（计算数学专业论文）关于广义stirling数的推广.pdf

友鎏垄王太堂亟主坚些诠塞 羞壬 竖墅丝鱼g 塑曲蕉亡 摘要 s t i r l i n g 数的概念是由j s t i r l i n g 于1 7 3 0 年在他的著作 m e t h o d u s d i f f e r e n t i a l i s 中首次提出 此后 许多学者对这方面做了大量的研究 1 9 3 3 年 c h j o r d a n 在他的一篇论文中对s t i r l i n g 数做了彻底的阐述 并给出了 一些s t i r l i n g 数重要的性质 而广义s t i r l i n g 数的概念首次出现于l c o m t e t 的著作 4 3 徐利治等一批学者对此做了深入的研究 本文是在对广义s t i f l i n g 数研究的基础上 对它的定义域进行了推广 第一章主要介绍了s t i f l i n g 数及广义s t i r l i n g 数概念和性质 第二章在推广广义s t i r l i n g 数的递推关系的基础上 把它的定义域推广到 负整数的情形 并研究了推广后广义s t i r l i n g 数的性质 引入了 首要分支 和 t a y l o r 分支 的概念 给出了推广后广义s t i r l i n g 数显式的计算公式 第三章研究了广义s t i r l i n g 数的盒子模型 这个模型对广义s t i f l i n g 数的 组合意义做了阐释 我们对这个模型进行了推广 并得到了类似于第一章的结果 第四章对多参数广义s t i r l i n g 数的推广作了初步的探讨 关键词 s t i r l i n g 数 广义s t i r l i n g 数 递推关系 发生函数 首要分支 t a y l o r 分支 本连堡王太堂亟 望些盗銮 羞王亡墓塾照迫g 兹数整亡 a b s t r a c t t h es t i f l i n gn u m b e r sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yj s t i f l i n gi nh i sb o o km e t h o d u s d i f f e r e n t i a l i s 1 7 3 0 s i n c et h e n m a n ya u t h o r sp a i d l o t so fi n t e r e s t so ni t at h o r o u g h p r e s e n t a t i o no fs t i f l i n gn u m b e r sa n dt h e i rm o s ti m p o r t a n tp r o p e r t i e sp r o v i d e db yc h j o r d a n0 9 3 3 i na l le x c e l l e n tp a p e r t h et e r r a g e n e r a l i z e ds t r i r l i n gn u m b e r s f i r s t a p p e a r e di nl c o m t e t sp a p e r 4 t h ea u t h o r sl i k el c h s uh a d d e e p l ys t u d i e do n b ys t u d y i n gg e n e r a l i z e ds t i f l i n gn u m b e r s w ee x t e n dt h e i rd o m a i n si n t h i s p a p e r i nc h a p t e r1 t h en o t a t i o na n dp r o p e r t i e so fs t r i r l i n gn u m b e r sa n dg e n e r a l i z e d s t r i r l i n gn u m b e r s a r ei n t r o d u c e d i n c h a p t e r2 w ee x t e n d t h er e c u l t e n c er e l a t i o n so fg e n e r a l i z e d s t r i r l i n g n u m b e r s a n di nt e r mo ft h i s w ee x t e n dt h ed o m a i n so fg e n e r a l i z e ds t r i r l i n g g u m b e r st o n e g a t i v ei n t e g e r s w es t u a yt h ep r o p e r t i e s o fg e n e r a l i z e ds t r k l i n g n u m b e r s i n t r o d u c e d p r i n c i p l eb r a n c h a n d t a y l o rb r a n c h a n dp r o v i d e ds o m e e