福建省厦门市海沧实验中学高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在答题卷上的相应题目的答题区域内作答1若0，则下列结论不正确的是（）aa2b2babb2ca+b0d|a|+|b|a+b|2下列命题中的真命题的个数是（）ab成立的一个充分不必要的条件是ab+1；已知命题pq为真命题，则pq为真命题；命题“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”；命题“若x1，则x22x30”的否命题为：“若x1，则x23x+20”a1个b2个c3个d4个3在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么cosc等于（）abcd4在等差数列an中，sn为其前n项和，若a3=8，则s5=（）a16b24c32d405在abc中，已知sinbsinc=cos2，则三角形abc的形状是（）a直角三角b等腰三角形c等边三角形d等腰直角三角形6已知bn是正项等比数列，且log2b1+log2b2+log2b2015=2015，则b3b2013的值是（）a2b4c6d87设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）a5b3c7d88在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对边的边长，若cosa+sina=0，则的值是（）a1bcd29在正项等比数列an中成等差数列，则等于（）a3或1b9或1c1d910一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是（）a10海里b10海里c20海里d20海里11数列an定义如下：a1=1，a2=3，an+2=2an+1an+2（nn+），则a11=（）a91b110c111d13312如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n1，nn*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则+=（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷的相应位置13在r上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，则a的取值范围是14在锐角abc中，bc=1，b=2a，则ac的取值范围为15设a、b满足16数列an中，a1=1，对于所有n2，nn，都有，则a3+a5=三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值18已知an为正项等比数列，a2=3，a6=243，sn为等差数列bn的前n项和，b1=3，s5=35（1）求an和bn的通项公式；（2）设tn=a1b1+a2b2+anbn，求tn19设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围20已知abc中，2（sin2asin2c）=（ab）sinb，外接圆半径为（1）求c；（2）求abc面积的最大值21某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元设年数为n，利润总和是关于n的函数f（n）（1）写出f（n）的表达式，并求从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？22设二次函数f（x）=x2ax+2（xr，a0），关于x的不等式f（x）0的解集有且只有一个元素（1）设数列an的前n项和sn=f（n）（nn*），求数列an的通项公式；（2）记bn=（nn*），则数列bn中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由2015-2016学年福建省厦门市海沧实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在答题卷上的相应题目的答题区域内作答1若0，则下列结论不正确的是（）aa2b2babb2ca+b0d|a|+|b|a+b|【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得a和b为负数且ab，由不等式的性质逐个选项验证可得【解答】解：0，a和b为负数且ab，a2b2，故a正确；再由不等式的性质可得abb2，b正确；由a和b为负数可得a+b0，故c正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，d错误故选：d【点评】本题考查不等式的性质，属基础题2下列命题中的真命题的个数是（）ab成立的一个充分不必要的条件是ab+1；已知命题pq为真命题，则pq为真命题；命题“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”；命题“若x1，则x22x30”的否命题为：“若x1，则x23x+20”a1个b2个c3个d4个【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】利用不等式的性质判断的正误；复合命题的真假判断的正误；命题的否定判断的掌握；四种命题的关系判断的正误；【解答】解：对于ab成立的一个充分不必要的条件是ab+1；后者推出前者，前者不能说明后者成立，所以正确；对于已知一个命题是真命题，命题pq为真命题，只有两个命题都是真命题，则pq为真命题；所以不正确；对于命题“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”；符号命题的否定形式，所以正确；对于命题“若x1，则x22x30”的否命题为：“若x1，则x23x+20”不满足否命题的定义，所以不正确；故选：b【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题以及命题的否定，四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用3在abc中，如果sina：sinb：sinc=2：3：4，那么cosc等于（）abcd【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由正弦定理可得；sina：sinb：sinc=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sina：sinb：sinc=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得， =故选：d【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4在等差数列an中，sn为其前n项和，若a3=8，则s5=（）a16b24c32d40【考点】等差数列的前n项和【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等差数列的求和公式以及性质可得s5=5a3，代值计算可得【解答】解：等差数列an中，sn为其前n项和，a3=8，s5=5a3=58=40故选：d【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题5在abc中，已知sinbsinc=cos2，则三角形abc的形状是（）a直角三角b等腰三角形c等边三角形d等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】解三角形【分析】利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出【解答】解：sinbsinc=，2sinbsinc=cosbcosc+sinbsinc+1，cosbcosc+sinbsinc=cos（bc）=1，bc，bc=0，b=c，三角形为等腰三角形故选：b【点评】本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知bn是正项等比数列，且log2b1+log2b2+log2b2015=2015，则b3b2013的值是（）a2b4c6d8【考点】等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】利用对数的运算法则，可得b1b2b2015=22015，利用等比数列的性质求出b3b2013【解答】解：log2b1+log2b2+log2b2015=2015，b1b2b2015=22015，b3b2013=4，故选：b【点评】本题考查对数的运算法则，等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题7设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）a5b3c7d8【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=3x+z经过的可行域内的点a的坐标，代入z=3x+y中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=3x，将l0平移至过点a（3，2）处时，函数z=3x+y有最大值7故选c【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解8在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对边的边长，若cosa+sina=0，则的值是（）a1bcd2【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（ab）与sin（a+b）的值，进而求出ab与a+b的度数，得到a，b，c的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果【解答】解：由cosa+sina=0，整理得：（cosa+sina）（cosb+sinb）=2，即cosacosb+sinbcosa+sinacosb+sinasinb=cos（ab）+sin（a+b）=2，cos（ab）=1，sin（a+b）=1，ab=0，a+b=，即a=b=，c=，利用正弦定理=2r，