河北省南宫市中学高考数学二轮复习 立体几何专题训练（1）（含解析）.doc

南宫中学2015届高三二轮复习立体几何专题训练（1）1如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，面,(1)求证：平；(2)若，求四棱锥的体积2. 如图1，在rtabc中，abc=90，d为ac中点，于（不同于点），延长ae交bc于f，将abd沿bd折起，得到三棱锥，如图2所示. （）若m是fc的中点，求证：直线/平面；（）求证：bd；（）若平面平面，试判断直线与直线cd能否垂直？并说明理由. 3.（本小题共14分）如图，在四棱锥p - abcd中，底面abcd是正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，m和n分别是ad和bc的中点。（i）求证：pmmn；（ii）求证：平面pmn平面pbc；（iii）在pa上是否存在点q，使得平面qmn/平面pcd？若在求出q点位置，并证明；若不存在，请说明理由。4.(本小题满分12分) 如图，四边形abcd是菱形，四边形madn是矩形，平面madn平面abcd，e，f分别为ma，dc的中点，求证： (i)ef/平面mncb；()平面mac平面bnd5.如图1,在直角梯形中, 点 为中点.将沿折起, 使平面平面,得到几何体,如图2所示.（i）在上找一点,使平面;（ii）求点到平面的距离.bacd图1e abcd图2e 6（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱abc-a1b1c1中，o是ac的中点，a1o平面abc，bca=90，aa1=ac=bc. （i）求证： ac1平面a1bc; （ii）若aa1=2，求三棱锥c-a1ab的高的大小abca1ob1c17.已知正方体，是底对角线的交点.求证：（）面；（2）面（3）8（本小题满分12分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，ad垂直于ab和dc，侧棱sa底面abcd，且sa = 2，ad = dc = 1，点e在sd上，且aesd。（1）证明：ae平面sdc；（2）求三棱锥becd的体积。9（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）abc-a1b1c1中，d是bc的中点，aa1=ab=1 （1）求证：al c平面ab1d； （2）求点c到平面ab1d的距离10（本小题满分12分） 如图，在三棱锥p-abc中，面, bac=120，且ab=ac=ap=1，m为pb的中点，n在bc上，且an=bn.（）求证：abmn；（）求点p到平面nma的距离.11.（本小题满分12分）四棱锥p-abcd,侧面pad是边长为2的正三角形,底面abcd为菱形,bda=60()证明:pbc=90;（）若pb=3,求直线ab与平面pbc所成角的正弦值12（本小题满分12分） 三棱柱 中， 在底面abc内的射影为ac的中点d (1)求证： ； (2)求三棱锥 的体积13（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面bacdp （）求证：； （）求点到平面的距离14. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，（1）若点是的中点，求证：平面（2）若是线段的中点，求三棱锥的体积.15（本题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一动点（1）求证：；（2）确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由（3）如果pa=ab=2，求三棱锥b-cdf的体积立体几何专题训练（1）答案详解1如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，面,(1)求证：平；(2)若，求四棱锥的体积(本题满分4分)证明：（1）由是菱形3分由是矩形6分（2）连接，由是菱形，由面,，10分则为四棱锥的高由是菱形，则为等边三角形，由；则，14分2. 如图1，在rtabc中，abc=90，d为ac中点，于（不同于点），延长ae交bc于f，将abd沿bd折起，得到三棱锥，如图2所示. （）若m是fc的中点，求证：直线/平面；（）求证：bd；（）若平面平面，试判断直线与直线cd能否垂直？并说明理由. .解：（）因为,分别为中点，所以/ -2分 又， 所以. -4分 （）因为，且所以 -7分又所以 -9分（）直线与直线不能垂直 -10分因为,，所以 . -12分因为，所以，又因为，所以.假设，因为，所以， -13分所以，这与为锐角矛盾 所以直线与直线不能垂直. -14分3（本小题共14分）如图，在四棱锥p - abcd中，底面abcd是正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，m和n分别是ad和bc的中点。（i）求证：pmmn；（ii）求证：平面pmn平面pbc；（iii）在pa上是否存在点q，使得平面qmn/平面pcd？若在求出q点位置，并证明；若不存在，请说明理由。4.