高考数学 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年3考高考指数 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系 掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 4 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式等 了解斜截式与一次函数的关系 1 直线的斜率 方程以及两直线的位置关系是高考的重点 2 常与圆锥曲线综合命题 重点考查函数与方程思想和数形结合思想 3 多以选择题和填空题的形式出现 属于中低档题目 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 一个前提 直线l与x轴 一个基准 取 作为基准 两个方向 x轴正方向与直线l向上方向 当直线l与x轴平行或重合时 规定 它的倾斜角为 相交 x轴 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k tan 即时应用 1 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 2 直线x y 1 0的倾斜角为 解析 1 由斜率公式得 1 解得m 1 2 x y 1 0的斜率k 即倾斜角 的正切值tan 又 0 答案 1 1 2 2 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系 直线l1 l2不重合 斜率分别为k1 k2且都存在 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 即时应用 1 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 2 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 1 l1与l2的斜率分别为k1 k2 由l1 l2可知 a 2 2 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l l2 k2 k 1 k2 答案 1 2 2 3 直线方程的几种形式 即时应用 1 思考 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能否写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 提示 能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 当x1 x2且y1 y2时 直线方程为 可化为上式 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为 y y1也适合上式 当y1 y2 x1 x2时 直线方程为 x x1也适合上式 综上可知 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 2 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 解析 由直线的点斜式方程得 直线l的方程为 y 5 x 2 即3x 4y 14 0 答案 3x 4y 14 0 3 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 解析 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为答案 3x 2y 1 0 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 直线的倾斜角与斜率 方法点睛 1 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式k x1 x2 求斜率 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 提醒 对于直线的倾斜角 斜率k tan 90 若已知其一的范围可求另一个的范围 0 k 0 不存在 k 0 例1 1 2012 福州模拟 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 a 0 b c 0 d 2 已知两点a m n b n m m n 则直线ab的倾斜角为 3 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 解题指南 1 直线倾斜角与直线的斜率有关 而已知直线的方程 因此可先求直线的斜率 由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围 2 先由公式法求出斜率 再求倾斜角 3 直线l的斜率的取值范围 可由直线pa pb的斜率确定 也可先写出直线l的方程 再由点a b在直线l的异侧 或a b之一在l上 求解 规范解答 1 选b 因为直线x a2 1 y 1 0的斜率k 且 1 0 所以直线的倾斜角 的取值范围是 2 因为a m n b n m m n 所以直线ab的斜率k 1 所以直线的倾斜角为 答案 3 方法一 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以 如图所示 因此 直线l斜率k的取值范围为k 4或k 方法二 依题设知 直线l的方程为 y 1 k x 1 即kx y 1 k 0 若直线l与线段ab有交点 则a b两点在直线l的异侧 或a b之一在l上 故 2k 4 k 3k 3 k 0 即 k 4 4k 3 0 解得 k 4或k 答案 k 4或k 互动探究 本例 1 中的直线方程改为 a2 1 x y 1 0 结果如何 解析 由直线方程 a2 1 x y 1 0可得该直线的斜率k a2 1 1 所以直线的倾斜角 的取值范围为0 或 反思 感悟 1 直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索 如本例第 1 题由直线的方程 可求出直线的斜率 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围 2 已知倾斜角的取值范围 求斜率的取值范围 实质上是求k tan 的值域问题 已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围 实质上是在 0 上解关于正切函数的三角不等式问题 由于函数k tan 在 0 上不单调 故一般借助函数图象来解决此类问题 变式备选 若直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则直线的倾斜角的取值范围是 a b c d 解析 选b 直线l恒过定点 0 作出两直线的图象 如图所示 从图中可以看出 直线l的倾斜角的取值范围应为 直线平行 垂直关系的判断及应用 方法点睛 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 转化为第一种方法 或利用以下方法求解 a1a2 b1b2 0 l1与l2重合的充分条件 l1与l2相交的充分条件 