x p l i c i tf o r m u l a s i n c h a p t e r3 w es t u d y t h ec u b em o d e l so i lg e n e r a l i z e d s t r i r l i n gn u m b e r s t h e s e m o d e l sp r o v i d e dc o m b i n a t o r i a li n t e r p r e t a t i o n so fg e n e r a l i z e ds t r i f l i n gn u m b e r s w e e x t e n dt h e s em o d e l sa n dd e r i v es o m ea n a l o g i c a lr e s u l t sp r e s e n t e di nc h a p t e r1 i nc h a p t e r4 w em a k eap r e l i m i n a r ys t u d yo ng e n e r a l i z e ds t r i d i n gn u m b e r s w i t hm u l t ip a r a m e t e r s k e yw o r d s s t r i d i n gn u m b e r s g e n e r a l i z e d s t r i r l i n gn u m b e r s r e c u r r e n c er e l a t i o n s g e n e r a t e df u n c t i o np r i n c i p l e b r a n c h t a y l o rb r a n c h 3 五连垄兰太芏亟 望些盈室 羞壬亡甚s 必i 磐夔簋撞亡 刖吾 s t i r l i n g 数的概念是由j s t i f l i n g 于1 7 3 0 年提出的 井在他的著作 m e t h o d u sd i f f e r e n t i a l i s 中首次使用 这一名称的正式运用则要归功于 t h i e l e 和n i e l s e n 1 9 5 8 年 r i o r d a n 首先应用s n i 和s n 女 来分别表示第 一类s t i f l i n g 数和第二类s t i r l i n g 数 1 7 7 0 年 l l a g r e n g e 推导出了第一类 s t i r l i n g 数的递推关系和一些数论性质 而p s l a p a c e 1 8 2 1 和a c a u c h y 则 在第二类s t i r l i n g 数的逼近理论上取得了一些成果 对s t i r l i n g 数做透彻的研 究的要数c h j o r d a n 他得出s t i r l i n g 数的 些重要性质 1 9 7 4 年 l c o m t e t 在他的著作 1 中拿出了整整一章来介绍这些数 并且提供了丈量的参考文献 人们发现 如此简单的形式所定义的s t i r l i n g 数在组合学中有着广泛的应 用 8 t i r l i n g 数对不仅有许多好的性质 如 三角 递推关系 垂直 递推关 系 水平 递推关系 周余性质等 而且还可以用组合的方法对这些性质进行 讨论 这就为s t i r l i n g 数对的应用开拓了更为广阔的天地 1 9 9 2 年 d b l o e b 在 ag e n e r a l i z a t i o no ft h es t i r l i n gn u m b e r s 参 见文献 1 2 文中将第一类s t i r l i n g 数s i 推f n s a t 其中a 是 个 任意的实数 1 9 9 6 年 d a v i db r a n s o n 在 a ne x t e n s i o no f s t i r l i n g n u m b e r 参 见文献 1 4 一文中将第一类s t i r l i n g 数j h k 和第二类s t i r l i n g 数s 月 t 推 广到n 和k 可以取负整数的情形 r a y m o n ds c u r f 和g l o r i ao l i v e 也做了类似 地研究 并得出了第一类s t i r l i n g 数5 n i 的一些显式的公式 广义s t i r l i n g 数的概念首次出现于l lc o m t e t 的论文 参见文献 4 此后 许多学者从分析 代数和组合方面对它做了大量的研究 1 9 8 8 年 徐利治在他 的论文 au n i f i e da p p r o a c ht og e n e r a l i z e ds t i r l i n gn u m b e r s 参见文献 6 中对广义的s t i r l i n g 数的统一作了系统的阐述 t b i c k e l 在他的论文 t h e g r u do fg e n e r a l i z e ds t i r l i n gn u m b e r s 参见文献 1 5 中把递推关系作为 s t i r l i n g 