(本小题满分12分) 如图，四边形abcd是菱形，四边形madn是矩形，平面madn平面abcd，e，f分别为ma，dc的中点，求证： (i)ef/平面mncb；()平面mac平面bnd5.如图1,在直角梯形中, 点 为中点.将沿折起, 使平面平面,得到几何体,如图2所示.（i）在上找一点,使平面;（ii）求点到平面的距离.bacd图1e abcd图2e abcdef解:(1) 取的中点,连结, -2分在中, ,分别为,的中点 为的中位线 平面 平面 平面 -6分(2) 设点到平面abd的距离为 平面 而 即三棱锥的高, 即 -12分6（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱abc-a1b1c1中，o是ac的中点，a1o平面abc，bca=90，aa1=ac=bc. （i）求证： ac1平面a1bc; （ii）若aa1=2，求三棱锥c-a1ab的高的大小abca1ob1c1解：（）因为a1o平面abc，所以a1obc又bcac，所以bc平面a1acc1，所以ac1bc2分因为aa1ac，所以四边形a1acc1是菱形，所以ac1a1c所以ac1平面a1bc6分abca1ob1c1（）设三棱锥c-a1ab的高为h由（）可知，三棱锥a-a1bc的高为ac1因为vc-a1abva-a1bc，即sa1abhsa1bc在a1ab中，aba1b2，aa12，所以sa1ab10分在a1bc中，bca1c2，bca190，所以sa1bcbca1c2所以h7.已知正方体，是底对角线的交点.求证：（）面；（2）面（3）证明：（1）连结，设连结， 是正方体 是平行四边形且 又分别是的中点，且是平行四边形 面，面面 （2）面 又， 同理可证，又面（3） 是正方体 ab1dc1 , ad1bc1 8（本小题满分12分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，ad垂直于ab和dc，侧棱sa底面abcd，且sa = 2，ad = dc = 1，点e在sd上，且aesd。（1）证明：ae平面sdc；（2）求三棱锥becd的体积。 ()证明：侧棱底面，底面. .1分又底面是直角梯形，垂直于和,又侧面,.3分侧面平面.5分() 7分在中 ， 9分又因为，所以点b到平面scd的距离等于点a到平面scd的距离ae 11分所以 而,所以,mc/ab. （3分）9.（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）abc-a1b1c1中，d是bc的中点，aa1=ab=1 （1）求证：al c平面ab1d； （2）求点c到平面ab1d的距离10（本小题满分12分） 如图，在三棱锥p-abc中，面, bac=120，且ab=ac=ap=1，m为pb的中点，n在bc上，且an=bn.（）求证：abmn；（）求点p到平面nma的距离.q10. 解：（1）取ab中点q，连接mq、nq，an=bn， 2分面，又，4分所以ab平面mnq，又mn平面mnq abmn6分（2）设点p到平面nma的距离为h， 为的中点，=又， 7分又，9分可得nma边am上的高为，10分由 得 12分11.（本小题满分12分）四棱锥p-abcd,侧面pad是边长为2的正三角形,底面abcd为菱形,bda=60()证明:pbc=90;（）若pb=3,求直线ab与平面pbc所成角的正弦值11.解:(1)取ad中点o,连op.ob,由已知得:opad,obad,又opob=o,ad平面pob, bcad,bc平面pob,pb平面pob, bcpb,即pbc=90 6分 (2)如图,以o为坐标原点,建立空间直角坐标系o-xyz,则a(1,0,0),b(0,0),c(-2,0),由po=bo=,pb=3,得pob=120,poz=30,p(0,-, ),则=(-1,0),=(-2,0,0), = (0,-),设平面pbc的法向量为n=(x,y,z), 则,取z=,则n=(0,1,), 设直线 ab与平面pbc所成的角为,则 sin=|cos|= 12分12（本小题满分12分） 三棱柱 中， 在底面abc内的射影为ac的中点d (1)求证： ； (2)求三棱锥 的体积13（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面bacdp （）求证：； （）求点到平面的距离13. 解：（）连接交于平面，面，面面 2分又为的中点，4分为中点为中点 5分；6分（）因为所以， 8分 9分在中, 11分 12分14. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，（1）若点是的中点，求证：平面（2）若是线段的中点，求三棱锥的体积.14.解：（1）证明：设，连接，由三角形的中位线定理可得：, -3分平面，平面，平面 -6分 （2）平面平面，平面，,-8分又是的中点，是正三角形， -10分又平面平面，平面， -12分15（本题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一动点（1）求证：；（2）确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由（3）如果pa=ab=2，求三棱锥b-cdf的体积15解析证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