福建省泉州市永一中高三数学5月质检试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年福建省泉州市永春一中高三5月质检数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个人选项中，只有一项是符合题目要求的。）1（5分）（2012辽宁）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和s11=（）a58b88c143d176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和专题：计算题分析：根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由s11= 运算求得结果解答：解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，s11=88，故选b点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题2（5分）（2012山东）若，则sin=（）abcd考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可解答：解：因为，所以cos2=，所以12sin2=，所以sin2=，所以sin=故选d点评：本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，注意角的范围，考查计算能力3（5分）（2012重庆）的展开式中常数项为（）abcd105考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项解答：解：的展开式通项公式为tr+1=，令=0，r=4故展开式中常数项为 =，故选b点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4（5分）（2012山东）设a0 a1，则“函数f（x）=ax在r上是减函数”，是“函数g（x）=（2a）x3在r上是增函数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质专题：计算题分析：由题意分别求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可解答：解：a0 a1，则“函数f（x）=ax在r上是减函数”，所以a（0，1），“函数g（x）=（2a）x3在r上是增函数”所以a（0，2）；显然a0 a1，则“函数f（x）=ax在r上是减函数”，是“函数g（x）=（2a）x3在r上是增函数”的充分不必要条件故选a点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数单调性的性质，考查基本知识的灵活运用5（5分）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列命题：若，则；若n，n，则；若，m，则m；若m，n，则mn其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4考点：命题的真假判断与应用分析：a利用线面垂直的性质b利用线面垂直的性质c利用面面垂直的性质d利用线面平行的性质解答：解：根据面面垂直的性质可知，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，所以，也有可能相交，所以错误根据线面垂直的性质可知，垂直于同一条直线的两个平面是平行的，所以正确当时，平面内只有垂直于交线的直线，才垂直面，所以错误根据线面平行的性质可知，只有当m，n共面时，才有mn，在其他情况下，则m，n为异面直线，所以错误所以正确的为故选a点评：本题考查空间直线与平面的位置关系的判断，要求熟练掌握各种平行或垂直的定义和性质定理6（5分）已知f1、f2为双曲线c：x2y2=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=2|pf2|，则cosf1pf2=（）abcd考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：根据双曲线的定义，结合|pf1|=2|pf2|，利用余弦定理，即可求cosf1pf2的值解答：解：设|pf1|=2|pf2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2|pf1|=4，|pf2|=2|f1f2|=4cosf1pf2=故选c点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题7（5分）函数y=1n（ex）x的图象大致形状是（）abcd考点：利用导数研究函数的单调性；对数函数的图像与性质专题：函数的性质及应用分析：整理函数式后求出函数的导数，分别令导数大于0或小于0，解出x，即得到函数的单调区间，进而就得到了函数的大致图象解答：解：由于函数y=ln（ex）x=1+lnxx的定义域是（0，+），则（x（0，+）若令导数，则，解得0x1；若令导数，则，解得x1故函数y=1+lnxx的单调递增区间为（0，1），单调减区间为（1，+）故函数y=1+lgxx的图象大致形状是d故答案为d点评：本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性8（5分）（2006湖南）若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）abcd考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质专题：压轴题分析：先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果解答：解：圆x2+y24x4y10=0整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，直线l的倾斜角的取值范围是，故选b点评：本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题9（5分）（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生产乙产品1桶需耗a原料2千克，b原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗a、b原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）a1800元b2400元c2800元d3100元考点：简单线性规划专题：应用题分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线l：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