热力学统计物理必做习题及部分解答..doc

热力学统计物理必做习题及部分解答第一章1.1，1.2，1.4，1.11，1.12，1.16，1.17，1.18，1.20，1.23，1.24，1.27第二 章2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2. 8，2.9，2.10第三、四 章3.1，3.2，3.3，3.4，3.5，3. 8，3.16第六章6.1，6.2，6.3，6.4第七 章7.1，7.2，7.8，7.9，7.10，7. 12第八、十 章8.3，8.7，8.8，8.9，8.10，8.10，8.13，8.14，8.19，8.20，8.22习题6.1证明： （1）进行变量代换：，代入（1）式对积分 证毕。习题6.2证明：一维自由粒子 ， （1）除外，是二度简并的：进行变量代换，考虑到0的能级简并度：证明原式成立，证毕。（，由（1）式，有0）习题6.3证明：二维自由粒子，用极坐标，面元为：把P变为：对积分：证明了原式成立。证毕。习题6.4在极端相对论情况下，。解：自由粒子处在体积V中，又处在P-P+dP球壳中的量子态数： （1）用变量代换，代入上式：。答：粒子处在能量范围内的三维粒子的量子态数为：习题7.1证明：，则由，考虑，则 成立。证毕。习题7.2证明：对极端相对论粒子由，考虑，则成立。证毕。习题7.8证明：我们推导的分子动量的最概然分布是在系统的静止坐标系中进行的。所以我们在系统上固着一坐标系，则分子的最概然分布为 （1）现在我们在静止坐标系上观察，气体以恒定速度沿轴作整体运动。令则 (2)两坐标系下动量的微分相等，,将（2）式中各量代入（1）式，得分子在静止坐标系中的最概然分布为：原式成立。证毕。习题7.9解：由7.8题知，当气体以恒定速度以沿z轴方向作整体运动时分子动量的最概然分布满足总分子数为的守恒条件代回最概然分布，麦氏动量概率分布一个分子的平动能量为：一个分子的平均能量为： (4)以上积分有三种类型（1）（2）（3） （5）所以一个分子的平动能量为习题7.10解：考虑处于长度为的二维容器中自由电子气的运动状态。将周期性边界用于二维自由电子气，该粒子在两个方向动量的可能值为，0， ，0， 在宏观尺度下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在面积内，动量在到，到的动量范围内的自由粒子量子态数。在到的范围内可能的数目为在到的范围内可能的数目为在面积内，在到，到的动量范围粒子量子态数为此即二维自由电子气的简并度，由玻耳兹曼分布，处在面积内，在的动量范围内分子数为参数由总分子数决定，利用，得，代回（1），得质心动量在范围内的分子数为如果用速度作变量，作代换，可得在范围内的分子数为此即二维自由电子气的麦氏速度分布。对应的麦氏速度分布函数满足条件在速度空间的平面极坐标中，麦氏速度分布律两边完成速度空间所有方向的积分，此即在单位面积内，速率在范围内的分子数，称为麦氏速率分布律 （3）函数称为速率分布函数，满足条件麦氏速度概率分布：，麦氏速度概率密度分布：，麦氏速率概率分布：麦氏速率概率密度分布：；最可几速率：使速率分布函数取极大值的速率。对关于求导，令取，得最可几速率平均速率：利用积分，则方均根率：利用积分，则方均根率满足，于是，或。习题712（1）用麦氏速率概率分布律： （1） （2） （3） （4）将（3）与（4）代入（2）得：(2)方法一将（1）式中的变量v变成；则 （5） （6）将（5）、（6）代入（1）得： （7） （8）化简（7）式为：，令：，则： （9） （10）将（9）、（10）、代入（8），得：。证明了第二次成立，证毕。方法二由，利用，则 所以总结求能量平均值的方法有（1）利用能量概率分布（2）利用速率概率分布（3）利用动量概率分布习题8-3解：（1）由 得物态方程 （2）习题8-7解：光子属于极端相对论粒子，由习题6-4的结果，光子在体积内，在到的能量范围内的量子态数为，光子在体积内，在到的频率范围内的量子态数为温度为时平均光子数为总光子数为，引入变量，上式化成，或在下，有在下，有习题8-8解：利用，有，代入，有引入变量，使取极大的波长由下式确定令解最后的超越方程，两条曲线相交点在，得使辐射场的内能密度取极大值的为定值，这时与温度成反比，称为维恩位移定律。习题8-9解：由上题所得，假设太阳是黑体，太阳表面温度近似为习题8-10解：由(8.4.10)给出光子气体的内能为热容量根据热力学均匀系统熵的积分表达式选择等容路径由到，即有其中已取。习题8-13解：对，代入为强简并气体。对，代入为非简并气体。习题8-14解：将所给参数代入=习题8-19解：能量动量关系态密度 时自由电子气体的总数 费米能量时自由电子气体的内能自由电子气体的压强 习题8-20解：根据习题6-4的结果，在面积内，在到的能量范围内二维自由电子的量子态数为考虑到下自由电子的分布费米能量由下式确定：从中解出下二维自由电子的内能利用二维自由电子内能与压强的关系，下二维自由电子的压强为习题8-21解：根据（8.5.17） 一级修正习题8-22解：由(8.5.19)给出低温下自由电子气体的定容热容量根据热力学均匀系统熵的积分表达式，选择等容路径由到，即有其中已取。习题9.1 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵解证：一般认为较小习题9.2 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为其中为液体的面积，为两分子的互作用势解证：二维气体其中定义变量代换据式（9.5.3）习题9.3 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量解证：一维线形原子链共有个振动，存在最大频率令高温近似低温近似其中习题9.4 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。解证：二维：面积S