数的特征 从代数学方面对广义s t i r l i n g 数做了统一 这些统一将有 助于我们更好的理解大量的组合恒等式 7 友挂垄王盍堂亟 坚些盐塞 羞王亡望墅i e l 出越曲挂亡 本文在总结前人结果的基础上 尝试对广义的s t i r l i g 数进行更广意义的推 广 主要把广义s t l r l m g 数定义域推广到负数的情形 并得出了一些有趣的公式 太违翼王太堂亟 生些逾塞 羞壬亡竖s l 地鱼g 熬趋攫亡 第一章基本概念 1 1 经典的s t i ri i n g 数 本节我们简要介绍在组合计数中具有重要地位的s t i r l i n g 数的定义和基本 性质 相关的结果参见文献 卜3 先引进一个记号 定义1 1 1 设t 为任意复数或复变量 定义 0 t t 1 o l 1 n 1 2 3 一 f o 一1 1 1 称之为f 的 h 次 阶乘函数 显然 这是一个关于t 的n 次多项式 展开这个连乘式并按t 的升幂排列 即有 f k 一薹s l t n o h 1 2 反过来 f 的次n 幂也可以用关于t 的行阶乘函数的多项式表示 利用 1 1 我 们可毗得到下列表达式 t 4 一l f 1 一 f f 2 1 f 一1 卜 t 1 f 正 t f r f t 1 r 一1 r 2 r 一2 i f 3 f r 一般的 薹s 珥七 r h o 1 3 定义1 1 2 由 1 2 式和 1 3 式所定义的表出系数s 岛k 和s n 七 分别称为第 一类和第二类s t i r l i n g 数 显然 由定义可得 s n 七 一s 疗 k o 七 j 0 o s o o 1 进而 把 1 2 式中的f 换成一t 由于 f n 一1 l 1 l 我们可以得到如下 表达式 t n 1 黔 n k l f 以乩h 1 4 这里 p n 七 je 一1 r 一 s l 七 1 5 根据 1 4 这里的b 雄 k l 作为取自集合札2 n 一1 的以一1 个正整数的积 仍然是正整数 系数p 玎 i l 称作无符号的第一类s t i r l i n g 数 定理1 1 1 第一类和第二类s t i r l i n g 数满足如下的正交关系 三s n r s r 七 屯t 薹s 玛r s 七 吱 1 6 盍整堡王左堂亟 望些论塞 羞壬亡竖s 逊也g 越曲挂亡 这里当k n 时 屯 1 当k 厅时 瓯j 0 证先利用 1 2 把t 的n 阶乘函数展开成t 的幂函数的表达式 再利用 1 3 把结果中的f 的幂函数展开成t 的阶乘函数的表达式 就得到 r 磊s n r 磊s z 荟s r 七 t k 2 磊隆 训s 叫 f t 即可得到 1 6 式中的第一耷等式 类似地 把f 的珏次幂展开成f 的阶乘函数的 表达式 再把结果中珀 阶乘函数展开成 的幂函数 就得到 1 6 式中的第二个 等式 证毕 对于固定的阼 根据 1 2 第一类s t i r l i n g 数序列s h 后 一o 1 1 的发 生函数记作 毛 f 薹s 厅 七 f t n t o 1 而根据 1 3 第二类s t i r l i n g 数序列s 七 一0 1 n 的发生函数记作 最 2 荟5 月 七 f k l j zl o 1 进而 利用n e w t o n 二项式定理 我们可以由 1 2 推导出双重发生函数 g 枷 4 磊荟s 批 备2 y 而由 1 3 可得 巾 荟苫s 础 f k 鲁硭 1 8 下面的定理将给出对于固定的 序列s 撑 七 行s 七 七十1 和 5 七 0 一七 七 1 的指数型发生函数 定理1 1 2 a 对于固定的七 第一类s t i r l i n g 数s n 七 0 七 k 1 有指数 型发生函数 一 l s 摊 七 兰 i 墨 进 七 1 一 b 对于固定的七 第二类s t i r l i n g 数s 啦七 一k k 1 有指数型发生函数 脚 一薹s 七 鲁t 学小咖 1 i1 0 证 a 交换 1 7 式中求和的顺序 可得 g 叫 4 荟薹s 咄 产备 荟 又因为 1 0 盔整堡王太堂亟 望丝监塞 差王亡塞s g 丛i 氅熬鳆毽亡 g h y o x p t g 薹 翌曼 盟矿 就可推导出 1 9 b 类似地 交换 1 8 式中求和的顺序 可得 巾 1 荟荟s 啪 等 f t4 荟矗 r k 又因为 巾川卟 扎 蛾啡 一 r 一薹鳟 r k 就可推导出 1 1 0 证毕 利用 1 5 从第一类s t i f l i n g 数的发生函数可以相应的得出无符号的第一 类s t i r l i n g 数的发生函数 因此 从定理1 1 2 的第一部分我们可以推导出如 下推论 推论对于固定的七 无符号第一类s t i r l i n g 数p 丹 七 i o 一七 k 1 有指数型 发生函数 融玛七 鲁 掣小咖 m 定理i i 3 a 第一类s t i r l i n g 数s 啦七 to 1 n n 一0 毛 满足三角递推关 系 s 栉 l k s n 七一1 n s n 七 1 1 2 和初始条件 s o 0 1 s n 0 0 h o 5 n 七 t o 素 疗 b 第二类s t i r l i n g 数s 弹 七 一o 1 埠 l o 1 满足三角递推关系 s n l k s n k 1 k s n 七 1 1 3 和初始条件 