（江苏专用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 文.doc

课时2导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是_答案f(2)、f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值例2(2015青岛二模)已知函数f(x)ax33x21(ar且a0)，求函数f(x)的极大值与极小值解由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.综上，f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.命题点3已知极值求参数例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)若函数f(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是_答案(1)7(2)(2，)解析(1)由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立或当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立当x(，3)时，yx的值域是2，)；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值(1)函数y2x的极大值是_(2)(2015陕西)函数yxex在其极值点处的切线方程为_答案(1)3(2)y解析(1)y2，令y0，得x1.当x0；当x1时，y0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于_答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值设函数f(x)ax33x1 (xr)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0时，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.7分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.9分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.13分综上可知，当0a0，函数单调递增；当x(1，e时，y0，即a23a180.a6或a0时，ex1，aex0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数递增f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是(，)9设f(x)a(x5)26ln x，其中ar，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)因为f(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上，可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为6ln 2，极小值为26ln 3.10已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1kf(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为_答案(0，)解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在r上单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，)12.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_答案解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除、；从适合f(x)0的点可以排除.13函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)14若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案2,1)解析f(x)3x230，得x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)极小值点必在区间(a,6a2)内，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.解a16a2，得a0，得x1，令f(x)0，得x1.所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增当m1时，f(x)在m，m1上单调递增，f(x)minf(m)(m2)em；当0m1时，m1m1，f(x)在m,1上单调递减，在1，m1上单调递增，f(x)minf(1)e；当m0时，m11