福建省漳州八校联考高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

福建省漳州八校联考2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=1，0，1，b=1，2，则ab等于（）a1，0，1b0，1c1d1，22（5分）设i为虚数单位，复数等于（）a1+ib1ic1id1+i3（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）ab2c3d44（5分）执行如图的程序框图，如果输入的n是6，那么输出的p是（）a120b720c1440d50405（5分）已知an为等差数列，且a3+a8=8，则s10的值为（）a40b45c50d556（5分）双曲线的离心率e为（）abcd7（5分）已知sin（+）=，（0，），则sin（+）=（）abcd8（5分）圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）a（x2）2+（y1）2=1b（x+1）2+（y2）2=1c（x+2）2+（y1）2=1d（x1）2+（y+2）2=19（5分）双曲线x2y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）abcd10（5分）已知均为单位向量，那么是的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件11（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在xa，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为（）a（，2b1，0c（，2d（，+）12（5分）g是一个非空集合，“0”为定义g中任意两个元素之间的二元代数运算，若g及其运算满足对于任意的a，bg，a0b=c，则cg，那么就说g关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合a=x|x2=1，a对于数的乘法作成一个封闭集合以下四个结论：集合0对于加法作成一个封闭集合；集合b=x|x=2n，n为整数，b对于数的减法作成一个封闭集合；集合c=x|0x1，c对于数的乘法作成一个封闭集合；令是全体大于零的实数所成的集合，r对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）a4b3c2d1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13（4分）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是14（4分）已知函数f（x）=mx2+nx2（m0，n0）的一个零点是2，则+的最小值为15（4分）如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域m（图中白色部分）若在此三角形内随机取一点p，则点p落在区域m内的概率为16（4分）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）m2m有解，则实数m的取值范围为三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17（12分）等差数列an中，已知a1=3，a4=12，（i）求数列an的通项公式；（）若a2，a4分别为等比数列bn的第1项和第2项，试求数列bn的通项公式及前n项和sn18（12分）已知锐角abc中的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，定义向量=（2sinb，），且，（1）求f（x）=sin2xcosbcos2xsinb的单调减区间；（2）如果b=4，求abc面积的最大值19（12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45，（45，50，（50，55，（55，60，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50上的果树株数是产量在区间（50，60上的果树株数的倍（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60上的果树至少有一株被抽中的概率20（12分）如图，已知ab平面acd，deab，acd是正三角形，ad=de=2ab，且f是cd的中点（）求证：af平面bce；（）求证：平面bce平面cde21（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x1，2时，不等式f（x）m恒成立，求实数m的取值范围22（14分）已知椭圆+=1（ab0）过点（1，），f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，且f1、f2距离为2（1）求椭圆的标准方程（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于p1，p2两点（p1在p2的左侧），p1f1和p2f2都是圆的切线，且p1f1p2f2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由福建省漳州八校联考2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=1，0，1，b=1，2，则ab等于（）a1，0，1b0，1c1d1，2考点：交集及其运算 专题：计算题分析：要求ab，即求由所有属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合解答：解：集合a=1，0，1，b=1，2，ab=1，故选c点评：本题主要考查集合交集的概念，是简单的基础题2（5分）设i为虚数单位，复数等于（）a1+ib1ic1id1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果解答：解：复数=1+i，故选d点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）ab2c3d4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选c点评：本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键4（5分）执行如图的程序框图，如果输入的n是6，那么输出的p是（）a120b720c1440d5040考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当kn不成立时输出p的值即可解答：解：执行程序框图，有n=6，k=1，p=1p=1，kn成立，有k=2p=2，kn成立，有k=3p=6，kn成立，有k=4p=24，kn成立，有k=5p=120，kn成立，有k=6p=720，kn不成立，输出p的值为720故选：b点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题5（5分）已知an为等差数列，且a3+a8=8，则s10的值为（）a40b45c50d55考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得a1+a10=8，由求和公式可得s10=，代值计算可得解答：解：由等差数列的性质可得a1+a10=a3+a8=8，s10=40故选：a点