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如何学习高中数学（1）学习要点1学法与教学效果之间的关系；2教材中体现学法；3恰当引导学生调整自己学法，学会高效学习；4具体教材中体现学法的教材理解与优化教学。各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块2-6学法指导将邀请樊亚东老师主讲。樊老师是江苏省首批教授级中学高级教师，江苏省中学数学特级教师，教育部国家课程标准高中实验教材（苏教版）编写组成员，教育部国家课程标准初中实验教材（华东师范大学出版社）编写组成员，苏州大学教育硕士研究生导师，现任教于江苏省苏州中学。高中数学课程改革已经进行了8年，广大一线数学教师对于如何对学生进行“学法指导”存在一些困惑。樊老师，能否就此问题，请您对我们作一些讲解。教师对学生进行“学法指导”我觉得关键在于教师心中有无“科学的学法”。这大致有三个层面的问题：也就是说“课前”、“课堂”与“课后”。下面我就分别这三个问题，给老师们来说一下。第一个是关于“课前”的问题，课前主要要老师去关注教材，课堂主要是要关注学生，课后主要是关注学生的作业。第一个话题：课前关注教材，教材有一个基石，那么我们老师应该去好好地学习国家课程标准，这样子才能够帮助老师去理解教材编写的体系。还有整个教材的结构，特别是新的教材与我们过去的教材的一些变化。第二个就是教材的体系。我们主要从整体结构与教材的核心概念这两个主要方面去关心我们现在的新教材的体系，它的一个主要特点是采取的分层递进与螺旋式地上升。第三个是我们关注教材也要现实地关注我们最后现实要参加的高考，所以还要求老师关注教材与高考的关系。我就说几个案例，原来呢，我准备3个，现在我把它算成两个，本来想说一个函数，一个几何，一个向量，现在可能因为时间关系，我就是说其中两个，因为这两个也是我们教材的主线吧。先说第一个案例：函数。函数这个主线是贯穿我们整个教材前后的，那么老师们去关注教材就要整体来关注函数这条线，从前到后，从左往右，就横向和纵向两个方面在教材里的体现，那么我的理解就是大概有两个维度，一个就是可视的文本形式，我把它称为知识的体系，像有一条抽象的线讨论的对象是 y=f(x)这个对象，它的生成、它的定义域、值域，它的图象，它的单调性、奇偶性、周期性，它的最大值、最小值等等。这些个内容，它针对的对象就是一个抽象的符号y=f(x)，那么与此同时，有一条辅助的线，伴随着这条抽象的线就是我们有一个具体的实例辅助着，从我们初中学的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，直到高中我们学的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，还有很多我们一线老师补充的这个正比例函数与反比例函数的和的这些运算形成的一些函数，它们都是一些具体的，那么这两条线呢一比就像二声部合唱，横过来它们自成体系，但是纵过来它们有对位的关系，互相交织在一起，有时我们要侧重一个实例，有时我们要侧重一个抽象，它们形成一个知体，这个体系应该说还是比较容易掌握的，因为它们属于文本性的，课本上都有的，老师们也容易注意到。那么函数主线的另外一个维度就是思想方法，这个要求就相对高一些。为什么呢？一般说来，它是隐藏在文本体系当中，不像文本体系那样的线性化、体系化的。比如说，关于函数的观念、原理，我们有没有输入和输出的观念，有没有形成运动观、对应的原理，有没有坐标法的意识，有没有数形结合的思想，以及函数的运算，复合函数，还有函数的变换这些我就把它归结在函数的观念和原理里面，它是零星地穿插在我们讲前面知识体系当中的；第二个思想方法里面就是链接与综合，那么函数它与方程的关系，函数它与不等式的综合，函数与解析几何的连因，函数与数列的关系，以及函数与导数层次上的、逻辑上的关系，这些就属于链接与综合这个层次。