s o 0 1 s n 0 0 h 0 s n j t o k 露 证 a 把递推关系式 t 卜 1 f 两端展开成f 的幂的表达式 根据 1 2 可得 蔷s 押 1 七 f j r 一肛 荟 一 r 荟5 n k 1 f 一荟邶n k 比较第一式和最后一式中t 的幂的系数可得 1 1 2 而初始条件可由 1 2 直接得 出 b 把递推关系式f 1 t r 两端展开成t 的阶乘的表达式 根据 1 3 可得 蔷s n 1 七 o t r 磊s h r 态堡堡王盔堂亟 生些j 盒塞 羞王亡竖s g 吐鱼g 塑的挂亡 又因为 r 一 t r f 即f o z r f 所以 篆s m 七 f k 蓍s 酬f r 1 磊塔 咄m 一薹s 以 j 一1 f 薹心 啊七 t 比较第一式和最后一式中t 的阶乘的系数可得 1 1 3 而初始条件可由 1 3 直接 得出 证毕 在 1 1 2 式两端同乘以 一1 然后利用 1 5 可得如下推论 推论第一类无符号s t i r l i n g 数l s n 七 l o n n 0 l 满足三角递推 关系 p 一 1 七 l p n k 一1 1 竹p 行 j l 1 1 4 和初始条件 1 4 0 o i 1 l s 起 o l o n o i s n k l o k n 利用递推关系 i 1 4 和它的初始条件可以计算出所有第一类无符号 s t i r l i n g 数l s n 七 i 的值 表格1 1 给出了七一1 2 n 1 2 9 1 对 s n 七 i 的 值 同理 利用递推关系 1 1 3 和它的初始条件可以计算出所有第二类s t i r l i n g 数s 如k 的值 表格1 2 给出了k 1 2 n n 1 2 9 时s 玎 k 的值 见 下页 1 2 盔攫堡王盍堂亟土垡些j 金塞 羞王亡竖s l 查i 鸥邀敏熊亡 表格1 1 1 k 12345678 9 n l1 21l 3231 461 16l 52 45 03 51 01 61 2 02 7 42 2 58 51 5l 77 2 01 7 6 41 6 2 47 3 51 7 52 11 85 0 4 01 3 0 6 81 3 1 3 26 7 6 91 9 6 03 2 22 8l 94 0 3 2 01 0 9 5 8 41 8 8 1 2 46 7 2 8 4 2 2 4 4 94 5 3 65 4 63 61 表格1 1 2 七l23456 789 n 11 2l1 3131 41761 511 52 51 01 6l3 l9 06 51 51 718 33 0 13 5 01 4 02 11 811 2 79 6 61 0 7 01 0 5 02 6 62 8 l 912 2 53 0 2 57 7 7 06 9 5 12 4 6 44 6 2 3 61 1 3 塞连理王太坐壅 望些j 金塞 羞王亡塞s 逮鱼g 数的整亡 1 2 广义的s t irii n g 数 关于广义的s t i r l i n g 数 有大量文献论述 相应的结果参见文献 4 7 首 先我们引入广义阶乘的定义 定义1 2 1 设t 为任意复数或复变量 定义 o i a f o a o n 口 a 以 1 2 o i 口 1 1 1 5 称之为t 的广义 n 次 阶乘函数 其中增量a 为任意实数 定义第一类广义s t i f l i n g 数s a 栉 七 为 f 一酗 扯 1 1 6 定义第二类s t i r l i n g 数 n k 为 一薹 以 七 f 峨 1 1 7 定理1 2 l 广义的s i r l i n g 数满足初始条件 阼 炙 枷 一怯 0 气 n l i 一最 1 j n 一1 n 苫0 和递推关系 n k a n 一1 七一1 一 l 一1 口 以一1 七 是 n k s a 栉一1 七一1 七d 咒 l 一1 尼 证由定义 1 1 6 和 1 1 7 可以直接得 h i 等式 1 1 8 和 1 1 9 由定义 1 1 5 等式 1 1 6 可写为 s o n 七矿 一 r 陋l f f 口上 f 一 l 口 a 2 磊 a l 二毛七一1 t 一n 口 口 5 荟 a n 1 k 1 一n 1 口荟 h 一1 七 f 2 荟 o 一1 七一耵一n 1 口磊 o 一1 七 荟凡 玎一毛七一1 f 一1 口荟 n 一 七 1 4 1 1 8 1 1 9 1 2 0 1 2 1 盍整理王盘堂亟 生些论塞 羞王亡璺s 迎b g 数的挂亡 比较第一个表达式和最后一个表达式中的t 的 次幂的系数就能得到等式 1 2 0 类似地 等式 1 1 7 可写为 s n 七 f b k 薹 n r 峨 t k a k a 墓 n 一 t r i 口 r 一七口 薹s n l 七 t i a t t a 一荟n 1 s z 一1 七 t i a 荟n 1 n 一山t r i 口 七a 一薹n 1 s 扣一1 七一1 t i a 荟 n 一1 七 f i 口 t 七口 比较第一个表达式和最后一个表达式中的t 的 次阶乘的系数就能得到等式 1 2 1 证毕 录 用公式 1 1 8 一 1 2 1 可以计算出广义s t i r l i n g 数前几个值 表格1 2 1 第一类广义s t i r l i n g 数s 伽 后 的值 