三角形五心.doc

重心三角形的重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。（图中一共才几个燕尾？_）证明过程又是塞瓦定理的特例。重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为(X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3)。重心坐标虽然我们经常在3D中使用三角形，但三角形却是一个天生的2D物体，使用3D中任意朝向的三角形是一件很烦恼的事。重心坐标是对这个问题的一种巧妙解决方法，它是一种与三角形表面相关联，与其3D坐标空间不相关的坐标。显然，三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值，这个权就叫做重心坐标。从重心坐标到标准坐标的转换为（无论2D或3D，连4D、5D也是这样）：(b1,b2,b3) <=> b1v1+b2v2+b3v3式中：b1,b2,b3重心坐标的分量v1,v2,v3三角形的顶点坐标注意b1+b2+b3=1，所以实际上只有两个自由度，空间仍是2D的。实际上，重心坐标能表示三角形所在平面所有的点，但三角形外的点坐标至少有一个为负。对三角形内的点，计算重心坐标的方法如图所示：（图上不太清楚，红绿蓝分别为T1,T2,T3,大三角面积为T）b1=T1/T，b2=T2/T，b3=T3/T。对三角形外的点这仍适用，不过点落在一条边外时，此边上三角形面积取负数。垂心三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。三角形上作三高，三高必于垂心交。高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清， 证明如第二张图，虽然“角”的符号成了乱码，但大家应该能看懂。CF为要证的高；两个角（DOC与BAD）相等后利用相似证，此部分从略。直角三角形的情况，直角顶点显然是垂心；钝角大家没发现三角形OBC垂心就是A吗？垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长_）。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )。外心外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 内心内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。内心坐标设三角形的三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为a,b,c，则内心坐标I(ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c)旁心旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。如图，点M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。燕尾定理燕尾定理，就是一个关于如图三角形的定理。三角形ABC中，三角形AOB/三角形AOC=BF/FC；同理，三角形AOC/三角形COB=AD/DB；三角形BOC/三角形BOA=EC/AE。证明过程如下：三角形ABF/三角形ACF=BF/FC=三角形BOF/三角形COF，根据比例性质，BF/FC=（三角形ABF-三角形BOF）/（三角形ACF-三角形COF）。塞瓦定理设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1证法简介（）本题可利用梅涅劳斯定理证明：ADC被直线BOE所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由ABD被直线COF所截， BC/CD*DO/OA*AF/DF=1:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）也可以利用面积关系证明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA)/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点燕尾定理 三 知识框架燕尾定理两个有公共边的三角形和，与交于点，则三角形的面积与三角形的面积之比等于与的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）四 概念解析燕尾定理（共边定理）：五 例题讲解1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。 【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们回顾下燕尾定理，发现右图三角形中存在一个比例关系：，解得.2.三角形的面积为平方厘米，为中点，为中点，为中点，求阴影部分的面积。【分析】 设交于 交于 ， 阴影面积平方厘米。六 课堂练习1.如图，M为AB中点，N是BC上一点，CN=2BN连结AN交MC于0点，若四边形BMON的面积为14cm2，则ABC的面积是_cm22.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？ 3.如下图：已知，三角形的面积为，那么三角形的面积为多少？趣味故事韩信分油 两个卖油的伙计要平分十斤油，可手上没有秤。他们只有一个油篓，一