这两条比起前面要求就更高些，难度也就大一些，需要老师们特别要注意的。下面我们就分别说一下函数内容的知识链在现在教材里面有这样几次出现，一个是必修1：整个书基本都是讲基本初等函数I，然后必修2，与函数有关的是平面解析几何初步，像直线方程几乎一次函数另外的一个版本，在圆里面，课本上也有用函数的观点来解题的，我记得有一个例题就是把半圆看成一个函数，大概是个应用题，去求桩的长度，造一个半圆的桥要竖个半圆的桩，它实际上也是用半圆的观点，然后必修4整个一本书核心都是函数，它是基本初等函数II，中间有一块是平面向量，它像一座桥梁跨在代数与几何之上，它为我们第三章进一步研究三角函数提供非常有利的工具，也为我们后面空间向量引入和立体几何的进一步研究提供了工具。所以向量既可以说是代数的一个对象，可以研究向量代数，又可以看成是个几何的对象，它的几种语系都是比较丰富的。然后在必修5里面，我们谈到了数列问题，实际上数列是研究离散函数的一个重要的例子里面也有很多的与一次函数、指数函数这些有密切联系的内容，当然数列有它的一些比较特殊的处理方法；然后我们在选修1-1、2-2 里面都专门讲了导数以及导数的一些应用。而导数是我们研究函数更科学化、更难度化、更尖端化的一种工具，它是为了更深入地研究函数的，所以整个导数内容跟函数更加密不可分。第二个就是对函数内容的定位和基本要求。我们把它把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习，因为数学中有一种定义，就是数学就是模式化的科学，patterned of Science，有这种说法，因为数学的定义比较多，还有一种是语言的体系，还有人讲数学就是一门关系学，也有一种说法是模式的科学，那么它是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型；强调对函数本质的认识和理解，因此要求在高中数学学习中，现在教材采用的是多次接触、慢慢靠近、螺旋上升，不祈求一锤定音，也不可能一锤定音；第三个就是我们定位和基本要求老师们要关注背景、关注应用、也就是说要从一个学习对象的整体性、思想性上多做思考；最后一个，也是非常重要的，就是对函数的定位和基本要求，我们一定要去关注两种模式，一个就是数学生长的模式，一个就是数学学习的模式，简单的讲，数学也就像个小孩，它从无到有长出来，我们哪怕从坯胎算起，一开始有什么，然后6个月大的坯胎长成什么，慢慢长，后来我们才看见小孩有手，他也有他的固定模式，再一个就是去走近数学这个女神，这座大山也好，也是有一定的学习规律的，所以这两种模式，数学生长的模式和人类学习数学、感知数学、甚至是发现数学、发明数学也是有一定的规律的，这两种模式要求就更高了；第三个就是函数内容的处理有了一些新的变化。一个是特别强调是一个模型，美国的教材函数的内容很简单，一个输入恰好一个输出，when input exact one output，它就把这个叫函数，我看他们的教材对定义域，对这些东西看得特别淡，它就拼命抓住这样一个很核心的东西，所以现在我们也想朝这个方向，强调输入和输出，这个特别是跟我们计算机近代的发展、算法的引入，都是一脉相承地输入和输出。第三个是对背景和应用的思考。当下一些数学与生活的联系，因为生活中有大量的函数，所以我们也增加；第四个就是注重联系，刚才我们前面谈过了，不但是纵向的、数学内部的，还有横向的，比如说我们经常在数学课上讨论物理的话题，这个对小孩的帮助是非常大的。我也做过一些试验，或者物理老师请数学老师去讲一部分数学，我们班级里经常有这种事情，小孩非常开心，这个就是注重联系；第五个就是强调高中数学中多次接触函数概念是逐步加深对它本质的真正理解，以致最后当你看到“函数”这两个字的时候，我们立马就想到什么；看见一个符号f(x)的时候，我们的第一反映是什么？