1 5 态蓬型王态堂亟 生些 金塞 羞王亡鏊s 堂也g 塾凶撞亡 表格1 2 2 第二类广义s t i r l i n g 数s l 七 的值 七o1234 行 o 101 2o 口 1 30a 23 a1 40口37 a 2缸 1 定理1 2 2 广义s t i r l i n g 数满足如下正交关系 z 虬 兄 咄 一 v 七 一弧 1 2 2 证先利用 1 1 7 把t 的忍次幂展开成t 的广义阶乘函数的表达式 再利用 1 1 6 把结果中的r 的广义阶乘展开成t 的幂的表达式 就得到 t 8 2 磊吒 n r r j a 荟 行 r 磊 r 老 t 荟 善 以 r s a 七 即可得到 1 2 2 式中的第一个等式 类似地 把t 的撑次广义阶乘展开成t 的幂函 数的表达式 再把结果中的r 的幂函数展开成t 的广义阶乘函数 就得到 1 2 2 式中的第二个等式 证毕 定理1 2 3 对于固定的七 广义的s t i f l i n g 数序列s a n k 和足 n k 一n l 1 2 具有指数型发生函数 反 薹 n 丘 兰 掣 z s 坤 一扣叫鲁 鳟 z a 证先证明第一个等式的正确性 当七 0 时 等式 1 2 3 由条件 1 1 8 直接得 出 下面应用归纳法 当 1 对 假设对女一l 时等式成立 由递推公式 1 2 0 得 1 6 丕蕉理王太堂亟 生些j 盆銮 羞王亡盥 g 照鱼g 塑曲撞亡 敷 一塞 n h 等一薹 m n m 鲁 对 微分后面的等式 得出关于函数蟊仁 的微分方程 反1 磊一 甜 一a 蛾 即 1 伽 晚 肛 雪 由函数鼠似 的定义易得初始条件g r o 0 利用变分法求解上式即得 1 2 3 等式 1 2 4 可以用类似地方法证明 显然 当七 0 时 等式 1 2 4 是成立 的 当k 毫1 时 假设对女 1 时等式成立 由递推公式 1 2 1 得 五 薹s n 一1 七一t 簧 薹妇 牡一1 忌 蔷 对 微分后面的等式 得出关于函数五0 的微分方程 h 五一 七口五 由函数五0 的定义易得初始条件z o f f i o 利用变分法求解上式即得 1 2 4 证毕 对于固定的n 根据 i 1 6 第一类广义s t i r l i n g 数序列 打 j 传 o t 露 糟一o 1 的发生函数记作 f 一薹s 吣 一 r 吼 珏 o 1 而根据 1 1 7 第二类广义s t i r i n g 数序列 n 七 0 1 打 席一o 1 的发 生函数记作 毫 f 善 n 七 f 虹k n o 1 进而 利用n e w t o n 二项式定理 我们可以由 1 1 6 推导出双重发生函数 雪 磊篆5n k 备 1 懈声 1 2 5 而由 1 1 7 可得 地 薹荟s 训 f t 备 1 2 6 第二类广义s t i f l i n g 数有如下的显式表达式 定理1 2 4 第二类广义s t i r r i n g 数足 疗 奄 传 0 i n n o 1 一 的值可有如下的 表达式给出 s n 七 害i 薹 1 口 一 r 2 7 证我们把发生函数 1 2 4 展开成 的幂的表达式 肴 羹嘶川鲁 c tk 妯 d 厂 阱 1 7 太连堡王太堂殛 生些i 金毫 羞壬亡昱s d 堕i 鹊熬趋蕉亡 h q 上式可知f 1 2 7 成立 南扣广嘴竹 等 嘉忙扣 a 渺 u n p 1 8 证毕 太匿理互太室亟 生些j 盒塞 羞王亡塞s 亘盟也g 邀的撞亡 第二章广义s t i r1 n g 数的推广 在第一章中讨论的广义s t i r l i n g 数 七 和鼓 k 参数九和k 都是非 负整数 那么我们能否把它们推广到负整数呢 下面将讨论这个问题 2 1 第一类广义s t i r ii n g 数的推广 我们知道 第一类广义s t i r l i n g 数有递推关系 玎 k n l k 1 o 哪o 一l t 我们把它推广到参数n 和七可以取任何整数 并记为 z k s n 1 k 1 1 s o 一1 七 七 z 2 1 据此我们可以得到当k 一1 r t 0 时 七 的值 定理2 1 i n 一七 0 一 0 t 1 证等式 2 1 可写为 刀 一尼 n 一1 一k 一1 一 以一1 口屯 以一1 一七 即 毛 聍一1 一k 1 s t t f 一七 以一1 靠 1 一七 利用初始条件 1 1 8 就能直接推导出结果 证毕 如果对于任何一个整数g 我们给出所有即 1 时 一 g 的值 利用 2 1 就可以得到当珂 1 k 取任何整数时 一聆 k 的值 所有类似地推广被记作 g s n 1 一每一种这样的推广称为 g s n 1 的一个分支 而每一个这样的分支都 是由s n o 或者如 一押 g 的值所决定的 我们记瓦 行 七 为g s n 1 的一个分支 且记 七 为通常任何分支当 和k 取任何整数时的值 当七取任何整数时 如果存在函数q p 满足 q p 瓦瓴 i t 2 2 则称瓦 h k 为g s n 1 的一个 生成 分支 显然 g o f 1 又因为 o a t 瓦 玎一l 七一1 一 一1 唬 玎一1 帅 t n 1 k 1 一 n 一1 口瓦 雅一1 i k o t f 瓦 h 一1 k 1 r 1 n 1 a 瓦 以一1 七 t 盔连理王太堂亟主望些i 金童 差王亡竖s 垒世篮堑鲍挂亡 r 