浙江省杭州外国语学校高二数学下学期期中试题 理（含解析）新人教A版.doc

2015届浙江省杭州外国语学校高二第二学期期中考试数学理卷 【试卷综析】这套试卷主要考查基础，考查数学能力，注重双基，突出能力考查试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学，区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。注意事项：考试时间100分钟，本试卷满分100分；本场考试不准使用计算器等计算工具；请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题，在答题卷相应处写上班级、姓名、考号，所有答案均 做在答卷的相应位置上，做在试题卷上无效.一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的）1、若复数，则 ()a b c d【知识点】复数代数形式的乘除运算【答案解析】a 解析 ：解：因为，所以(2+i)(1+i)= 【思路点拨】把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加2、在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( ）a b.cc c.cc d.aa【知识点】计数原理的应用【答案解析】c 解析 ：解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有c1003种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有c943，至少有1件次品的不同取法有c1003-c943，故选c【思路点拨】在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有c943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的【典型总结】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加3、8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ()a b c d【知识点】排列、组合及简单计数问题【答案解析】a 解析 ：解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有a88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有a92种排法，一共有a88a92种排法故选a【思路点拨】要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有a88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有a92种排法，根据分步计数原理得到结果【典型总结】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解4、用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 ( ) a7 b8 c9 d10【知识点】用数学归纳法证明不等式【答案解析】b 解析 ：解：左边的和为221n，当n=8时，和为227,故选b【思路点拨】先求左边的和221n，发现左边的规律，从而解决问题5、观察下图：12343456745678910则第_行的各数之和等于 ()a2 014 b2 013 c1 007 d1 008 【知识点】数列的求和；等差数列【答案解析】c 解析 ：解：观察下列数的规律图：12343456745678910知：第1行各数之和是第2行各数之和是第3行各数之和是第4行各数之和是第n行各数之和是由解得n=1007故选c 【思路点拨】第1行各数之和是，第2行各数之和是，第3行各数之和是，第4行各数之和是，故第n行各数之和是由此能求出结果【典型总结】本题考查数列的前n项和公式的求法和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用6、设均为正实数，则三个数 ()a都大于2 b都小于2c至少有一个不大于2 d至少有一个不小于2【知识点】不等式比较大小反证法思想. 基本不等式；进行简单的合情推理【答案解析】d 解析 ：解因为6假设三个数都小于2,则6所以假设错误,所以至少有一个不小于2. 故选d【思路点拨】因为，利用基本不等式求出其范围6；假设三个数都小于2则6不可能，所以对立面成立，即至少有一个不小于2.7、数学教研组开设职业技能类选修课3门，知识类选修课4门，一位同学从中选3门若要求两类选修课中各至少选一门，则不同的选法共有 ()a30种 b35种 c42种 d48种【知识点】分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想【答案解析】a 解析 ：解：可分以下2种情况：a类选修课选1门，b类选修课选2门，有种不同的选法；a类选修课选2门，b类选修课选1门，有种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有=18+12=30种故选a【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：a类选修课选1门，b类选修课选2门；a类选修课选2门，b类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果8、点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 ()a. b. c d【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离【答案解析】b 解析 ：解：设p（x，y），则（x0）令=1，则（x-1）（2x+1）=0，x0，x=1y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2-lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得d=,故选b.【思路点拨】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2-lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论9、是定义在上的非负、可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有 () a b c d【知识点】函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系【答案解析】a 解析 ：解：设g（x）=xf（x），x（0，+），则g（x）=xf（x）+f（x）0，,因为f（x）为非负，x为正，所以f（x）0，函数f（x）为单调递减函数所以0，又因为0，所以，故选a.【思路点拨】先确定f（x）0得到函数f（x）是单调递减的，即可得到答案10、已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小值；存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确命题的序号是 ()abcd【知识点】函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用【答案解析】c 解析 ：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+），a（0，+）0，是增函数所以不正确，a（-，0），存在x有=0，可以判断函数有最小值，正确画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确. 