（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第十节 圆锥曲线的综合问题作业本 理.doc

第十节圆锥曲线的综合问题a组基础题组1.(2017北京东城一模,19)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0,2),且离心率为22.(1)求椭圆c的方程;(2)设a,b是椭圆c的左,右顶点,p为椭圆上异于a,b的一点,以原点o为端点分别作与直线ap和bp平行的射线,交椭圆c于m,n两点,求证:omn的面积为定值.2.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)设m(x,y)是椭圆c上的动点,p(p,0)是x轴上的定点,求|mp|的最小值及取最小值时点m的坐标.b组提升题组3.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆c与y轴交于a,b两点,且|ab|=2.(1)求椭圆c的方程;(2)设点p是椭圆c上的一个动点,且点p在y轴的右侧,直线pa,pb与直线x=4分别交于m,n两点,若以mn为直径的圆与x轴交于两点e,f,求点p的横坐标的取值范围及|ef|的最大值.4.设f1、f2分别为椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点p1,32在椭圆e上,且点p和f1关于点c0,34对称.(1)求椭圆e的方程;(2)过右焦点f2的直线l与椭圆相交于a,b两点,过点p且平行于ab的直线与椭圆交于另一点q,问是否存在直线l,使得四边形pabq的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.答案精解精析a组基础题组1.解析(1)由题意得b=2,ca=22,a2=b2+c2,解得a=2,c=2.所以椭圆c的方程为x24+y22=1.(2)证明:设点p(x0,y0)(不妨令x00,y00),m(x1,y1),n(x2,y2),则x024+y022=1.当m(x1,y1),n(x2,y2)在x轴同侧时,不妨设x10,x20,y20.射线om所在直线的方程为y1=y0x0+2x1,射线on所在直线的方程为y2=y0x0-2x2,过m,n作x轴的垂线,垂足分别为m,n,则somn=s梯形mmnn-somm-sonn=12(y1+y2)(x1-x2)-12x1y1-12(-x2)y2=12(x1y2-x2y1)=12x1y0x2x0-2-x2y0x1x0+2=12x1x24y0x02-4=12x1x24y0-2y02=-x1x21y0.由x124+y122=1,y1=y0x0+2x1得x12+2y0x0+2x12=4,即x12=4(x0+2)2(x0+2)2+2y02=4(x0+2)2(x0+2)2+4-x02=2+x0,同理x22=2-x0,所以x12x22=4-x02=2y02,即x1x2=-2y0,所以,somn=2.当m(x1,y1),n(x2,y2)在x轴异侧时,解法同.综合,omn的面积为定值2.2.解析(1)由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,知b=c,所以a2=2b2,则椭圆c的方程为x22b2+y2b2=1.又因为椭圆c过点(2,1),所以22b2+1b2=1,解得b=2,故a=2.所以椭圆的标准方程为x24+y22=1. (2)因为 m(x,y)是椭圆c上的动点,所以x24+y22=1,且|x|2,故 y2=21-x24=2-x22.所以|mp|2=(x-p)2+y2=(x-p)2+2-x22=12x2-2px+p2+2=12(x-2p)2-p2+2.若|2p|2,即|p|1,则当x=2p时,|mp|取最小值2-p2,此时m(2p,2-2p2).若p1,则当x=2时,|mp|取最小值|p-2|,此时m(2,0).若p0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,由x24+y23=1,y-32=k(x-1)消去y,得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0,由0可知k-12,设q(x3,y3),又p1,32,则x3+1=8k2-12k3+4k2,x31=4k2-12k-33+4k2.若四边形pabq的对角线互相平分,则pb与aq的中点重合,所以x1+x32=x2+12,即x1-x2=1-x3,故(x1+x2)2-4x1x2=