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文档简介

导数S. Axler，K.A. Ribet设f定义在（a，b）上的函数，我们称f在c上的微分为：时微分存在，而并不是，如果它存在，我们定义为或，并且我们称之为f在c上的导数，当，f在c上总存在导数，我们称f在（a,b）上是可微的，在这种条件下，我们定义导数是所有在（a,b）上有定义的函数。例如函数在上是可微的，并且f在c上的导数对于所有的c都有定义当时，由于它的导数是一条直线，所以函数（在所有实数下）它的导数是直线的斜率，特别是一个常函数的导数在所有实数条件下为0。如果，函数的可微的并且导数：如果f在c上是可微的，那么 所以f在c上是连续的，因此，一个可微函数是连续的。然而，在0附近是连续的但是并不是可微的：而然而当时，在上，并且当时，在上导数在计算功能上具有算术性质。定理3.11 如果函数f和g在（a,b）上是可微的，k是任意常数，所以对于f+g，kf，kg在条件下，此外，如果函数g在（a,b）上非零，是可微的，并且前两个复合函数一起被叫做导数的线性运算，第三个称为和运算，最后一个是除运算，为了验证这些规则，在下： 对于乘法 对于加法 对于除法 综上，我们称函数的导数是。通过归纳我们求出函数的导数是，当n=1时显然成立；假设成立，通过乘法法则我们有：的导数为这就证明当时，由于多项式是单项式的线性组合，所以他们是可微的，例如：而当n=1时显然成立，当时，运用除法运算法则，我们有 在定理3.11基础上。另一个在除法法则的结果是有理函数的可微的，无论在什么定义域内。例如：我们称函数g在c上是函数f的切线，如果函数在的导数是有定义的，如果：假设函数在c点与函数f相切，由于函数g的图形是一条直线，也可以写作函数与函数f在（c，f（c）点相切，更简易的称作相切与点c，两函数图象是相互相切的即切线重合。所以函数f在c点有且只有一条切线。如果函数f在c可微，并有函数在c点与函数f相切，所以有： 因此，函数f在c点的导数是函数图象在c点的斜率。如果函数f在c点可微，设正数k和在中的随机数c，我们有：所以，如果不这样，对于任意的，我们可以找到，这种说法相互矛盾，即满足：但是，当时，将于函数f在c点可微相矛盾。定理3.12（链式法则）设函数f和g分别在（a，b），（c，d）上可微，如果，那么在（a，b）上可微，并有：因此，当时，首先，其次当但对于所有的，因此，对于所有的，这样对所有的，所以：当时，但。这些结论是建立在下，如果根据定理3.12取任意常数k有：当y接近于时。当时有，在这种情况下我们建立： 因此外文著录S. Axler，K.A. Rib
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