瓦 一1 尼 t n 1 a f o n 1 七 t i 哪 r o t n 1 a t o n 1 七 t 女 m r 一 舻1 a q 一 f 郇 彝端 蘑 咄捌 和 删 尊器 堪志一l 对于f 的广义阶乘函数 当珂为正整数时有 p l 2 再司而i l 刁丽 所以当以为任f q 整数时有 i 口 i 1 和o f 口 f n a t 口 由以上结果可以得到下面的定理 定理2 1 2 如果瓦 n k 是g s n 1 的一个生成分支 式等式 瓦 七 广 圳口 女 o 都成立 2 3 2 4 2 5 那么对于每一个整数 形 2 6 我们也可以利用 2 5 建立它的逆定理 定理2 1 3 如果对于任何的整数以 形式等式 o l a 心 n 七 t 2 7 都成立 那么心 挖 七 是g s n 1 的一个生成分支 当疗取非负整数时 根据定义式 i 1 6 和定理2 1 1 形式等式 2 7 显然成 立 当 取负整数时 当且仅当级数收敛时 形式等式 2 7 才成立 盍整理王盍堂亟 姿些论塞 羞王亡基墅世i n g 錾的燕亡 2 2g s n 1 的两个特殊分支 如果托取正整数 那么利用 2 5 得 f l 口 一 n k o 1 h f z 口 一 因此有 f 吐 志密c t t t 0 1 扣t a 1 又因为 i 1 一1 当且仅当l u j 11 智 根据定理2 1 3 我们将得到g s n 1 得两个特殊的分支 定义2 2 1 当h l 时 定义毛和瓦为 a 川 荟 啊七 广当盼1i 卸i l 2 8 2 9 2 1 0 b f 口h 丢气 押 一 j 当甚卜拧 hl l 这里 屯和屯分别称为g s n 1 的t a y l o r 分支和首要分支 由上面的定义可以得到 是 吲 妁 0 七 o 一 1 2 i i 和 瓦 一 一七 0 r 1 下面将推导出有关这两个分支的一些公式 定理2 2 2 当 1 七为任何整数时有 蜘炉焉 密 池产 这里 代表 弓 o z 畸 膏 证根据定义2 2 1 a 2 9 和 2 1 0 当i 三i 1 有 2 1 2 2 1 3 萎屯c 吨 而1 珥n 乏卜z 去 荟 而 1 k 军 l 妒卜 因此当 0 时 等式 2 1 3 成立 当 珂 1 时有 l 口l 荟是 叱一 n 1 t 1k 等 l o 功 f 一 1 2 一 1 7 f 口 因此当k n 时 等式 2 1 4 成立 当k 由等式 2 1 2 可以推出等式2 1 4 成立 证毕 根据以上两个定理可以得到 屯 叫 o 南 砣1 瓦 n 一田 1 h 1 盔整理王太堂亟 望些迨塞 羞王亡幺鹭盟i 赡熬敏整亡 2 3 t 型分支 通过上面的讨论我们可以看到 当适当的选取r 的值时 由 f p 一 可以生成 g s n 1 的t a y l o r 分支和首要分支 我们下一步的目标是得到由 f p 收敛 的 l a u r e n t 展开式生成的g s n i 的所有分支 如果玎 i 那么由 2 8 可以得到部分分式的分解式 帆 喜器 2 1 5 这里 n 1 卟旷1 2 1 6 通过把 2 1 5 写成如下形式 m i l 妻稿 毫乖 眨忉 这里t 0 或者t 或者r 为正整数 然后再利用 2 1 0 展开它的每一项就可以 把 p 一 展开成一个 收敛的 l a u r e n t 级数 因为前面的结果 由 2 1 0 2 1 7 所决定 给出了f r k l 在f 0 时所有 收敛 的l a u r e n t 级数 利用定理2 1 3 下面的定义可以验证由上面的展开式所生成的g s n i 的所有分支 定义2 3 1 瓦 一n 称为一个r 型分支 记为瓦 一啊k 一聆 j i 丁 如果它是 由 2 1 7 2 1 0 生成的 注意到由 2 1 7 可以得到 k 宝 啊州冲 耥 毫录 汜 我们可以得出 叫 七 丁 的相应公式 n 七 r 一1 1 圭4 z 口 4 当七 一1 l m l 及 如 n 七 r 一1 芝4 片 k 当七 o i t l 我们引进记号 ro s 7 n z f t l 口 s 一n 七 r 2 1 9 2 2 0 2 2 1 盔整理王盔堂亟 望业i 金塞 差 亡竖s 地i 篮数数撞亡 和 n n n z l 2 2 2 来帮助显示 s a n k f t 的收敛域 下面的定理就是相应的结果 定理z 3 2 c 曲s r r s 蚓 当且仅当t o b s 7 o 当且仅当t o c c r 丁s 匕 行 这样 我们就证明了条件 a 和 b 的充分性 当丁为正整数时 2 1 7 中的和式 的l a u r e n t 展开式对于所有的拧都收敛 收敛条件是 珂 晴当且仅当t 匕i r 时收敛 及 n 耐当t l 时 掣 o p o 所以 3 1 可以被重写为 覃 七i 口 掣吃 础 3 2 其中 吃 巩k 口 纷 i k 订 3 3 和式取遍所有满足1 t 一t k 的整数 s 1 2 行一k 且 吃 n 0 o 吃 丹 n 1 在这种模型下 若 0 肯定有七 0 所以 3 2 在吃 o 0 1 的假设下仍然成 盔整垄王太堂亟 生些途塞 羞王亡竖墅地i 醒熬曲蕉亡 由于 掣 七陋 1 所以由 3 2 有 i c 0 t 恤 吃 行 j 上式与表达式 1 1 7 比较 我们就可以得到最 k 的一个表达式 