浙江省杭州市高一数学下学期期末试卷（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1函数f（x）=的定义域是（）a1，+）b（1，+）c（0，1）d0，12函数f（x）=sin2x，xr的一个对称中心是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）3设向量=（m，2）（m0），=（n，1），若，则=（）abc2d24函数f（x）=lnx+x2的零点位于区间（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）5已知幂函数f（x）=kx（kr，r）的图象过点（，），则k+=（）ab1cd26在区间（1，1）上单调递增且为奇函数的是（）ay=ln（x+1）by=xsinxcy=xx3dy=3x+sinx7若向量=2，|=4，|=1，则向量，的夹角为（）abcd8设函数f（x）=x2+ax，ar，则（）a存在实数a，使f（x）为偶函数b存在实数a，使f（x）为奇函数c对于任意实数a，f（x）在（0，+）上单调递增d对于任意实数a，f（x）在（0，+）上单调递减9若偶函数f（x）在区间（，0上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x1）f（x）0的解集是（）a（，1）（1，+）b（，7）（7，+）c（7，1）（7，+）d（7，1（7，+）10函数f（x）=asin2x+cos2x，xr的最大值为，则实数a的值为（）a2b2c2d11函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）a1b3c5d712设a=log2，b=log，c=2，则（）aabcbbaccacbdcba13函数y=cos2xsin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）a向右平移b向右平移c向左平移d向左平移14函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）abcd15设函数f（x）=min2，|x2|，其中min|a，b|=若函数y=f（x）m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）a（2，62）b（2， +1）c（4，82）d（0，42）16设m是abc边bc上任意一点，n为am上一点且an=2nm，若，则+=（）abc1d17计算： =（）abcd18若函数f（x）=x22x+1在区间a，a+2上的最小值为4，则a的取值集合为（）a3，3b1，3c3，3d1，3，319若不等式|ax+1|3的解集为x|2x1，则实数a=（）a1b2c3d420如图，己知|=5，|=3，aob为锐角，om平分aob，点n为线段ab的中点， =x+y，若点p在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，x0，y0；xy0；xy0；5x3y0；3x5y0满足题设条件的为（）abcd21设不等式4xm（4x+2x+1）0对于任意的x0，1恒成立，则实数m的取值范围是（）a（，bcd，+）22设o为abc的外心（三角形外接圆的心），若=|2，则=（）a1bc2d23设函数f（x）=若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b1（1，+）c（，1）d（，1）（1，+）24函数的值域为（）a1，b1，c1，d1，225在abc中，bc=6，若g，o分别为abc的重心和外心，且=6，则abc的形状是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26若函数f（x）=2sin（x）（0）的最小正周期为，则=27设tanx=2，则cos2x2sinxcosx=28计算：log89log32lg4lg25=29已知a、b、c是单位圆上三个互不相同的点，若|=|，则的最小值是30若函数f（x）=a存在零点，则实数a的取值范围是三、解答题（共3小题，满分30分）31已知向量，如图所示（）作出向量2（请保留作图痕迹）；（）若|=1，|=2，且与的夹角为45，求与的夹角的余弦值32设是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）（）求tan2的值；（）求函数f（x）=4sinxcosxcos2+cos2xsin21的最大值33设函数f（x）=（x2）|x|a|，a0（）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（）求f（x）在3，3上的最小值2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1函数f（x）=的定义域是（）a1，+）b（1，+）c（0，1）d0，1【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则x10，即x1，故函数的定义域为1，+），故选：a【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件2函数f（x）=sin2x，xr的一个对称中心是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，xr，令2x=k，kz，求得x=，故函数的对称中心为（，0），kz，故选：d【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题3设向量=（m，2）（m0），=（n，1），若，则=（）abc2d2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；平面向量及应用【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值【解答】解：向量=（m，2）（m0），=（n，1），且，1m2n=0=故选：b【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目4函数f（x）=lnx+x2的零点位于区间（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论【解答】解：求导函数，可得f（x）=+1，x0，f（x）0，函数f（x）=lnx+x2单调增f（1）=ln1+12=10，f（2）=ln20函数在（1，2）上有唯一的零点故选：b【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断5已知幂函数f（x）=kx（kr，r）的图象过点（，），则k+=（）ab1cd2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与的值即可【解答】解：幂函数f（x）=kx（kr，r）的图象过点（，），k=1， =，=；k+=1=故选：a【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题6在区间（1，1）上单调递增且为奇函数的是（）ay=ln（x+1）by=xsinxcy=xx3dy=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于a，函数不是奇函数，在区间（1，1）上是增函数，故不正确；对于b，函数是偶函数，故不正确；对于c，函数是奇函数，因为y=13x2，所以函数在区间（1，1）不恒有y0，函数在区间（1，1）上不是单调递增，故不正确；对于d，以y=3x+sinx是奇函数，且y=3+cosx0，函数在区间（1，1）上是单调递增，故d正确故选：d【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7若向量=2，|=4，|=1，则向量，的夹角为（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角【解答】解：由已知向量=2，|=4，|=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是0，所以向量，的夹角为；故选：a【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