浙江省杭州市学军中学高三数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知全集为u=r，集合m=x|x22x30，n=y|y=x2+1，则m（un）为（）ax|1x1bx|1x1cx|1x3dx|1x32已知a，b，c，d为实数，且cd则“ab”是“acbd”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0），且函数的图象如图所示，则点（，）的坐标是（）abcd4若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为9的“孪生函数”就有三个，那么解析式为y=log2（x21），值域为1，5的“孪生函数”共有（）a6个b7个c8个d9个5已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，且f（x）f（）对xr恒成立记p=f（），q=f（），r=f（），则p，q，r的大小关系是（）arpqbqrpcpqrdqpr6已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）ax=对称bx=对称cx=对称dx=对称7对于实数a和b，定义运算“*”：a*设f（x）=（2x1）*（x1），且关于x的方程为f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）abcd8已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=a（x0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）a，b（，）c（，）d，9已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xr，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）abcd10定义在r上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）mf（x）+m1=0（其中m2）有n个不同的实数根x1，x2，xn，则f（xi）的值为（）abcd二、填空题（本大题共7小题，共28分）11函数f（x）=cos2x+sinxcosx1的最小正周期是，单调递增区间是12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（3x1）成立的x的取值范围是13若已知不等式2x1m（x21）对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为14已知，为锐角，sin=，sin=，则+2=15设函数f（x）=，对任意xr都有=，若函数g（x）=3sin（x+）2，则的值为16已知定义在r上的单调递增奇函数f（x），若当0时，f（cos2+2msin）+f（2m2）0恒成立，则实数m的取值范围是17若实数x，y满足，则xy的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18已知集合p=，y=log2（ax22x+2）的定义域为q（1）若pq，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围19已知函数f（x）=2sin（x），其中常数0；（1）若y=f（x）在上单调递增，求的取值范围；（2）令=4，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间a，b（a，br且ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值20已知函数f（x）=ax2x3，（1）求a的范围，使y=f（x）在2，2上不具单调性；（2）当时，函数f（x）在闭区间t，t+1上的最大值记为g（t），求g（t）的函数表达式；（3）第（2）题的函数g（t）是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由21已知函数ft（x）=cos2x+2tsinxcosxsin2x（1）若，试求sin2的值（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称，且当x时，g（x）的图象与（x）的图象重合记m=x|g（x）=且m，试求m中所有元素之和22已知函数f（x）=x22ax+a+2，（1）若f（x）0的解集a0，3，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x21|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1x2），求实数a的取值范围2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知全集为u=r，集合m=x|x22x30，n=y|y=x2+1，则m（un）为（）ax|1x1bx|1x1cx|1x3dx|1x3【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】先化简集合m，再计算m（cun）【解答】解：m=x|（x3）（x+1）0=x|1x3，n=y|y=x2+1=y|y1，un=y|y1，m（cun）=x|1x1故选：a【点评】本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单2已知a，b，c，d为实数，且cd则“ab”是“acbd”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式【分析】由题意看命题“ab”与命题“acbd”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：acbd，cd两个同向不等式相加得ab但cd，abacbd例如a=2，b=1，c=1，d=3时，acbd故选b【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题3已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0），且函数的图象如图所示，则点（，）的坐标是（）abcd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】根据图象可知函数半个周期为求得；再根据函数过点，把此点代入函数即可求得，进而可知点（，）的坐标【解答】解：，=4，它的图象经过点，得，取k=0，得点（，）的坐标是故选b【点评】本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象求解析式的问题属基础题4若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为9的“孪生函数”就有三个，那么解析式为y=log2（x21），值域为1，5的“孪生函数”共有（）a6个b7个c8个d9个【考点】函数的值域【专题】新定义；分类讨论；转化法；函数的性质及应用【分析】先确定函数的自变量是在集合， 取其一，再在， 