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题6（5分）双曲线的离心率e为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：双曲线的离心率等于半焦距c与半实轴a的比值，即e=，因此可以先根据双曲线标准方程，求出半实轴a和半虚轴b的值，再用平方关系计算出半焦距c=，最后算出双曲线的离心率e的值解答：解：双曲线方程为双曲线的半实轴a=2，半虚轴b=1双曲线的半焦距c=可得双曲线的离心率为e=故选a点评：本题用一个简单的双曲线为例，考查了双曲线的基本概念和离心率的求法，属于基础题7（5分）已知sin（+）=，（0，），则sin（+）=（）abcd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：已知等式利用诱导公式化简求出cos的值，再由的范围利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，原式利用诱导公式化简后将sin的值代入计算即可求出值解答：解：sin（+）=cos=，（0，），sin=，则sin（+）=sin=故选：d点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键8（5分）圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）a（x2）2+（y1）2=1b（x+1）2+（y2）2=1c（x+2）2+（y1）2=1d（x1）2+（y+2）2=1考点：圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：根据平面直角坐标系内点p关于直线y=x对称的点对称点p的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程解答：解：点p（x，y）关于直线y=x对称的点为p（y，x），（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x2）2+（y1）2=1故选：a点评：本题考查圆的方程，考查了平面直角坐标系内点关于直线对称的公式的知识，属于基础题9（5分）双曲线x2y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）abcd考点：二元一次不等式（组）与平面区域 分析：由双曲线=1的渐近线为y=x，则可画出它与直线x=3围成的三角形区域，再由形到数即可解答：解：双曲线x2y2=4（即=1）的两条渐近线方程为y=x=x，与直线x=3围成一个三角形区域如图点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划中由形到数的能力10（5分）已知均为单位向量，那么是的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件考点：平面向量的坐标运算；充要条件 专题：证明题分析：通过举反例可以看出，当时，不能推出 ，当 时，的模为2，均由于均为单位向量，是同向的两个向量，故有 =再利用充分条件、必要条件的定义进行判断解答：解：由于均为单位向量，当时，不能推出 ，若 =，则 当 时，的模为2，均由于均为单位向量，且是同向的能推出 =故 是的 必要不充分条件，故选 b点评：本题考查单位向量的定义，两个向量坐标形式的运算，充分条件、必要条件、充要条件的定义11（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在xa，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为（）a（，2b1，0c（，2d（，+）考点：函数零点的判定定理 专题：压轴题；新定义分析：由题意可得h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m 在0，3上有两个不同的零点，故有 ，由此求得m的取值范围解答：解：f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m在0，3上有两个不同的零点，故有 ，即，解得m2，故选a点评：本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题12（5分）g是一个非空集合，“0”为定义g中任意两个元素之间的二元代数运算，若g及其运算满足对于任意的a，bg，a0b=c，则cg，那么就说g关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合a=x|x2=1，a对于数的乘法作成一个封闭集合以下四个结论：集合0对于加法作成一个封闭集合；集合b=x|x=2n，n为整数，b对于数的减法作成一个封闭集合；集合c=x|0x1，c对于数的乘法作成一个封闭集合；令是全体大于零的实数所成的集合，r对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（）a4b3c2d1考点：命题的真假判断与应用 专题：集合；简易逻辑分析：由于0+0=0，可得集合0对于加法作成一个封闭集合；2n1，2n2b=x|x=2n，n为整数，（n1，n2z），则2n12n2=2（n1n2）b，即可判断出；a，bc=x|0x1，则0ab1，即可判断出；a，br，则ab0即可判断出解答：解：0+0=0，集合0对于加法作成一个封闭集合，正确；2n1，2n2b=x|x=2n，n为整数，（n1，n2z），则2n12n2=2（n1n2）b，因此对于数的减法作成一个封闭集合；a，bc=x|0x1，则0ab1，因此c对于数的乘法作成一个封闭集合，正确；a，br，则ab0因此r对于数的乘法作成一个封闭集合其中，正确结论的个数是4故选：a点评：本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用，考查了推理能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13（4分）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是300考点：分层抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：由题意可得，抽取的教师数为40，再求得抽样的比列，再用40除以此比例，即得该学校的教师人数解答：解：由题意可得，抽取的教师数为320280=40，抽样的比列为 =，故该学校的教师人数是40=300，故答案为 300点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率相等，属于基础题14（4分）已知函数f（x）=mx2+nx2（m0，n0）的一个零点是2，则+的最小值为8考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意得，4m+2n=2，从而化简得2m+n=1；化（+）（2m+n）=2+2+，利用基本不等式求解解答：解：由题意得，4m+2n=2；故2m+n=1；（+）（2m+n）=2+2+4+4=8；（当且仅当=，即n=，m=时，等号成立）故答案为：8点评：本题考查了函数零点的定义及基本不等式的应用，属于基础题15（4分）如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域m（图中白色部分）若在此三角形内随机取一点p，则点p落在区域m内的概率为考点：定积分 