2a，c2a，即.故选d.方法二|oa|of2|2|om|，m在椭圆c的短轴上，在rtmof2中，tanmf2o，设椭圆c的左焦点为f1，连接af1，|oa|of2|，|oa|f1f2|，af1af2，tanaf2f1，设|af1|x(x0)，则|af2|2x，|f1f2|x，e，故选d.14(2017安庆二模)已知椭圆1(ab0)短轴的端点为p(0，b)，q(0，b)，长轴的一个端点为m，ab为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若pa，pb的斜率之积等于，则点p到直线qm的距离为_答案b解析设a(x0，y0)，则b点坐标为(x0，y0)，则，即，由于1，则，故，则，不妨取m(a,0)，则直线qm的方程为bxayab0，则点p到直线qm的距离为db.15(2017广东广州一模)已知f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆c上存在点p使f1pf2为钝角，则椭圆c的离心率的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析设p(x0，y0)，f1(c,0)，f2(c,0)，由题易知|x0|a，因为存在点p，使f1pf2为钝角，所以xy有解，即c2(xy)min，又yb2x，b2c2a2，xb2，所以e2，又0e1，所以eb0)上的动点m作圆x