取其一合并而成，故有9中可能【解答】解：根据题意，因为函数y=f（x）=log2（x21）的值域为1，5，则对于各函数值考察如下：令log2（x21）=1，解得x=，所以，函数的定义域中对于有下列三种可能， ；令log2（x21）=5，解得x=，所以，函数的定义域中对于有下列三种可能， ；而函数f（x）的定义域是在，中各取一个集合，再取并集而构成，所以，有不同的抽取方法n=33=9种故答案为：d【点评】本题主要考查了函数值域的应用，即根据函数的值域确定函数自变量取值的集合，体现了分类讨论和转化的解题思想，属于中档题5已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，且f（x）f（）对xr恒成立记p=f（），q=f（），r=f（），则p，q，r的大小关系是（）arpqbqrpcpqrdqpr【考点】函数恒成立问题【专题】三角函数的图像与性质【分析】由f（x）f（）对xr恒成立可得=2k，kz由此求得值，代入原函数解析式，然后求得p=f（），q=f（），r=f（）的取值范围比较大小【解答】解：f（x）=sin（2x+），且f（x）f（）对xr恒成立，=2k，kz=，kzf（x）=sin（2x+）=sin（2x+）则p=f（）=sin（2+）=sin（1，），q=f（）=sin（2+）=sin（，0），r=f（）=sin（2+）=sin（0，1）pqr故选：c【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想方法，考查了三角函数的值得求法，是中档题6已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）ax=对称bx=对称cx=对称dx=对称【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数【专题】计算题【分析】利用两角和的正弦函数化简函数y=sinx+acosx为y=sin（x+），tan=a，通过函数的图象关于x=对称，推出+=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+），（令tan=a）又函数的图象关于x=对称，+=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，函数y=sinx+cosx=sin（x+），（tan=）其对称轴方程是x+=k+，kz，即x=k+又tan=，故=k1，k1z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（kk1）+=（kk1）+，kk1z，当kk1=1时，对称轴方程为x=故选c【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质7对于实数a和b，定义运算“*”：a*设f（x）=（2x1）*（x1），且关于x的方程为f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）abcd【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围【解答】解：由2x1x1，得x0，此时f（x）=（2x1）*（x1）=（2x1）2+2（2x1）（x1）1=2x，由2x1x1，得x0，此时f（x）=（2x1）*（x1）=（x1）2（2x1）（x1）=x2+x，f（x）=（2x1）*（x1）=，作出函数的图象可得，要使方程f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则0x2x31，且x2和x3，关于x=对称，x2+x3=2则x2+x3，0x2x3，等号取不到当2x=时，解得x=，x10，0x2x3，x1x2x30，即x1x2x3的取值范围是，故选：a【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键8已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=a（x0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）a，b（，）c（，）d，【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由f（x）=a=0，故=a；分x0和x0的情况讨论，显然有a0，从而得到答案【解答】解：因为f（x）=a=0，故=a；分x0和x0的情况讨论，显然有a0若x0，此时x0；若x=0，则=0；若x1，因为xxx+1，故1，即a1且随着x的增大而增大若x0，此时x0；若1x0，则1；若x1，因为xx1；xxx+1，故1，即1a，且随着x的减小而增大又因为x一定是不同的x对应不同的a值所以为使函数f（x）=a有且仅有3个零点，只能使x=1，2，3；或x=1，2，3若x=1，有a1；若x=2，有a1；若x=3，有a1；若x=4，有a1；若x=1，有a1；若x=2，有1a2；若x=3，有1a；若x=4，有1a综上所述，a或a，故选：b【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中档题9已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xr，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）abcd【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】可以去绝对值号得到，这样根据f（x）为奇函数便可画出f（x）的图象，而f（x1）是由f（x）的图象向右平移1个单位得到，根据f（x1）f（x）便知f（x1）的图象恒在f（x）图象的下方，或部分重合，结合图象便可得到13a23a2，这样解该不等式便可得出实数a的取值范围【解答】解： =；f（x）为奇函数，图象关于原点对称，作出f（x）的图象如下：而函数y=f（x1）的图象是将y=f（x）图象向右平移1个单位得到的；要使任意的xr，恒有f（x1）f（x），只需f（x1）的图象恒在f（x）的图象下方或部分重合；只需y=f（x1）与x轴最左边的交点在y=f（x）与x轴最右边交点的右边或重合；13a23a2；即；实数a的取值范围为故选：b【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，能画出分段函数的图象，一次函数及常数函数图象的画法，函数图象沿x轴方向上的平移变换，f（x1）f（x）反映在函数图象上的特点，以及数形结合解题的方法10定义在r上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）mf（x）+m1=0（其中m2）有n个不同的实数根x1，x2，xn，则f（xi）的值为（）abcd【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】解f2（x）mf（x）+m1=0得：f（x）=m1，或f（x）=1，结合函数f（x）=，的图象求出xi的值，代入可得答案【解答】解：解f2（x）mf（x）+m1=0得：f（x）=m1，或f（x）=1，分段函数f（x）=，的图象如图所示由图可知，当f（x）=1时，它有三个根1或2或3当f（x）=m1时，它有两个根x1，x2，且这两个根关于x=2对称x1+x2=4，故方程f2（x）mf（x）+m1=0（其中m2）有5个不同的实数根，xi=10，故f（xi）=，故选：b【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题二、填空题（本大题共7小题，共28分）11函数f（x）=cos2x+sinxcosx1的最小正周期是，单调递增区间是k，2k+，kz【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用【专题】定义法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】利用辅助角公式结合倍角公式将函数进行化简，利用函数周期和单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx1= 