66 函数模型及其应用(t).doc

南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练66 函数模型及其应用班级_姓名_等级_一双基巩固1（选修1-1p83练习第2题改编）把长为100cm的铁丝分成两段,各围成一个正方形,则两个正方形面积之和的最小值为_ _答案：312.5cm22（07重庆卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为_时，其体积最大？最大体积是_答案：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。3某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D答案：D4将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个_元解析：设每个涨价x元，则实际销售价为（10x）元，销售的个数为（10010x），则利润为y（10x）（10010x）8（10010x）10（x4）2360（0x10）因此x4，即售价定为每个14元时，利润最大答案：145在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a是这样一个量，与其他近似值比较，a与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以a1，a2，an推出的a_解析：设a与各数据的差的平方和为y，则y（aa1）2（aa2）2（aan）2na22a（a1a2an）（a12an2an2），因此a时，y取得最小值答案：a6.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。7已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_.9万件8. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。9一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a（a0），家庭孩子个数为x（xN*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），则f（x）a（x1）xa（xN*），g（x）（x2）x（xN*），g（x）f（x），得xx，x1因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社10（选修1-1p79例1改编） 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？分析：首先引进自变量,然后建立容积的目标函数 ,最后利用导数求函数的最大值。解：设容器的高为x，容器的体积为V.则(0 x 24)xx由；所以 当，又，所以 0 ， 答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积1960011统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。二拓展提高12.如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为*13如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论AEDBHP解：（I）如图，由三垂线定理逆定理知，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，设，则记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小（II）设，总造价为万元，根据题设有则，由，得当时，在内是减函数；当时，在内是增函数故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元（III）解法一：不存在这样的点，事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与之间故可设位于与之间，且=，总造价为万元，则类