专题：计算题分析：由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积s，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积s=2，阴影部分的面积点p落在区域m内的概率为p=故答案为：1点评：本题考查几何概型，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答16（4分）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）m2m有解，则实数m的取值范围为，1考点：其他不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：关于x的不等式f（x）m2m有解，即为f（x）maxm2m，通过对数函数和二次函数的性质，求得f（x）的最大值，再由二次不等式的解法，即可得到范围解答：解：关于x的不等式f（x）m2m有解，即为f（x）maxm2m，由函数f（x）=，则x1时，f（x）递减，即有f（x）0；当x1时，y=x2+x的对称轴x=，则有f（x）f（）=，则f（x）在r上的最大值为则m2m，解得，m1故答案为：，1点评：本题考查不等式的成立有解问题，注意转化为求函数最值问题，考查函数的性质和运用，及二次不等式的解法，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17（12分）等差数列an中，已知a1=3，a4=12，（i）求数列an的通项公式；（）若a2，a4分别为等比数列bn的第1项和第2项，试求数列bn的通项公式及前n项和sn考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式 专题：计算题分析：（i）求数列an的通项公式，由等差数列an中，已知a1=3，a4=12，先求出公差d，再依据等差数列的通项公式求其通项即可（）若a2，a4分别为等比数列bn的第1项和第2项，由此即可求出等比数列的首项与公比，再由公式求出其通项公式及前n项和sn解答：解：（i）设数列an的公差为d，由已知有（2分）解得d=3（4分）an=3+（n1）3=3n（6分）（）由（i）得a2=6，a4=12，则b1=6，b2=12，（8分）设bn的公比为q，则，（9分）从而bn=62n1=32n（11分）所以数列bn的前n项和（12分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟知等差数列与等比数列的性质是求解本题的关键，本题属于考查基本公式型的题，思维难度相对较低18（12分）已知锐角abc中的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，定义向量=（2sinb，），且，（1）求f（x）=sin2xcosbcos2xsinb的单调减区间；（2）如果b=4，求abc面积的最大值考点：余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：解三角形分析：由两向量的坐标及两向量垂直，得到两向量数量积为0求出b的度数，（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将b的度数代入，根据正弦函数的单调减区间求出x的范围即可；（2）由b及cosb的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形后，求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形abc的面积，将ac的最大值代入计算即可求出三角形abc面积的最大值解答：解：向量=（2sinb，），=（2cos21，cos2b），且，=2sinbcosb+cos2b=sin2b+cos2b=2sin（2b+）=0，2b+=k，即b=，kz，0b，b=，（1）f（x）=sin2xcosbcos2xsinb=sin（2xb）=sin（2x），由2x2k+，2k+，kz，得函数f（x）的单调减区间为k+，k+，kz；（2）由余弦定理得：16=a2+c22accos=a2+c2acac，sabc=acsin4，则abc面积的最大值为4点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19（12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45，（45，50，（50，55，（55，60，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50上的果树株数是产量在区间（50，60上的果树株数的倍（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60上的果树至少有一株被抽中的概率考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）根据频率的求法及所有小组的频率和为1，由已知得：，解之即得a，b的值；（2）根据概率的求法，计算可得答案，分别求出包含基本事件及从（50，60中任意抽取2个个体基本事件总数，最后求出它们的比值即可解答：解：（1）由题意知：解得：，（4分）（2）在（50，55中有4个个体，在（55，60中有2个个体，所以（50，60中共6个个体所以从（50，60中任意抽取2个个体基本事件总数为=15个，（8分）设“至少有一个个体落在（55，60之间”为事件a，则a包含基本事件15c=9个，（10分）所以p（a）=（12分）点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题20（12分）如图，已知ab平面acd，deab，acd是正三角形，ad=de=2ab，且f是cd的中点（）求证：af平面bce；（）求证：平面bce平面cde考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题分析：（）取ce中点p，连接fp、bp，欲证af平面bce，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证af与平面平面bce内一直线平行，而afbp，af平面bce，bp平面bce，满足定理条件；（）欲证平面bce平面cde，根据面面垂直的判定定理可知在平面bce内一直线与平面cde垂直，而根据题意可得bp平面cde，bp平面bce，满足定理条件解答：证明：（）取ce中点p，连接fp、bp，f为cd的中点，fpde，且fp=又abde，且ab=abfp，且ab=fp，abpf为平行四边形，afbp（4分）又af平面bce，bp平面bce，af平面bce（6分）（）acd为正三角形，afcdab平面acd，deabde平面acd又af平面acddeaf又afcd，cdde=daf平面cde（10分）又bpafbp平面cde又bp平面bce平面bce平面cde（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题21（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x1，2时，不等式f（x）m恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）对函数进行求导，令f（1）=0，f（）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可（2）根据函数的单调性求出f（x）在1，2上的最大值，继而求出m的范围解答：解：（1）f（x）=x3+bx2+cx，f（x）=3x2+2bx+c，f（x）的极值点为x=和x=1f（1）=3+2b+c=0，f（）=b+c=0，解得，b=，c=2，f（x）