就是x是个输进去的，输到f这个机器里，出来了一个值；最后一点就是与传统的教材，我们现在削弱，而且淡化了一些内容，这个老师新旧教材一比就都能看出来，像那个抽象函数的题，这个求定义域，这个东西未必我们的初衷，因为如果我们让小孩求一个定义域，我总有办法让他错的，我就拼命加根号，加分母，里面再多弄几层，这个实际上是没有多少意义的，所以我们老师应该明白这样一个变化，它的初衷是更好地突出一个本质，主要就是这个，这是第三点。第四点就是三个要素的变化。这个我刚才基本上也已经说了，现在主要强调“对应”，会求一些简单，我强调一下是十分简单的定义域和值域。特别是一开始高一孩子进来，有些学校动不动就上高考题，上高三，把高一的小孩当高三教，这个怎么说呢？就大家都苦了，这个也是违背规律的，所以我们要求是会求一些十分简单的定义域和值域，这也是与原来教材不太一样的地方。第五个就是对“反函数”要求我们也作了变化。弱化了仅以指数函数和对数函数这一对具体函数的关系，告诉学生有这么一回事，以及他将来从这里出发，以这里为起点，再去学其他反函数，就有一个起点，一般不要人为地加深。第六个就是指数、对数、幂函数要求也有了些变化。这个主要是突出背景和应用，特别注意三者的比较，要能够区别开来。比如说，我们在学数学的时候，前几项写出来，孩子有没有一个直观的感觉，这个变化不像线性的变化，就它的增长速度啊，这个变化比线性变化还要慢，会不会考虑它是对数的，或者说它上升地非常快，很陡峭，那我们有没有这个意识，它可能跟指数有一定的联系，这都是强调三者的比较。那么第七个就是函数与微积分。这个就是微积分的研究对象本身就从一开始讲就是函数，两个基础问题，一个就是切线问题，一个是面积的问题，实际上都是跟函数有关的。第二个就是中学生学习微积分的教育价值在哪里？每个老师应该非常清楚，所以说很多老师都不是很能明白我们现在教材里写的一种叫直观式的微积分，在英国教材里这种写法叫直观式的微积分，不是用，柯西跟威尔查斯建立的一种理论，让同学们去感悟，就这么块面积，我们怎么来研究把它切切小，有这么个意识就可以了，就这么个曲线，我们关心射到p点怎么反射，那能不能在p点的这个地方看得很短很短，最后看成是个直的这样一个意识，我们就能进入到现在，而不必在这个严密的理论上。第八个就是上述变化的由来。一个是强调数学的本质和对数学整体的认识；第二个是贴近学生的认知规律，因为现在的高中生是现在的初中生以后接上来的高中生，现在的初中跟二十年前的初中已经有了很大的变化，那么现在的高中学生也是顺其自然，跟过去的高中生不一样了，所以要贴近学生的认知规律；第三个是贴近生活。这个就是函数做这样一个变化的由来。第九个方面就是为什么要讲一些函数的背景？这个就是使学生获得对数学的发生和发展的过程中对它价值慢慢地认识，他也知道不是谁坐在家里，凭空想出来的；第二个一是数学学习的需要，数学学习也是个血脉相连的一个整体。在学习的过程中，不能够碎尸万段，孤立地来看，所以这些概念、结论它们产生的背景都是联系着的，这样呢，我们才能产生学习数学的冲动和欲望，这也是人类感情的需要吧。最后再强调一遍就是两个模式：“数学形成和发展的模式”，小孩怎么长大的，他有规律的，第二个就是人去学习与研究，这个小孩是什么模式，也是有规律的。所以我们每一堂课在备课的时候也好，在教学的时候也好，说得夸张点，每一分钟都要想到这两种模式。第十个就是为什么要讲应用？那么20世纪下半叶以来，数学应用的最大发展是有目共睹的。得科技进步奖的院士，吴文俊，有一句名言：“在非常尖端的领域，往往是数学一锤定音。”老先生就说了这么句话，他前面有好大段文字，意思就是我们很多尖端的搞不过人家，实际上他有句潜台词，就是我们的基础数学可能问题在这里。所以它从正面来讲，很多尖端的领域往往是数学一锤定音。所以数学的应用可以给学生讲一些，他们不一定懂，像ct啊，数目转换，像这个猜想啊对通信网络的影响啊，这些，他不一定是很懂的，分型引起的混沌这些它的应用，就是要告诉学生现在数学的运用已经是非常非常地普及。那么我们国家的数学教育正好有个不足就是：离开了现实领域里，当然这个也不能完全否定，像我们上高中的书，就完全是反的，跟现实连的很紧的。