最 胛 j 以 h 3 4 模型b 一个盒子最初只有白球 共 个 我们依次摸出 个球并放回 当我们 摸出第f 个球 并且被放回 在摸出下一个球之前 向盒子里添加口个具有单位 质量的黑球 正好摸出k 个白球的概率是 晰 君鹣 q 慨s 和式取遍所有满足1 j 2 n 1 的整数 s 1 2 疗一k 表达式 3 5 右边分母中的因子表示依次摸出一个球时盒子中球的总数 因 子矿产生于七此摸到白球的情形 而因子妲产生于当摸出一个黑球时盒子里恰 好有 d 个黑球 注意到当h 1 时 芹 o l 口 0 并且 砰 一l d y y y 口 一 y 口一口 所以 3 5 可以被重写为 只 七1 口 了i j j 将 s 七 以 6 其中 q 疗 七 口 4 粉 1 女 行 3 7 和式取遍所有满足1 f 2 0 础 月一1 的整数 s 1 2 一k 并且 q n 0 0 巳 1 令y 一t 则 3 6 可写为 盔连理至去堂殛 生些j 幺窑 羞王亡竖墅i 丑照g 数曲推亡 州a 2 丽t k 一1 嘶七 3 8 在这种模型下 若 0 肯定有k 0 所以 3 8 在q o 0 1 的假设下仍然 成立 由于 掣 砟r 1 所以由 3 8 有 f 峨 广 一1 q 可见 s a n k 一1 巴 鸭七 3 9 盔逢垄王太堂亟 生些监塞 差王亡塞s 丑i 魑越盥挂亡 3 2 关于 一 一k n s o 叱一k 的模型 接下来我们讨论 n 一后 及 一 l k 甩 t 为非负整数 类似于 1 1 6 和 1 1 7 我们定义 一强一露 及 一强一k 为 巾 一 e s o k r 聍 o 3 i o k o z s o 吨一七 啦 玎 o 3 1z k o 模型c 假设情况与模型b 相同 但现在一次取球 直到摸出聆 1 个白球 则取 出的球的总数为k l 的概率是 只c l 七i 口 i 粉 盯 七 c z 此处 1 一 墨k 1 若摸出的都是白球 则有 女j 口 y 1 0 y 口 j n 口 另外 若靠 0 则显然k 0 由式 3 1 2 可知 只c 1 七l 口 y i 口 q 七 聆 0 s 月 七 3 1 3 假设第i 1 仑球被摸出后 所摸出的球都是黑球 则这一事件的概率可以表 示成无限乘积 垂戋舞 辩赤 0 从而概率分布 3 1 3 是适当的且和为1 所以 y y 吼 q t d 这个展开式的系数是唯一的 把上式与 3 1 1 比较并利用 3 9 可得 吨一七 巴 t h 1 七 n o n k 3 1 4 并且当0 黻 个单位质量的白球 我们现在继续取球 直到取出 1 个自球 则取出球的总数为k l 的概率为 瑞 l a 槲t 卜小t t 口丫 半 爿 半 0 h s 七 3 1 5 此处只 晚 只 k n 使用 3 2 中的的记号 可写成 瑞 m 阱丝掣 o 娜k 3 1 6 在摸出第f 个球后 所摸出的球都是黑球的事件的概率是i i n l f 兰l 0 m lt 所以概率分布 3 1 6 是适当的且和为1 令t 一y 则有 踹 k l k 吃 七 o n k 3 1 7 从而 y l a 一 y 一1 2 吸 竹 p 2 h 上式与 3 1 0 比较 再利用 3 4 即有 叱一七 一l 广b o k 行 一1 s o k 疗 o s n k 3 t 8 并且当0 s 七 o 3 2 0 模型e 最初盒子里有 1 3 2 9 盔连銎王太坐亟 生些j 盒塞 羞王亡墓墅丑i b g 数鲍蕉亡 3 4 吒 一坞k j i n s o 一n 七 的性质 由 3 3 和 3 7 可得 一v 七 一1 j 3 3 0 由式 3 2 5 和 3 2 9 又可得 毗七 一l r 一s o k 竹 3 3 1 统一地 有 i n 一 l k 女 n i 3 3 2 此式当 和 同号 或n 为正 七为负时成立 微分表达式 如果把式 3 1 9 看作t a y l o r 级数 利用 3 3 1 可得 叫 学降 丽赫儿 慨 s 显然 表达式 3 2 5 和 3 3 3 是等价的 如果把表达式 3 3 3 展开成部分分式 在执行h 次微分运算 令f 0 可得 s 一拧 七 击妻 一 一 c r l 一 r n s s t 因此 我们得到第二广义s t i r l i n g 数的显式公式 1 2 7 在行为负整数仍然成立 递推公式 广义s t i r l i n g 数的递推关系是根据定义式 1 1 6 和 1 1 7 推导出来的 这 些定义式无论 的正负都是成立的 所以 1 2 0 1 2 1 在n 为负整数时仍然成 立 这样 就可以利用这些递推关系以及初始条件来计算当h 为负整数时广义 s t i r l i n g 数的值 我们可以把 1 1 6 写为 s o 一n l t s 一n k 一1 n c t s 一订 七 n 2 k l 3 3 5 在定义式 3 1 9 中令以 1 r t 0 则有 一l 一1 r 1 7 0 五1 3 3 6 盔连理王太堂亟 生些j 金塞 差壬亡幺墅i 盟i 篮堑曲撞亡 结合等式 3 3 5 和 3 3 6 我们可以计算出j 一 k 的值 一 z k 的值可由 3 3 1 得出 正交性 对于 m 1 我们有 0 i a oj 口k 一聊口 p 一埘口一口 p 一开口一a 一珊口i 口 一 并且 j 二 二 丽2 万可可司 