材料力学第04章(扭转)-06 (1)

41 扭转的概念和实例 42 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 43 纯剪切 44 圆轴扭转时的应力 45 圆轴扭转时的变形 47 非圆截面杆扭转的概念 第四章 扭 转 工 程 实 例 41 扭转的概念和实例 电动机 减速箱 抱刹 钢丝绳 卷扬机 减速箱 变形特点： 杆件 各截面 绕轴线发生相对转动。 Me 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。 受力特点： 在 垂直于杆件轴线的平面内 作用有力偶。 Me Me Me 42 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 已知：轴的传递功率 P（ kW） 转速 n（ r/min）， 求： 外力偶矩 Me（ Nm） 一、传动轴的外力偶矩 m)(N 601 0 0 0 PWm)(N 9 5 4 9 e nPM解：计算 AB轴一分钟做的功 m)(N 2 e nMWm)(N 601000 P 2 e nM其中： P 功率，千瓦（ kW） n 转速，转 /分（ r/min） 二、扭转时的内力 扭矩 Me Me Me x T Me T 构件受扭时，横截面上的内力为力偶 ， 称为扭矩，记作“ T ” 。 , 0 xM取左段： 0 e MT e MT 扭矩的正负规定： Me x T Me T 以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。 三、扭矩 图 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮 C输入 P1=500kW，从动轮 A、 B、 D输出 P2=P3=150kW， P4=200kW，试作扭矩图。 解 :(1)计算外力偶矩 nPM 11 9 5 4 9m)( k N 78.432 MMm)( k N 37.64 M例 1 m)1 5 . 9 ( k N 3005009549 m)(N101 5 . 9 3 A B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 (2)求扭矩 , 0 xM1-1截面： 21 MT ， 0 21 MT mkN78.4 （扭矩按正方向假设） A M2 T1 , 0 322 MMT2-2截面： )( 322 MMT )78.478.4( mkN56.9 , 0 xMA B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 A M2 B M2 T2 , 034 TM3-3截面： 43 MT , 0 xMT3 D M4 mkN37.6 (3)绘制扭矩图 x T/ kNm 4.78 9.56 6.37 mkN37.6 3 TmkN56.92 TmkN78.4 1 TmkN 569ma x .TBC段为危险截面 A B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 （ r平均半径） 观察变形： 1.加载前： 纵向线为直线，周向线为圆； 43 纯剪切 2.加载后： 纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线； 一、薄壁圆管扭转应力分析 Me Me 周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 薄壁圆筒： 壁厚 rt 101 Me 应力分布规律： 横截面上无正应力，只存在切应力 ； 切应力的方向与圆周相切，与内力 T一致； 切应力沿壁厚方向的数值不变； 沿圆周切应力的大小也不变。 T T Me Me T Ad A Ar T d trT 2 2 trr 2 dA dA 计算切应力 的大小： rA T 二、切应力互等定理 Me Me dx dx dx dy t z x y ,0 zM yxt dd 0dd xyt,0 xF 0 dxtdxt 切应力互等定理： 在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。 z x y F F A A Me Me 三、剪切胡克定律 三、剪切胡克定律 切应变 (量纲为 1) Me Me p 当 时 p G 剪切胡克定律 剪切弹性模量 G、弹性模量 E和泊松比 是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。 )1(2 EGG是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 的量纲为 1，故 G的量纲与 相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢材的 G值约为 80GPa。 GMe Me l lR 一、横截面上的应力 44 圆轴扭转时的应力 找出各薄壁圆管之间的变形关系 Me Me R Me Me 一、横截面上的应力 44 圆轴扭转时的应力 观察变形 R dx 纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线；周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 dx d 平面假设 横截面变形后仍为平面 dx R B A D C O d1. 变形几何关系 dx B A D C O dA B C C D R dx O O dD ACCC xRdd ta n xRdd 1. 变形几何关系 A B C C D R dx O O dD ACCC xRdd ta n E F G H 1. 变形几何关系 A B C C D R dx O O dD xdd ta n dx d xdd xdd 扭转角 沿长度方向变化率。 G2. 物理关系 剪切虎克定律： GxGdd E F G H A B C C D R dx O O dD xGdd 切应力在横截面上的分布规律 3. 静力学关系 TAI A d2p 记 xGI Tdd pp dd GITx 即：代入物理关系式 xG dd O T AxGA ddd 2 AxG A ddd 2 pIT 得： Ip 横截面的极惯性矩 xGdd 代入 AdAd A4、 应力分布 （实心截面） （空心截面） pIT dx B A D C O Me Me 最大切应力： , 时当 Rpm a x IRT tm a x WTWt 称为抗扭截面系数，几何量，单位： mm3 或 m3。 RIW pt 记：RITpm a x 或： m axAI A d2p （ 1）实心圆截面 C d x y d dA A dd220203 ddd2032dd 324pdI ddd A二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算： 02442d(2)空心圆截面 )( DdD x y C d 20223ddDd223d2Dd323244 dD )1(3244p DIAI A d2p 22442dD)1(32 444DdD A dd216 3tdW)1(1643t DW实心圆截面 空心圆截面 RIW pt 2324 dd2)1(3244tDDW 抗扭截面系数 Wt C d x y d x y C D 三、扭转破坏试验 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成 45的螺旋线断开。 强度条件： max tm axm ax WT( 称为许用切应力。 ) 四、圆轴扭转时的强度计算 nb ns 塑性材料 脆性材料 d1=120mm， d2=100mm， MA=22kNm， MB=36kNm，MC=14kNm， 许用切应力 =80M Pa, 试校核强度。 解 :(1)画扭矩图 此轴满足强度要求。 1t11 m ax WT例 2 MA MB MC d1 d2 A B C M P a65 （ 2） AB段的强度 161 2 0102236（ 3） BC段的强度 2t22 m ax WT M P a71 161 0 0101436T图 22 14 (kNm) + 有一根轴， T=1.5kNm， =50M Pa, 按两种方案确定轴截面尺寸，并比较重量： （ 1）实心轴；（ 2） =0.9的空心轴。 解： （ 1）实心轴 tm a x WT例 3 163dTd )mm(5.53（ 2）空心轴 tm a x WT)1(16431 DT 316T 1D)mm(7611 9.0 Dd )mm(7.68 34 ) ( 116 T（ 3）比较重量 实空AA4422121ddD）（ 22121ddD 385.0实 心轴的 重量是 空 心轴的 3倍。 d )mm(5.53 1D )mm(761d )mm(7.68实心轴 空心轴 53.5 68.7 76.3 d )mm(5.53实心轴 1D )mm(761d )mm(7.68空心轴 一、扭转时的变形 pGITx dd d 45 圆轴扭转时的变形 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力， 称为截面的 抗扭刚度 。 xGIT pd d lpxGIT0 d pIGlT即： （ rad） lpxGIT0 d pGIlT l Me Me dx piiiIGlT即 ： 当轴上作用有多个力偶时，进行分段计算，代数相加： MB MA MC l1 l2 A B C M2 M1 M3 lAB lAC A