第十一个就是学函数加强知识间的联系。我刚才前面也说了，函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与算法、函数与微积分，还是要强调螺旋式上升、多次接触、慢慢来，因为教育事需要忍耐的一门事业，任何的急躁都可能适得其反。最后一个就是为什么要讲联系？前面我们也反复说了，一个是数学学科特点的需要，不是有句话嘛，是恩格斯还是谁讲的，说：“一门学科他真正用上了数学，才算比较完善，还是比较完美的。”所以呢，必须要讲联系，那么我们怎么来讲联系呢？无非就是两种，一个数数学内部的联系，这个对数学老师要求就比较高，你看见我今天上这堂课，你知不知道一年半以后这堂课的内容又要出现，那时候它再出现跟今天的联系，我经常上到高二就问高一九月份我们讲的一堂课你们记不记得，这个就是强调数学内部的，那么，更加难一点的就是跟社会、与其它学科间的联系、与日常生活的联系。最后呢，我们可以给大家看几个考题。像这样的一个题，我举的都是高考题啦，有多少人看这个题的前5秒中，把它当作函数来做的，我很想知道这个问题，这样一个三角数目表，它让我们写出第n(n3)行的从左至右的第3个数。那么，我们怎么去思考这个问题呢？函数在这里起的什么作用呢？这个就要看我们函数学得怎么样了。第二题，next one，这个是个矩阵，椭圆在这个矩阵 A变换下得到那个曲线F，让我们求F的方程。这个题目跟函数有什么关系？它和一个输入恰有一个输出事件是什么联系，就是我们有没有这样的一个意识，说的广义点就是变化（transformation）。第三题，椭圆上有一点，求这个点横、纵坐标之和的最大值。这个就是显性的函数，明摆着是个函数题了。第四题，对角线上有个点P，这个点P分, 这个数量是来控制P点的，就是P点的一个位置的量化指标，现在问我们APC是钝角时，这个的取值范围。有多少人5秒钟之内这个题一看到就说是个函数，输入一个，就输出一个APC，当然这是广义函数，泛函，因为我们函数是输入一个数，输出一个数啊，但对应思想还在对吧，一个输入恰有一个输出还在，函数我就说这一点。那樊老师，能不能就几何知识再跟我们谈谈。这个几何的变化，根据我们的理解比函数的变化的力度可能还要大一些。我简单说一下吧，第一个问题，那就是对几何课程的改革，它是力图一个稳步发展的。它也是我们中学课程的一条主线。还是那句话，它是从义务教育阶段入手的，那么高中老师就应该去好好看看初中老师几何到底是什么回事，初中的课程标准要反复地看，这样才知道我们的起步在哪里，我们是接着谁，在谁的大厦上添一砖，加一瓦，但是，很多高中老师没有去研究过初中的几何，还把现在的学生当成是20年前的学生，这个事情有点问题的。那么第二个它的知识链，必修2，一个是立体几何初步，一个是平面解析几何；这个立体几何的变化也非常大，等会儿我再说；必修4是平面向量，我把平面向量放在几何里面也是有道理的，因为我们的教材，是先讲几何向量，再讲代数向量的运算的，是有这样的倾向的；然后选修1是圆锥曲线跟方程，这个是解析几何初步的延续；然后选修2跟选修1是平行的，但是它多一块，空间向量，空间向量又是必修4的延续，它和必修2的立体几何产生一个闭合的圈，在文学上叫首尾呼应，我们很多时候看电影，看到最后才想到电影的第一幅画面，它具有这样的意识；然后在选修3，当然一般都是不高考的大量的几何，像球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充；选修4，现在我们还是用的几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与参数方程，所以几个几何的变化跟过去还是比较大的，这是它的知识链。第三个问题是对几何课程的定位，这个定位跟过去有了变化。第一条是把握图形的能力；第二步才是发展空间想象；第三步才是推理能力；以前往往说到几何，就是逻辑推理，把这个学几何就当做学推理，有的老师到现在都顽固地坚持几何就是证明。