币石 耳两 所以 f 一 口l 口l 羔 兰灶 s s z 对m 2 展开上式 有 h 一肌 七 卜m 口 3 3 8 一1 1 r 1 b a i 1 p r 一坍 l g 一r 9 将左边的f t m o t 用二项式定理展开 并且比较r 的幂的系数 则对0 s r 一蹦 下式成立 静广 弘删 耐 一1 n p s 一m l r l p 当 一m 时 有正交关系 一1 9 屯 唧 屯 一m l p o 3 4 0 去蓬堡王太堂亟 生些论室 差王亡竖墅 丛g 数的推亡 第四章 多参数广义s t i r l i n g 数的推广 4 1 多参数广义s t ir li n g 数 徐利治在文献 5 中首次提出了广义s t i f l i n g 数对的概念 在文献 6 中 以这种形式的多参数的广义s t i f l i n g 数对统一了s t i r l i n g 数 下面我们简要介绍多 参数广义s t i r l i n g 数 详细地结果参见文献 5 1 2 广义阶乘的定义与第一章相同 定义广义s t i f l i n g 数对 s 1 s 2 s 1 n 量 s 2n j s n k a 只n s t 户 瓯一 为 r 峨 s 1 七 卜 愀 4 1 r 吼 z s 2 行 i r 峨 4 2 这里即为非负整数 参数 夕吸 为给定的实数或复数且 口 声 o 0 0 我们称 s 2 为一个 一对或者 一对 而一和s 2 分别称 为这个数对的第一类数和第二类数 显然 经典的s t i f l i n g 数对 s j s j 为 一对 这两类s t i f l i n g 数可写为如下形式 s n 七 s 甩 k 1 o o s 岛七 s 刀 k o 1 o 我们讨论过的的广义s t k l i n g 数 七 足 凡七 为 一对 这两类广义 s t i r r i n g 数可写为如下形式 后 s n k a 0 o s u n 七 s n j o 口 o 显然 f i 口 和 r y i 卢 构成多项式线性空间的两组不同的基 因此我 们可以把 4 1 代入 4 2 或者 4 2 代入 4 i 即得正交关系 m 七 s 2 七 n z s 2 珊 七 七 忍 屯 4 3 i lk l 瓯 为k r o n e c k c r 符号 当m 竹时 皖 i 当埘 n 时 吒 0 由 4 3 容易得到下面的反演关系 盔整堡王太堂亟土生些监塞 苤王 竖s 鱼觐g 塑的撬匕 五 s 1n 七 晶 s 2 七 五 4 4 尽管我们定义了两类s t i r l i n g 型的数s 1 t 和s 2 m 砷 但是 一般的 我 们只考虑其中一个就足够了 因为参数o r a 是任意的 接下来 我们将讨论s k a y 的递推关系 发生函数 在下面的讨论 中 若非必要 我们将以s 诈 膏 代表s k a 夕 首先 由 4 1 易得 s o o 1 s 玎 1 s 1 o y 进而 我们假设七 即时 s 女 0 定理4 1 1 对于 4 1 定义的s t i f l i n g 数 我们可以得到如下递推关系 s n l 膏 s 竹 七一1 七 一 口 y s 珂 k 4 5 这里珂 七 1 特别的 我们有 s n o 峨 4 6 证根据定义式 4 1 可得 s l 卜y 愀 f l 口 f 一心 芝s 行 t f y l 卜y 一印 印一煅 y 窆s 咒 七 f 一 l 卢 窆s 一 七 够一押口 0 一 i 卢 芝s 一1 卜 p k 杰s 雅 t 卵一般 y 卜y l k l 比较第一个和最后一个表达式中o y i j 1 的系数就能得到 4 5 进而 令 0 有 s n l 0 s n o 一h 口 0 1 2 所以 s o s o o r r 一口 一艘 口 y 峨 证毕 为了得到序列 s 刀 七 的垂直发生函数 我们需要下面引理 盔连理王盔堂亟 坚些论奎 差王亡煞墅巡盟熬的挂亡 引理p 开 七 的发生函数 满足差分微分方程 y k f s m 鲁 卸 4 7 1 a 丢儿 f 一 k p y 儿 f 儿 f 4 8 这里 l 2 3 当t 1 时 n 0 0 且 y o t 1 口f 4 9 证有 4 7 式可得以 0 0 t 1 根据定理4 1 可得 篆s 一 1 七 素2 善 七 一脓 s 七 鲁十萎s 鸭七一1 鲁 z o 月 o h 卸 上式可写为 荟跏一南 a 丢跏一南一 矽训础 啡i 上式等价于 1 俐 善s 嘶 南一 即 n 2 以一 7 月hi 这就是等式 4 8 进而 我们有 r 2 萎s o 豪2 乏 j 口 景 o 月2 0 委 誓 口r 口r 么 证毕 定理4 2 广义s t i f l i n g 赞x s n k s k 卢 筇 o 有垂直发生函数 c 口r 7 肛 学丁 t 萎s c 后 姜 c a 证 记 4 1 0 式得左端的表达式为七 氟 f 注意到差分微分方程 4 8 在条件 n o o k 1 及 4 9 下有唯一的解n f 因此rq k t y k t 盍垂堡王太堂硒 生些壤塞 差王亡望s 鱼丑i 酩数殴挂亡 显然 当 1 时氟 o 且疵 r 1 d r 虬 f 进而 利用基本的微 分和代数运算 可以验证 1 捌 昙晚 f 一 印 r 冉 f o 1 因此 有氟 t f f i n f 证毕