键8设函数f（x）=x2+ax，ar，则（）a存在实数a，使f（x）为偶函数b存在实数a，使f（x）为奇函数c对于任意实数a，f（x）在（0，+）上单调递增d对于任意实数a，f（x）在（0，+）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误【解答】解：aa=0时，f（x）=x2为偶函数，该选项正确；b若f（x）为奇函数，f（x）=x2ax=x2ax；x2=0，x0时显然不成立；该选项错误；cf（x）的对称轴为x=；当a0时，f（x）在（0，+）没有单调性，该选项错误；d根据上面a0时，f（x）在（0，+）上没有单调性，该选项错误故选a【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法9若偶函数f（x）在区间（，0上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x1）f（x）0的解集是（）a（，1）（1，+）b（，7）（7，+）c（7，1）（7，+）d（7，1（7，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可【解答】解：偶函数f（x）在区间（，0上单调递减，且f（7）=0，f（x）在区间0，+）上单调递增，且f（7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x1）f（x）0等价为：或，即或，即x7或7x1，故选：c【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键10函数f（x）=asin2x+cos2x，xr的最大值为，则实数a的值为（）a2b2c2d【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+），其中tan=，（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，=，解得a=2故选：c （4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题11函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）a1b3c5d7【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为 1，故选：a【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题12设a=log2，b=log，c=2，则（）aabcbbaccacbdcba【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论【解答】解：log21，log0，021，即a1，b0，0c1，acb，故选：c【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础13函数y=cos2xsin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）a向右平移b向右平移c向左平移d向左平移【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2xsin2x=sin（），利用y=asin（x+）的图象变化规律，可得结论【解答】解：y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2xsin2x=sin（），又y=sin2（x）+=sin（2x）=sin（+2x）=sin（），函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2xsin2x的图象故选：a【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=asin（x+）的图象变化规律，属于基础题14函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，图象过原点，综上只有a符合故选：a【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题15设函数f（x）=min2，|x2|，其中min|a，b|=若函数y=f（x）m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）a（2，62）b（2， +1）c（4，82）d（0，42）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】先比较2与|x2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围【解答】解：令y=f（x）m=0，得：f（x）=m，由2|x2|可得x28x+40，解可得42x4+2，当42x4+2时，2|x2|，此时f（x）=|x2|当x4+2或0x43时，2|x2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，f（42）=22，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0m22，不妨设0x1x22x3，则由2=m得x1=，由|x22|=2x2=m，得x2=2m，由|x32|=x32=m，得x3=m+2，x1+x2+x3=+2m+m+2=+4，当m=0时， +4=4，m=22时， +4=82，4x1+x2+x382故选：c【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象16设m是abc边bc上任意一点，n为am上一点且an=2nm，若，则+=（）abc1d【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】平面向量及应用【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论【解答】解：如图所示，m是abc边bc上任意一点，设=m+n，则m+n=1，又an=2nm，=，=m+n=+，+=（m+n）=故选：b【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题17计算： =（）abcd【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；三角函数的求值【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10角的正弦函数值，即可得解【解答】解： =故选：a【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题18若函数f（x）=x22x+1在区间a，a+2上的最小值为4，则a的取值集合为（）a3，3b1，3c3，3d1，3，3【考点】二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间a，a+2的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：函数f（x）=x22x+1=（x1）2，对称轴x=1，区间a，a+2上的最小值为4，当1a时，ymin=f（a）=（a1）2=4，a=1（舍去）或a=3，当a+21时，即a1，ymin=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=3，当aaa+2时，ymin=f（1）=04，故a的取值集合为3，3故选：c【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19若不等式|ax+1|3的解集为x|2x1，则实数a=（）a1b2c3d4【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得3ax2，即2x1，由此可得a的值【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|3，即3ax+13，即4ax2，即2x1，a=2，故选：b