但是也有数学家认为，真正的证明那是代数证明，才是给力的；第四个是培养学生的几何直觉能力，提升几何直观的思想方法；第五个跟过去的也不一样，突出了代数与几何它的整合，就是强调代数关系的几何意义。那么，与以往的高中老的课程相比，立体几何的内容主要有这样的变化，就是定位有了变化，比如说我刚刚讲的第一个就是强调把握图形，那么我们上立体几何课，就要让学生画图，像我至少是一个礼拜，我跟我们美术老师是串通的，这个星期我讲几何题，你给我讲素描，然后他上的课呢，就是美术课画圆锥、画圆台、画球，我上几何课呢，我就讲我的圆锥怎么画，球怎么画，他的球是用明暗、用灰点、用暗调子投影，我画球就是画3个大圆，然后小孩喜欢得不得了，认为这个是对图形的把握，所以这个就是要加强联系。第二个就是处理方式有了重大的变化。第三个就是对内容进行了分层设计。那么第六个立体几何处理的变化呢，还强调合情推理与逻辑推理的有机结合，也是跟过去不一样的。我们一般的逻辑推理就叫演绎推理，就说我们把整个的定理分成了3种类型，一个就是公理，我跟学生也讨论过的，就是逼到最后，昨天的昨天，逼到最后就没有昨天的昨天了，物理学中认为是大爆炸的起点，那么，我们数学也是这样，一个定理，那么它是哪个推出来的，那么它又是哪个推出来的，把人不断地往后逼，往死里逼，逼到墙角，最后同学也认可要给几个公理，这是一个类型；第二个类型就是我们在公理的基础上用合情推理，合情推理就是通过操作、确认，像我们现在几何里面的判定定理，是暂不要证明的，注意一个词，是暂，不是说我们就不证了，比如说，线面平行的判定定理，如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么平面外一条直线和平面平行，我们就认可了，不是说不证。以前我们也证明，把一条直线延长下来与平面相交，明明是弯的，学生就有意见了，你这个明明是个直的，你怎么画成弯的了呢，老师还讲“你个笨蛋，这才是数学呢，你不懂啊！”这个就是现在简化掉了，不是不证，后面我们会有回旋过来的，但是所有的性质定理，我们都是要求演绎证明的，这个跟过去变化就大了，但是，我听了好多中学老师的课，他死活不管，一律证明，这就是对课程标准的把握的问题。分层设计是按照递推的、分阶段的几何，像必修2、必修4、选修1-2、选修2-1、选修4，它是一节一节往前走的，那么分层设计在立体几何是怎么呈现的呢？在必修中，直观感知、操作确认，先走，在前面，这条线，下面一条线与之平行，那就线面平行了嘛，这种就是直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，然后得到性质定理，推理简单的论证性质定理。进一步的论证与度量我们朝后移，因为我们后面还有更好的工具-向量。那么，分层设计的原则就是从整体到局部，这跟以前也是反的，小朋友也是先接触世界，也是先感受桌球，骨灰盒像这一种，不会有小孩先认识点线面的对吧，这也不符合，然后我们再慢慢抽象，这是它分层的一个基本原理。内容递进的第一个层次，就是通过模型，用模型帮助学生认识模型的结构，来描述现实生活中的一些简单物体的结构，并且进一步掌握在平面上表示空间图形。这个很多老师是不重视的，我是非常非常重视，我画这个三视图，然后从三视图恢复成直观图，我们的长对称，高平齐，我差一点都让他们重做的，这个不能马虎的。第二个层次就是我们要以长方体为载体，反复讲长方体也可以，讲正方体也可以，长方体是最容易接触的，然后长方体里面的点、线、面之间关系都有了，我们通过它来抽象，在这个背景上抽象出线面，然后再用语言表述，并了解一些可以公理和定理，这就是第二个层次。第三个层次，我们把长方体用奥苏贝尔理论固作点，我就站在这个上面朝更高的地方去构造，去看看能碰到多少，因为奥苏贝尔特别强调，我跟老师也经常交流，我说你上课讲这么多东西，你跟我讲讲你的固作点是什么，你让小孩一起站在什么东西上，然后跳的这个东西能够着吗？多少人能够着，这个就是平时要注意的。