l1与l2平行的充分条件 l1与l2垂直的充要条件 直线方程 l1 l2 例2 1 2012 武汉模拟 a 1 是 直线x y 0和直线x ay 0相互垂直 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2012 绍兴模拟 已知直线l1 ax 3y 1 0 l2 2x a 1 y 1 0 若l1 l2 则实数a的值是 3 已知长方形abcd的三个顶点的坐标分别是a 0 1 1 0 c 3 2 求第四个顶点d的坐标 解题指南 1 本题关键是看由a 1是否能得出两直线垂直 由两直线垂直是否能得出a 1 2 利用两直线平行的充要条件求解 3 设所求点的坐标为d x y 利用长方形的性质得出关于x y的方程组 解方程组即可得出d点的坐标 规范解答 1 选c 当a 1时 直线x ay 0可化为x y 0 此时x y 0和直线x ay 0相互垂直 当直线x y 0和直线x ay 0相互垂直时 1 1 1 a 0 解得 a 1 因此 a 1 是 直线x y 0和直线x ay 0相互垂直 的充要条件 2 l1 l2 a a 1 6 解得a 3或a 2 舍去 答案 3 3 设d的坐标为d x y 因为四边形abcd为长方形 所以 即点d的坐标为 2 3 互动探究 本例 3 中条件不变 试求该四边形的四条边所在的直线方程 解析 因为a 0 1 b 1 0 所以ab边所在的直线方程为 又因为b 1 0 c 3 2 所以bc边所在的直线方程为 即x y 1 0 同理可得 cd边所在的直线方程为 x y 5 0 ad边所在的直线方程为 x y 1 0 反思 感悟 通过本例的解析过程可知 处理两直线的位置关系 在两直线斜率都存在的前提下 利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理 若直线的斜率不存在 则可考虑数形结合 变式备选 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为 k 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 k 所求直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 直线方程的综合应用 方法点睛 直线方程综合问题的类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的某函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识 如方程解的个数 根的存在问题 不等式的性质 基本不等式等 来解决 例3 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 解题指南 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标 写出表示 abo的面积的表达式 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 方法一 由题可设a a 0 b 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 l过点p 3 2 b 且a 3 b 2 从而s abo故有s abo a 3 6 当且仅当 即a 6时 s abo min 12 此时 此时直线l的方程为即2x 3y 12 0 方法二 由题可设直线方程为 a 0 b 0 代入p 3 2 得得ab 24 从而s abo ab 12 当且仅当时 等号成立 s abo取最小值12 此时 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 3 0 b 0 2 3k s abo 2 3k 3 12 9k 12 2 12 12 12 当且仅当 9k 即k 时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 方法四 如图所示 过p分别作x轴 y轴的垂线pm pn 垂足分别为m n 设 pam bpn 显然 0 则s abo s pbn s四边形npmo s pma 3 3 tan 6 2 2 6 tan 当且仅当tan 即tan 时 s abo取最小值12 此时直线l的斜率为 其方程为2x 3y 12 0 反思 感悟 1 此题是直线方程的综合应用 解题时 可灵活运用直线方程的各种形式 以便简化运算 2 以直线为载体的面积 距离的最值问题 一般要结合函数 不等式的知识或利用对称性解决 变式训练 已知直线l kx y 1 2k 0 k r 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于a 交y轴正半轴于b aob的面积为s o为坐标原点 求s的最小值并求此时直线l的方程 解析 1 直线l的方程是 k x 2 1 y 0 令 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 2 由方程知 当k 0时直线在x轴上的截距为在y轴上的截距为1 2k 要使直线不经过第四象限 则必须有解之得k 0 当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 3 由l的方程 得a b 0 1 2k 依题意得解得k 0 s oa ob 1 2k 4k 4 2 2 4 4 成立的条件是k 0且4k 即k smin 4 此时l的方程为 x 2y 4 0 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 创新探究 与直线方程有关的创新命题 典例 2011 安徽高考 在平面直角坐标系中 如果x与y都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线y kx b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当l经过两个不同的整点 直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是 k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 解题指南 存在性问题 只需举出一种成立情况即可 恒成立问题应根据推理论证后才能成立 注意数形结合 特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形 规范解答 正确 例如y x 当x是整数时 y是无理数 x y 不是整点 不正确 如y x 过整点 1 0 设y kx k 0 是过原点的直线 若此直线过两个整点 x1 y1 x2 y2 则有y1 kx1 y2 kx2 两式相减得y1 y2 k x1 x2 则点 x1 x2 y1 y2 也在直线y kx上 通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点 通过上下平移y kx知对于y kx b也成立 所以 正确 不正确 如y x 当x为整数时 y不是整数 此直线不经过无穷多个整点 正确 如直线y x 只经过整点 0 0 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入