得：a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，则=故选b【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键9在正项等比数列an中成等差数列，则等于（）a3或1b9或1c1d9【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】通过设数列an的公比为q（q0），利用a3=3a1+2a2计算可知q=3，通过=计算即得结论【解答】解：设数列an的公比为q（q0），依题意，a3=3a1+2a2，a1q2=3a1+2a1q，整理得：q22q3=0，解得：q=3或q=1（舍），=q2=9，故选：d【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题10一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是（）a10海里b10海里c20海里d20海里【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题；压轴题【分析】先根据题意画出图象确定bac、abc的值，进而可得到acb的值，最后根据正弦定理可得到bc的值【解答】解：如图，由已知可得，bac=30，abc=105，ab=20，从而acb=45在abc中，由正弦定理，得故选a【点评】本题主要考查正弦定理的应用考查对基础知识的掌握程度11数列an定义如下：a1=1，a2=3，an+2=2an+1an+2（nn+），则a11=（）a91b110c111d133【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】利用数列an定义，分别令n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，根据递推公式，依次求出a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11从而得到正确选项【解答】解：a1=1，a2=3，an+2=2an+1an+2（nn+），a3=231+2=7，a4=273+2=13，a5=2137+2=21，a6=22113+2=31，a7=23121+2=43，a8=24331+2=57，a9=25743+2=73，a10=27357+2=91，a11=29173+2=111故选c【点评】本题考查数列的递推公式的应用，是基础题解题时要认真审题，注意递推思想的灵活运用12如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n1，nn*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则+=（）abcd【考点】归纳推理【专题】推理和证明【分析】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而则+=是前2012项的和，代入前n项和公式即可得到答案【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n3，即an=3n3，令sn=+=+=1+=，+=故选c【点评】本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷的相应位置13在r上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，则a的取值范围是【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】根据定义，结合不等式恒成立即可得到结论【解答】解：由定义得不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，等价为（xa）（1xa）1对任意的实数x成立，即x2x+1+aa20恒成立，则判别式=14（1+aa2）0，即4a24a30，解得a，故答案为：【点评】本题主要考查不等式的求解，根据定义结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键14在锐角abc中，bc=1，b=2a，则ac的取值范围为（，）【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】由条件可得3 a，且 02a，故a，cosa，由正弦定理可得 b=2cosa，从而得到 b 的取值范围【解答】解：在锐角abc中，bc=1，b=2a，3 a，且 02a，故a， 故 cosa 由正弦定理可得，b=2cosa，b，故答案为：（，）【点评】本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得a，是解题的关键15设a、b满足【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：设a0，b0，且2a+3b=6，则=，当且仅当即时，取得等号，故的最小值为，故答案为【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形，是解题的关键，属于基础题16数列an中，a1=1，对于所有n2，nn，都有，则a3+a5=【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用已知：数列an中，a1=1，对于所有n2，nn，都有，可得因此即可得出【解答】解：数列an中，a1=1，对于所有n2，nn，都有，=，a3+a5=故答案为【点评】本题考查了递推式的意义、数列的通项公式，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinc，进而求得c（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csina正弦定理得，a锐角，sina0，又c锐角，（2）三角形abc中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc即7=a2+b2ab，又由abc的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用18已知an为正项等比数列，a2=3，a6=243，sn为等差数列bn的前n项和，b1=3，s5=35（1）求an和bn的通项公式；（2）设tn=a1b1+a2b2+anbn，求tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用正项等比数列的性质，结合已知条件列出方程组，求出首项和公比，由此能求出利用等差数列的前n项和公式由已知条件求出公差，由此能求出等差数列bn的通项公式（2）由（1）知anbn=（2n+1）3n1，由此利用错位相减法能求出tn=n3n【解答】解：（1）an为正项等比数列，a2=3，a6=243，解得a1=1，q=3，或a1=1，q=3（舍），sn为等差数列bn的前n项和，b1=3，s5=35，53+=35，解得d=2，bn=3+（n1）2=2n+1（2）由（1）知anbn=（2n+1）3n1，tn=3+53+732+933+（2n+1）3n1，3tn=33+532+733+934+（2n+1）3n，得2tn=3+2（3+32+33+34+3n1）（2n+1）3n=3+2（2n+1）3n=2n3n，tn=n3n【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用19设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围【解答】解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，2【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导20已知abc中，2（sin2asin2c）=（ab）sinb，外接圆半径为（1）求c；（2）求abc面积的最大值【考点】解三角形【专题】计算题【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化才边的关系，把外接圆半径代入求得a2+b2c2=ab，根据余弦定理求得cosc的值，进而求得c（2）根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角a的范围求得面积的最大值【解答】解：（1）由2（sin2asin2c）=（ab）sinb得2（）=（ab）又r=，a2c2=abb2a2+b2c2=abcosc=又0c180，c=60（2）s=absinc=ab=2sinasinb=2sinasin（120a）=2sina（sin120cosacos120sina）=3sinacosa+sin2a=sin2acos2a+=sin（2a30）+当2a=120，即a=60时，smax=【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了考生分析问题和解决问题的能力21某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元设年数为n，利润总和是关于n的函数f（n）（1）写出f（n）的表达式，并求从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？【考点】函数模型的选择与应用【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用【分析】（1）根据收入投资=利润列出f（n）表达式，根据利润大于0时开始获取纯利润求出n的范围，进而确定出正整数n的最小值即可；（2）根据题意两种方案求出总收益，比较即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：f（n）=50n72=（2n2+40n72）万美元，由2n2+40n720，得到2n18，n为正整数，则从第3年开始获取纯利润；（2）方案：年平均利润为=2n+40=402（n+）40226=16（万美元），当n=，即n=6时，年平均利润最大，此时总收益为166+48=96+48=144（万美元）；方案：由f（n）=2（n10）2+128，得到n=10时，f