第三个层次就是我们对性质、定理要进行论证，这个就是逻辑证明，至于判定定理，我们是把它置后的，这个就是借助长方体建立的一些体系、公理还有定理啊，然后这是要证明的，这个就是性质定理。最后一个层次就是等向量工具上了后，对立体几何暂未证明的定理，这个时候我们再来找它算账，说的难听点，叫秋后算账。比如说，我们有个著名的定理，线面垂直的定理。用欧几里得的方法添多少辅助线啊，不要说学生去想到，不要说建构主义了，就是一个老师边讲边画图，也是大汗淋漓的，但是如果我们有了向量的运算，有基的概念，把平面里任意一个向量表示出来，然后我们由分配率，就是两三行的事情。这就告诉学生为什么要读书，为什么要学下去，他们会知道，学的东西少了，也就是生活苦一点罢了，这是这个道理。那么立体几何有几个问题，我觉得是要和老师探索一下的。（1）把握好分阶段、分层次、递进的过程，这个比较难。就是要教师深入研究教材，所以为什么要强调第一关，教师要关注教材呢，那就是要把教材充分研究透了，你才能利用教材来教人，而不是跑到教室里就去教教材，那就完蛋了。（2）合情推理和演绎推理的有机结合，怎样把它处理的炉火纯青？这个需要老师要花功夫。（3）向量法与综合法的恰当运用，我最近正好在讲空间向量，我用了个办法，今年我是第三次了，我每个题目拿出来都问，当年我们怎么做？几何法。然后就给学生讲，少来这一套，那么，为什么要少来这一套呢？这个一套我不是弄出来了嘛，书上有一个求对角线AC长的那个著名的例子，少来这一套肯定有少来这一套的道理，那无非是过去的那一套繁琐，要添多少辅助线啊，对角线的射影很不好，一碰就错啊，然后我们少了换上来的这一套，我们就用基底、坐标，因为空间向量还是有选择，我是用基来，用字符运算，还是转化成坐标运算；第五个问题就是初高中的衔接。这个问题是个大问题。很多高中老师以为初中小孩几何牛的不得了，都把他们当成很牛的学生，其实不然，这个也是需要注意的。初中好像降低了对推理证明的要求，所以高中老师要多看初中，多听初中的课。解析几何的变化它现在主要由两个变化，一个是知识体系的变化，它是从图形，从有了这个之后，再上升到理性去研究它的方程，然后内容进行强干削枝。比如说，我们过去都讲，我们是过来人哪，什么叫椭圆？老师讲到平面内，到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两点之间的距离）的点的轨迹叫椭圆。我当时作中学生的时候，我就觉得，妈呀，这东西天上掉下来的啊，怎么会有这个东西的呢，椭圆我们的感觉就是一个椭的圆呀，把这个圆压压扁，从来也没有这个感觉，怎么是到两个定点的距离之和等于定长，这也是灌输式的，违背认知的，但是如果我们一刀劈到蛋筒上去，稍微斜一点，不要太斜，你问学生这是什么东西？或者把手电筒照在墙上，我们手电筒稍微斜一点，你问学生这个影子是什么？这才是椭圆给我们的，从人生下来的一种椭圆的感觉，怎么是跑上来就是平面内到两个定点的距离之和等于定长，那你干脆讲点点距比点心距等于0,1之间的常数，那还要数学化呢对吧，学生就没命了，所以认知规律和学生的生理成长怎么把它糅合在一起，是几何这个定位一个主要的变化，主要在这里，当然，它也有“三部曲”，特别到空间向量和几何合起来以后，当然，这里还有一个就是对不同的学生，有不同的要求，这也是老师们应该强调的，并不是对所有的同学，用同样的一把直尺。所以现在呢，从一个几何题的自然语言，然后到几何特征，用Dandelin双球，然后才发现了那两个定点，当然有很多老师也可以引入准线，用Dandelin双球，然后回归到我们传统的建立方程，通过方程来研究，这个变化还是大的。那么最后要说的就是要注意螺旋上升，所以它不是一次就能够的，包括圆锥曲线也得慢慢来，最好能把它和立体几何融于一炉，那这个就是我们比较追求的一个境界了。最后，对几何老师心里要对教材的研究有个一个老师心中要有首歌，他才能给学生来叫唱，那么，他的心中研究几何的方法，有哪些方法呢？比如必修2，第61页的11题，我调查了很多老师，他们都不讲了，他