【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题20如图，己知|=5，|=3，aob为锐角，om平分aob，点n为线段ab的中点， =x+y，若点p在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，x0，y0；xy0；xy0；5x3y0；3x5y0满足题设条件的为（）abcd【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】平面向量及应用【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y由此即可解题【解答】解：设线段op与ab的交点为c，则由向量共线定理知：存在实数，其中0，=，共线，存在实数，使得，n为ab的中点，又|=5，|=3，om平分aob，由正弦定理知，am=bmacam=ab，故，=x=（1），y=，x0，y0；xy=（12）0；5x3y=（58）0故选：b【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题21设不等式4xm（4x+2x+1）0对于任意的x0，1恒成立，则实数m的取值范围是（）a（，bcd，+）【考点】指数函数综合题【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案【解答】解：由4xm（4x+2x+1）0，得m（4x+2x+1）4x，即m=，x0，1，1，则，则m故选：a【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题22设o为abc的外心（三角形外接圆的心），若=|2，则=（）a1bc2d【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用三角形的外心，得到，两式平方相减化简，得到2，又=|2，得到ab，ac的关系【解答】解：因为o是三角形的外心，所以，两式平方相减得2，即2，又=|2，所以2，所以；故选：b【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题23设函数f（x）=若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b1（1，+）c（，1）d（，1）（1，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】当x0时，由f（x）=x2=1得x=1；从而可得，当0x时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0x）的图象，结合图象求解即可【解答】解：当x0时，f（x）=x2=1，解得，x=1；方程f（x）=1有3个不同的实数根，当0x时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0x）的图象如下，结合图象可得，01或10；解得，a（，1）（1，+）；故选d【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题24函数的值域为（）a1，b1，c1，d1，2【考点】函数的值域【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3x4，则0x31，令，则=，函数的值域为1，2故选d【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记25在abc中，bc=6，若g，o分别为abc的重心和外心，且=6，则abc的形状是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】在abc中，g，o分别为abc的重心和外心，取bc的中点为d，连接ad、od、gd，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2=36，又bc=6，则有|=|2+|2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状【解答】解：在abc中，g，o分别为abc的重心和外心，取bc的中点为d，连接ad、od、gd，如图：则odbc，gd=ad，由=6，则（）=（）=6，即（）（）=6，则，又bc=6，则有|=|2+|2，即有c为直角则三角形abc为直角三角形故选：c【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26若函数f（x）=2sin（x）（0）的最小正周期为，则=4【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】由三角函数的周期性及其求法可得t=，即可解得的值【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：t=，解得：=4故答案为：4【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查27设tanx=2，则cos2x2sinxcosx=【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值【解答】解：tanx=2，原式=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键28计算：log89log32lg4lg25=【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数的运算性质计算即可【解答】解：log89log32lg4lg25=log23log32lg100=2=，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题29已知a、b、c是单位圆上三个互不相同的点，若|=|，则的最小值是【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设b（cos，sin），（0，）由于，可得c（cos，sin）再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设b（cos，sin），（0，），c（cos，sin）=（cos1，sin）（cos1，sin）=（cos1）2sin2=，当且仅当，即时，上式取得最小值即的最小值是故答案为：【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题30若函数f（x）=a存在零点，则实数a的取值范围是（1，1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】化简a=，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解【解答】解：由题意得，a=；表示了点a（，）与点c（3x，0）的距离，表示了点b（，）与点c（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，|ab|ab|，即11，故实数a的取值范围是（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查了数形结合的思想应用三、解答题（共3小题，满分30分）31已知向量，如图所示（）作出向量2（请保留作图痕迹）；（）若|=1，|=2，且与的夹角为45，求与的夹角的余弦值【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】平面向量及应用【分析】（i）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（ii）根据向量的运算得出=， =利用夹角得出cos=，求解即可【解答】解：（i）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（ii）设， 的夹角，|=1，|=2，且与的夹角为45=12cos45=，=，=，（）=14=3，cos=【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可32设是三角形的一个内角，且sin（