福建省漳州市芗城中学高中数学 4.1.2圆的一般方程教案 新人教A版必修2.doc

福建省漳州市芗城中学高中数学 4.1.2圆的一般方程教案 新人教a版必修2 一、教学目标1、知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + dx + ey + f = 0表示圆的条件。（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。2、过程与方法：通过对方程x2 + y2 + dx + ey + f = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。二、教学重点、难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数：d、e、f。难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。三、教学过程：（一）课题引入思考：方程x 2 + y 2 2x + 4y + 1 = 0表示什么图形？方程x 2 + y 2 2x 4y + 6 = 0表示什么图形？思路分析：以上是关于x，y的二元二次方程，与圆的标准方程进行比较，得知应进行配方：(x 1) 2 + (y + 2) 2 = 4表示圆；(x 1) 2 + (y 2) 2 = 1不表示任何图形。拓展问题：方程表示什么图形？（二）探索研究1、配方：2、讨论：（1）当时，表示以（，）为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（，）；（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。3、归纳：圆的一般方程：（）。4、方程的特征：（1）x 2和y 2的系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项。5、比较：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？（1）圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显；圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。（2）圆的标准方程与一般方程可以相互转化。（三）知识应用与解题研究例1：求过三点a（0，0），b（1，1），c（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为：a（0，0），b（1，1），c（4，2）在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于d，e，f的三元一次方程组：即，解此方程组，可得：，所求圆的方程为：；配方得：，所以圆的半径，圆心坐标为 (4 , 3)。归纳：用待定系数法求圆的方程的一般步骤：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a、b、r或d、e、f的方程组；（3）解出a、b、r或d、e、f，代入标准方程或一般方程。例2、已知线段ab的端点b的坐标是（4，3），端点a在圆上运动，求线段ab的中点m的轨迹方程。分析：如图，点a运动引起点m运动，而点a在已知圆上运动，点a的坐标满足方程。建立点m与点a坐标之间的关系，就可以建立点m的坐标满足的条件，求出点m的轨迹方程。解：设点m的坐标是（x , y），点a的坐标是，由于点b的坐标是（4，3），且m是线段ab的中点，所以，于是有 ；因为点a在圆上运动，所以点a的坐标满足方程，即 ，把代入，得，整理得：，所以点m的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆。（四）课堂练习：课堂练习p123。（五）小结：我们学到了什么？1、圆的一般方程：的讨论（什么时候可以表示圆）；