复习题14

因式分解的换元技巧1整体换元例1 分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=_解 原式适当组合化为(x2+3x)(x2+3x+2)+1设 x2+3x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+3x+1)22常值换元例2 分解因式：x4+1987x2+1986x+1987=_解 设m=1987，则原式=x4+mx2+(m-1)x+m=x4+mx2+mx-x+m=(x4-x)+(mx2+mx+m)=x(x-1)(x2+x+1)+m(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+m)=(x2+x+1)(x2-x+1987) 计算632+372+6374； 982-1598-34解：令a=63，b=37原式=a2+b2+2ab=(a+b)2=(63+37)2=104令a=98，原式=a2-15a-34=(a+2)(a-17)=81003均值换元例3 在实数范围分解因式：(a2+a+1)(a2-6a+1)+12a24双重换元例4 分解因式：(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1)解 设a+b=x，ab=y，则原式=x(x-2y)+(y-1)(y+1)=x2-2xy+y2-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)=(a-1)(1-b)(a+b-ab+1)分解因式的变形策略因式分解中的10种变换一、指数变换例1 因式分解xn+1-3xn+2xn-1解 xn+1-3xn+2xn-1=x2xn-1-3xxn-1+2xn-1(指数变换)=xn-1(x+1)(x-2)二、符号变换例2 因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)解 (a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换)=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-b)三、换元变换例3 因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6解 设x2+5x-2=y，则(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6=(y+5)y-6(换元)=y2+5y-6=(y+6)(y-1)=(x2+5x+4)(x2+5x-3)=(x+1)(x+4)(x2+5x-3)四、整体变换例4 因式分解(x+y)2-4(x+y-1)解 (x+y)2-4(x+y-1)=(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)=(x+y-2)2五、拆项变换例5 因式分解x2-11x+24解 x2-11x+24=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)=x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x-8)六、添项变换例6 因式分解 4x4+1解 4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2 (添4x2项)=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)七、主元变换例7 因式分解 18x2-21xy-5y2解 18x2-21xy+5y2=5y2-21xy+18x2(将原式看作关于y的二次三项式)=(5y-6x)(y-3x)八、分组变换例8 因式分解 x4-x3+x-1解 x4-x3+x-1=(x4-x3)+(x-1) (分解)=x3(x-1)+(x-1)=(x-1)(x+1)(x2-x+1) 九、数域变换例9 因式分解 4a4-1解 4a4-1=(2a2+1)(2a2-1) (有理数范围)注意：2a2+1到高中后还可以继续分解十、综合变换例10 因式分解a6-b6解 a6-b6=(a2)3-(b2)3 (指数变换)=(a2-b2)(a4+a2b2+b4) (公式变换)=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) (添项变换)=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4)-(ab)2 (分组变换)=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) (公式变换)一、符号变形例1 分解因式：x2(x-z)+z2(z-x)解 原式=x2(x-z)-z2(x-z) =(x-z)(x2-z2) =(x+z)(x-z)2二、指数变形例2 分解因式：x6-z6解 原式=(x3)2-(z3)2 =(x3+z3)(x3-z3) =(x+z)(x2-xz+z2)(x-z)(x2+xz+z2)三、分组变形例3 分解因式：a(a+b+c)+bc解 原式=a(a+b)+c+bc =a(a+b)+(ac+bc) =a(a+b)+c(a+b) =(a+b)(a+c)例4 分解因式：(x2+x+1)(x2-6x+1)+12x2解 原式=(x2+1)+x(x2+1)-6x+12x2 =(x2+1)2-5x(x2+1)+6x2 =(x2+1-2x)(x2+1-3x) =(x-1)2(x2-3x+1)四、拆项变形例5 分解因式：x3-9x+8.解 原式=(x3-x)-(8x-8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)五、添项变形例6 分解因式：4a4+1解 原式=(4a4+4a2+1)-4a2 =(2a2+1)2-4a2 =(2a2+2a+1)(2a2-2a+1)六、展开变形例7 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)解 原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd =(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd) =ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ad+bc)(ac+bd)七、换元变形例8 分解因式：(x-z)2+4(x-y)(z-y)解 设x-y=a，z-y=b，则x-z=a-b 原式=(a-b)2+4ab =(a+b)2 =(x+z-2y)2例9 分解因式：(a2+b2)(a2-ab+b2)-2a2b2解 设a2+b2=x，ab=y原式=x(x-y)-2y2=x2-xy-2y2=(x-2y)(x+y)=(a2+b2-2ab)(a2+b2+ab)=(a-b)2(a2+ab+b2)八、主元变形例10 分解因式：6a2+11ab+3b2+4a-b-2解 以a为主元，则原式=6a2+(11b+4)a+(3b2-b-2)=6a2+(11b+4)a+(3b+2)(b-1)=6a2+2(b-1)+3(3b+2)a+(3b+2)(b-1)=2a+(3b+2)3a+(b-1)=(2a+3b+2)(3a+b-1)1添项(拆项)变换例1 分解因式 4x3-31x+15解 原式=4x3-10x2-2x2+5x+12x2-30x-6x+15 =x(4x2-10x-2x+5)+3(4x2-10x-2x+5) =(4x2-10x)-(2x-5)(x+3) =2x(2x-5)-(2x-5)(x+3) =(2x-1)(2x-5)(x+3)2组合变换若多项式的项数较多，需考虑组合变换，对多项式进行组合时，须每组项数一样多，且每组各项有公因式，提出公因式后，所得到的另一因式又是各组的公因式，也有时先拆项，再组合例2 分解因式a2+2b2+3d2+3ab+4ac+5bc解 先拆项后组合原式=(a2+ab+ac)+(2ab+2b2+2bc)+(3ac+3bc+3c2)=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+3c(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)例3 分解因式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz解 原式=(z2x+z2y)+(x2y+y2x)-(y2z+xyz)-(x2z+xyz) =z2(x+y)+xy(x+y)-yz(x+y)-xz(x+y) =(x+y)(z2+xy-yz-xz) =(x+y)(y(x-z)-z(x-z) =(x+y)(x-z)(y-z)3展合变换有些多项式，须先展开再集项组合才能分解例4 分解因式(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2解 原式=a2+2ab+b2-2a-2b-2a2b-2ab2+4ab+1-2ab+a2b2 =a2(b2-2b+1)-2a(b2-2b+1)+(b2-2b+1) =(b2-2b+1)(a2-2a+1) =(a-1)2(b-1)24对称变换上面例4用对称变换分解如下：令m=a+b，n=ab，则原式=(n-1)2-(m-2n)(2-m)=n2-2n+1-2m+m2+4n-2mn=(m2-2mn+n2)-2(m-n)+1=(m-n)2-2(m-n)+1=(m-n-1)2=(a+b-ab-1)2=(a-1)2(b-1)2例4用对称变换分解，思路容易接通，运算也较简捷5配方变换配方变换在因式分解中经常使用，如把x4+x2y2+y4分解因式，式中有x4+y4，若中间出现2x2y2，就能配出(x2+y2)2例5 分解因式x6-y6解 原式=(x2)3-(y2)3 =(x2-y2)(x4+x2y2+y4) =(x+y)(x-y)(x2+y2)2-(xy)2 =(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)6换元变换例6 分解因式(1+a+a2+a3)2-a3解 令1+a+a2=m，则原式=(m+a3)2-a3=m2+2ma3+a6-a3=m2+2ma3+a3(a3-1)=m2+2ma3+a3(a-1)(a2+a+1)=m2+2ma3+a3(a-1)m=m(m+2a3+a4