2cos2x+2sinxcosx2=（sin2x+cos2x1）=sin（2x+），则函数的周期t=，由2k2x+2k+，kz，得kx2k+，kz，即函数的单调递增区间为k，2k+，kz，故答案为：，【点评】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的性质的应用，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（3x1）成立的x的取值范围是（，）【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x|3x1|，解绝对值不等式即可【解答】解：f（x）=ln（1+|x|），定义域为r，f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（1+x）值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x）f（3x1）成立，|x|3x1|，x2（3x1）2，x的范围为（，），故答案为（，）【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记13若已知不等式2x1m（x21）对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为【考点】一元二次不等式与二次函数【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分类法【分析】构造变量m的函数，对x210，x210，x21=0，进行分类讨论，利用|m|2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可【解答】解：构造变量m的函数求解：2x1m（x21）即：（x21）m（2x1）0构造关于m的函数f（m）=（x21）m（2x1），|m|2即2m21）当x210时，则f（2）0 从而 2x22x10 解得：又x210，即x1 或 x1，所以 1x；2）当x210时，则f（2）0 可得2x22x+30 从而 2x2+2x30解得 x或x又1x1，从而x13）当x21=0时，则f（m）=12x0 从而x，故x=1；综上有：x故答案为：【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题14已知，为锐角，sin=，sin=，则+2=【考点】两角和与差的正弦函数【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得cos和cos，进而由二倍角公式可得sin2和cos2，可得cos（+2）的值，缩小角的范围可得【解答】解：，为锐角，sin=，sin=，cos=，cos=，sin2=2sincos=，cos2=cos2sin2=，cos（+2）=又sin=，sin=，0且0，0+2，+2=，故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及知值求角问题和二倍角公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题15设函数f（x）=，对任意xr都有=，若函数g（x）=3sin（x+）2，则的值为2【考点】余弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=cos（x+）=1，可得sin（+）=0，从而求得g（）=3sin（+）2的值【解答】解：由题意可得函数f（x）=的图象关于直线x=对称，故f（）=cos（x+）=1，sin（+）=0，g（）=3sin（+）2=2，故答案为：2【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系，属于基础题16已知定义在r上的单调递增奇函数f（x），若当0时，f（cos2+2msin）+f（2m2）0恒成立，则实数m的取值范围是m【考点】函数恒成立问题【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用【分析】根据函数为奇函数可得f（2m2）=f（2m+2），利用单调性可得cos2+2msin2m+2恒成立利用换元法令t=sin0，1，真理为t22mt+2m+10在t0，1恒成立对二次函数的对称轴分别讨论，求出区间内的最小值即可【解答】解：由条件可得：f（cos2+2msin）f（2m2）由于函数是定义在r上的单调递增奇函数，cos2+2msin2m+2恒成立设t=sin0，1，t22mt+2m+10在t0，1恒成立只要g（t）=t22mt+2m+1在0，1的最小值大于0即可（1）当m0时，最小值为g（0）=2m+10，所以可得：0m（2）当0m1时，最小值为g（m）=m2+2m+10，所以可得：0m1（3）当m1时，最小值为g（1）=20恒成立，得：m1，（13分）综之：m，故答案为m【点评】考查了奇函数的性质和应用，二次函数闭区间上最小值的求法属于基础题型，应熟练掌握17若实数x，y满足，则xy的最小值为【考点】基本不等式；余弦定理【专题】压轴题；不等式的解法及应用【分析】配方可得2cos2（x+y1）=（xy+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+2，或（xy+1）+2，进而可得cos（x+y1）=1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值【解答】解：，2cos2（x+y1）=2cos2（x+y1）=，故2cos2（x+y1）=（xy+1）+，由基本不等式可得（xy+1）+2，或（xy+1）+2，2cos2（x+y1）2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y1）=2，故cos2（x+y1）=1，即cos（x+y1）=1，此时xy+1=1，即x=yx+y1=k，kz，故x+y=2x=k+1，解得x=，故xy=xx=，当k=0时，xy的最小值，故答案为：【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y1）=1是解决问题的关键，属中档题三、解答题（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18已知集合p=，y=log2（ax22x+2）的定义域为q（1）若pq，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；对数函数图象与性质的综合应用【专题】计算题；压轴题【分析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性【解答】解：（1）由已知q=x|ax22x+20，若pq，则说明在内至少有一个x值，使不等式ax22x+20，即，在a的取值范围是a4；（2）方程，【点评】考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域答题者应细心体会其不同此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化19已知函数f（x）=2sin（x），其中常数0；（1）若y=f（x）在上单调递增，求的取值范围；（2）令=4，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间a，b（a，br且ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质【分析】（1）根据三角函数的单调性的性质建立不等式的关系进行求解即可（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可【解答】解：（1）因为0，根据题意有（6分），（2）f（x）=2sin（4x），或，即g（x）的零点相离间隔依次为和，故若y=g（x）在a，b上至少含有20个零点，则ba的最小值为（14分）【点评】本题主要考查三角函数的单调性和函数零点的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键20已知函数f（x）=ax2x3，（1）求a的范围，使y=f（x）在2，2上不具单调性；（2）当时，函数f（x）在闭区间t，t+1上的最大值记为g（t），求g（t）的函数表达式；（3）第（2）题的函数g（t）是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用【分析】（1）有不单调可知对称轴在（2，2）之间，列出不等式解出；（2）对f（x）在t，t+1上的单调性进行讨论，分别求出g（t）；（3）分段讨论g（t）的单调性与最值【解答】解：（1）y=f（x）在2，2上不具单调性，22，解得a0或a（2）当时，当t1时，f（x）在t，t+1上是增函数，g（t）=f（t+1）=t2当t+11，即t0时，f（x）在t，t+1上是减函数，g（t）=f（t）=t2t3当t1t+1时，若t+111