2002年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2002年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题42分，每小题7分）1、已知a=-1，b=2-，c=-2，那么a，b，c的大小关系是（ ）(A) abc(B) bac (C) cba(D)ca0 (B)M0 (C)M 0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形BC的面积为120，且BAC=90，AD是斜边上的中线，过D作DEAB于E，连CE交AD于F，则AFE的面积为（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4-11yOxBAO1O2二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知a0，ab0，化简， .2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为 3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对。三、（本题满分70分）1、（本题满分20分）已知：a ，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。2、（本题满分25分）如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P的对称点，证明：P在ABC的外接圆上。AQRPBCP 3、（本题满分25分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。参考答案一、BDCBCC二、1、 2、 3、12 4、27三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根 =-4(c-)20，c=4 a=b=4 所以原方程为 x2+x-1=0 x1=，x2=2、连结BP、PR、PC、PP（1）证四边形APPQ为平行四边形 （2）证点A、R、Q、P共圆 （3）证BPQ和PRC为等腰三角形 （4）证PBA=ACP，原题得证3、（1）若r=0，x=，原方程无整数根 （2）当r0时，x1+x2= x1x2= 消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7 由x1、x2是整数得：r=，r=11.分子有理化,得a= ,b=,c=,知bac.2.两式相减,并分解因式,得(mn)(m+n+1)=0(mn),所以m+n=1.两式相加,得(m+n)22mn=(m+n)+4,代入m+n=1,可得mn=1.所以原式=(m+n)(m+n)23mn2mn= 2.3.由图知,x=1时,y0,即a+b+c0,即ab+c0.又a0,01,所以b0,b0.所以原式=2(ab+c)0,ab30.易得原式=.2.如图,设A、B、C为切点,则BC=2r,AOB=36001200900900=600。所以=r。 所以所求长度为 6(BC+)=12r+2r.3.设甲,乙都买了n件,其中8元的共x件,9元的共y件(n,x,y均为整数),则 ,所以, 9n10,n=10.所以y=17216n=12.4.已知N=23(x+4y)为完全平方数,23为质数.所以可设x+4y=23m2(m为整数)。所以N=232m22392,m5,从而m2=1或4.若m2=1,则x+4y=23,x=234y0,y0,y23,y=1、2、3、4、5、6、7、822.其中y的前5个值与m=1时y的相同。所以合条件的正整数对(x,y)共有22对.笫二试(A)一.由题设得錒，a+b=8,ab=48+c2-8c所以a、b是方程y28y+c28c+48=0的两个实数根.由0可得(c4)20,可知c=4所以a+b=8,ab=16,a=b=4.于是原方程为4x2+4x4=0,x=。二.证明:(1) ABC是等腰三角形,QPAC,RPAB. ABC=ACB,ABC=RPC,ACB=QPB.ABC=QPB,ACB=RPC.QB=QP,RP=RC. P与P /关于RQ对称.QP=QP /,RC=RP /.QB=QP=QP /,RC=RP=RP /. 点B、P、P /在以点Q为圆心的圆上,点C、P、P /在以点R为圆心的圆上, P /QB=2P /PB=P /RC. 等腰P /QB等腰P /RC.(2)连P /A由等腰P /QB等腰P /RC,得ABP /=ACP /. 点P /,B,C,A四点共圆.点P / 在ABC的外接圆上.三、若r=0,则方程为2x2=0,有正