令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a（-，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确 故选c.【思路点拨】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根二、填空题（本大题共6小题）11、已知，复数是纯虚数，则 _.【知识点】复数的基本概念【答案解析】1 解析 ：解：=是纯虚数，所以=0且，解得a=1.【思路点拨】将复数z化为z=a+bi然后利用复数的概念即可得解12、8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_场比赛（请用数字作答）【知识点】排列组合【答案解析】16 解析 ：解：循环赛：8人平均分成两组，每组4人，比赛场数为：3+2+1=6（场），62=12（场）；淘汰赛：还剩下4名，再由每组的第一名，另一组的第二名进行淘汰赛要进行2场，再选出冠军亚军和3、4名要各进行1场；所以共需12+2+1+1=16（场）【思路点拨】先计算出循环赛的场数，8人平均分成两组，每组4人，比赛场数为：每一组，3+2+1=6（场），所以两组共62=12（场）；再计算淘汰赛，循环赛之后剩下4人进行淘汰赛，选出前两名要进行2场，再角逐冠、亚军需1场，败者角逐第3、4名还要1场；最后将所有场数加起来就是所有场数13、若在(1，)上是减函数，则的取值范围是_【知识点】函数的单调性与导数间的关系；二次函数的值域.【答案解析】 解析 ：解： 因为在(1，)上是减函数，所以在(1，)上恒成立，即在(1，)上恒成立，所以在(1，)上恒成立，令 (1，)，故.【思路点拨】由函数在(1，)上是减函数，转化为在(1，)上恒成立的问题.进而求的值域即可.14、将4名新的同学分配到三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案数为_（请用数字作答）【知识点】排列、组合及简单计数问题【答案解析】24 解析 ：解：甲同学不能分配到a班，则甲可以放在b、c班，有种方法，另外三个同学有2种情况，、三人中，有1个人与a共同分配一个班，即a、b、c每班一人，即在三个班级全排列，三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有种情况，另外三个同学有种安排方法，不同的分配方案有=24，故答案为24【思路点拨】根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在b、c班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即a、b、c每班一人，、b、c中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他三人的情况数目，由分类计数原理计算可得答案15、以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有_个（请用数字作答）【知识点】组合；间接法.【答案解析】180 解析 ：解：【思路点拨】用间接法去解决排列组合问题也是一种有效的解题方法.16、凸函数的性质定理为：如果函数在区间上是凸函数，则对于区间内的任意，有,已知函数在区间上是凸函数，则在中，的最大值为_【知识点】函数的最值及其几何意义【答案解析】b 解析 ：解：f（x）=sinx在区间（0，）上是凸函数，且a、b、c（0，），即，所以的最大值为【思路点拨】已知f（x）=sinx在区间（0，）上是凸函数，利用凸函数的性质可得： ，变形得问题得到解决17、已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.若函数的图象在点处的切线重合,则的取值范围是 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【答案解析】 解析 ：解：当x1x20或0x1x2时，f(x1)f(x2)，故不成立，x10x2当x10时，函数f（x）在点a（x1，f（x1），处的切线方程为，即y(2x1+2)x +a当x20时，函数f（x）在点b（x2，f（x2）处的切线方程为ylnx2 (xx2)，即yx+lnx21函数f（x）的图象在点a，b处的切线重合的充要条件是，由及x10x2可得-1x10，由得a函数y1，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，a（x1）=ln(2x1+2)1在（-1，0）上单调递减，且x1-1时，ln(2x1+2)-，即- ln(2x1+2)+，也即a（x1）+x10，a（x1）-1-ln2a的取值范围是【思路点拨】当x1x20或0x1x2时，f(x1)f(x2)，故不成立，x10x2分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出三、解答题（本题有4小题，请写出必要的解答过程）18.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究曲线上某点切线方程【答案解析】（）（） 当时，最大值是当时，的最大值为解析 ：解：的定义域为， 的导数. （） ，所以切线方程为：.（） 令，解得当时，单调递增，当时，单调递减.当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，【思路点拨】先求函数f（x）的定义域为（0，+），然后对函数求导可得（）根据导数的几何意义可求切线的斜率k=f（1），从而可求切线方程（）先令f（x）=0，解得x=e，从而可求函数的单调区间，然后分别讨论te时，当te时，f（x）在1，e上单调性质，从而求解函数的最值19.包含甲在内的甲、乙、丙个人练习传球，设传球次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第次仍传给甲，共有多少种不同的方法？为了解决上述问题，设传球次，第次仍传给甲的传球方法种数为；设传球次，第次不传给甲的传球方法种数为。根据以上假设回答下列问题：（1）求出的值；（2）根据你的理解写出与的关系式；（3）求的值及通项公式。【知识点】列举法；递推关系式；通项公式的求法.【答案解析】（1）（2）（3）， 解析 ：解：（1）由题意易知；表示传球2次，第2次仍传给甲的传球方法种数，所以是两种，故=2；第1次不传给甲的传球方法种数为=2.（2）由题意可知.（3）根据题意，设在第n次传球后（n2），有an种情况球在甲手中，即经过n次传递后，球又被传回给甲，而前n次传球中，每次传球都有2种方法，则前n次传球的不同的传球方法共有种，那么在第n次传球后，球不在甲手中的情况有种情况，即球在乙或丙手中，只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回甲，即；两边同时除以，得令，则，由叠加法得，所以=，整理.【思路点拨】（1）简单的列举即可；（2）由题意可知（3）概括归纳出，然后转化成，再利用叠加法得到结果.20.过曲线：外的点作曲线的切线恰有两条，（1）求满足的等量关系；（2）若存在，使成立，求的取值范围。【知识