10（5分）（2011广东模拟）已知f（x）是定义在a，b上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：f（x）的值域为g，且ga，b；对任意的x，ya，b，都有|f（x）f（y）|xy|那么，关于x的方程f（x）=x在区间a，b上根的情况是（）a没有实数根b有且仅有一个实数根c恰有两个实数根d有无数个不同的实数根考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题；压轴题分析：由题意设g（x）=f（x）x，已知区间a，b判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解解答：解：设g（x）=f（x）xg（a）=f（a）a0，g（b）=f（b）b0，所以g（x）=0在a，b有实数根，若有两个不同的实数根x，y，则f（x）=x，f（y）=y，得f（x）f（y）=xy，这与已知条件|f（x）f（y）|xy|相矛盾故选b点评：此题考查根的存在性及根的个数判断，比较简单是一道基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11（4分）（2012湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可解答：解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i|3+i|=10故答案为：10点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力12（4分）如图的程序框图中，如果输入x=10，输出y=4，则在空白处填入（写出符合条件的所有序号）x=x1 x=x2 x=x3 x=x4考点：循环结构专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：对于x=x1，当输入10时，程序在运行过程中变量x的值如下表示：x 是否继续循环循环前 10/第一圈 9 是第二圈 8 是第10圈 0 是第11圈1 否故输出y的值为=2，不符合题意；对于x=x2，当输入10时，程序在运行过程中变量x的值如下表示：x 是否继续循环循环前 10/第1圈 8 是第2圈 6 是第3圈 4 是第4圈 2 是第5圈 0 是第6圈2 否故输出y的值为=4，符合题意；同样地，当x=x3 x=x4，输出y的值为4，符合题意；故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模13（4分）（2013崇明县一模）在abc中，角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosc的最小值等于考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：通过余弦定理求出cosc的表达式，利用基本不等式求出cosc的最小值解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosc，cosc=故答案为：点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力14（4分）某同学由于求不出积分的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分他用计算机分别产生10个在1，e上的均匀随机数xi（1i10）和10个在0，1上的均匀随机数yi（1i10），其数据记录为如下表的前两行 x2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为考点：定积分专题：计算题；导数的综合应用分析：由题意，得到10个点（xi，yi）（i=1，2，n），其中满足yif（xi）（i=1，2，n）的点有6个，利用几何概型求概率，即可得到结论解答：解：由题意，得到10个点（xi，yi）（i=1，2，n），其中满足yif（xi）（i=1，2，n）的点有6个，=故答案为：点评：本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题15（4分）（2012四川）记x为不超过实数x的最大整数，例如，2=2，1.5=1，0.3=1设a为正整数，数列xn满足x1=a，现有下列命题：当a=5时，数列xn的前3项依次为5，3，2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xn=xk；当n1时，；对某个正整数k，若xk+1xk，则其中的真命题有（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用专题：证明题；压轴题；新定义分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，列举即可；需举反例；可用数学归纳法加以证明；可由归纳推理判断其正误解答：解：当a=5时，x1=5，正确当a=8时，x1=8，此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故错误；当n=1时，x1=a，a（）=0，x1=a成立，假设n=k时，则n=k+1时，对任意正整数n，当n1时，；正确；xk，由数列规律可知一定成立故正确答案为点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题：本大题有6小题，共80分解答应写出的文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）2011年10月17日，永春一中隆重的举行105周年校庆，为了搞好接待工作，校庆组委会在高三年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图的茎叶图（单位：cm）男生身高在175 cm以上（包括175 cm）定义为“高个子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定义为“非高个子”，女生身高在170 cm以上（包括170 cm）定义为“高个子”，身高在170 cm以下（不包括170 cm）定义为“非高个子”且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”（）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取4人，再从这4人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用x表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，请写出x的分布列，并求x的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法专题：概率与统计分析：（i）由题意及茎叶图，有“高个子”15人，“非高个子”15人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，利用对立事件即可；（ii）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可解答：解：（i）根据茎叶图，有“高个子”15人，“非高个子”15人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 =，所以选中的“高个子”有15=2人，“非高个子”有15=2人用事件a表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中”，则p（a）=1=因此，至少有一人是“高个子”的概率是 （ii）依题意，x的取值为0，1，2，3p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=因此，x的分布列如下：x0123pex=0+1+2+3=点评：本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识17（13分）（2009襄阳模拟）已知a、b、c三点的坐标分别为a（3，0）、b（0，3）、c（cos，sin），（1）若，求角的值；（2）若，求的值考点：三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题分析：（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan的值，根据的范围求得（2）根据向量的基本运算根据求得sin和cos的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案解答：解：（1），化简得tan=1（2），（cos3，sin）（cos，sin3）=1，点评：本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习18（13分）（2013浙江模拟）在四棱锥pabcd中，abcd，abad，pa平面abcd，pa=4（）设平面pab平面pcd=m，求证：cdm；（）求证：bd平面pac；（）设点q为线段pb上一点，且直线qc与平面pac所成角的正弦值为，求的值考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（）利用已知条件先证明bdac，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出q点的位置解答：解：（）如图所示，过点b作bmpa，并且取bm=pa，连接pm，cm四边形pabm为平行四边形，pmab，abcd，pmcd，即pm为平面pab平面pcd=m，mcd（）在rtbad和rtadc中，由勾股定理可得bd=，ac=abdc，od2+oc2=4=cd2，ocod，即bdac；pa底面abcd，pabdpaac=a，bd平面pac（）建立如图所示的空间直角坐标系，则a（0，0，0），b（4，0，0），d（0，0），c（2，0），p（0，0，4），设，则q（4，0，44），由（2）可知为平面pac的法向量=，直线qc与平面pac所成角的正弦值为，=，化为12=7，解得=点评：熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键19（13分）（2010福建模拟）已知线段，cd的中点为o，动点a满足ac+ad=2a（a为正常数）（1）求动点a所在的曲线方程；（2）若存在点a，使acad，试求a的取值范围；（3）若a=2，动点b满足bc+bd=4，且aoob，试求aob面积的最大值和最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义专题：计算题；分类讨论分析：（1）以o为圆心，cd所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，利用椭圆的定义判断曲线类型，并求得曲线方程（2）由（）知，以o为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，故，解出a的取值范围（3）当a=2时，求出oa和ob的长度，代入aob面积=，令1+k2=t（t1），令，求得g（t）的范围，即得s的最值解答：解：（1）以o为圆心，cd所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，若，即，动点a所在的曲线不存在；若，即，动点a所在的曲线方程为；若，即，动点a所在的曲线方程为（2）由（）知，要存在点a，使acad，则以o为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，故，所以，a的取值范围是（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆，由条件知a，b两点均在椭圆上，且aoob设a（x1，y1），b（x2，y2），oa的斜率为k（k0），则oa的方程为y=kx，ob的方程为，解方程组，得，同理可求得，aob面积=，令1+k2=t（t1），则 ，令，所以，即，当oa与坐标轴重合时s=1，于是，aob面积的最大值和最小值分别为1与点评：本题考查椭圆的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，求出aob的面积 是解题的难点20（14分）（2010福建模拟）已知f（x）=lnxax2bx（a0），（1）若a=1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x0，ln2，求函数g（x）的最小值；（3）设各项为正的数列an满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，nn*，求证：an2n1考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：（1）令导函数大于等于0恒成立，分离参数b，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，令b小于等于最小值即可（2）令t=ex，将g（x）转化为二次函数，通过对二次函数的对称轴与区间的位置关系的讨论，求出g（x）的最小值（3）先求出输数列的前三项的值，归纳出大于等于0，利用数学归纳法证得成立，构造函数f（x），利用导数求出f（x）的最值，得到lnanan1，得证解答：解：（1）依题意：f（x）=lnx+x2bxf（x）在（0，+）递增对x（0，+）恒成立x0当且仅当时取“=”，且当时，符合f（x）在（0，+）是增函数（2）设t=ex，x0，ln21t2，则函数g（x）化为：，t1，2当时，即时y在1，2递增当t=1时，ymin=b+1当时，即4b2，当当，即b4时，y在1，2递减，当t=2时，ymin=4+2b综上：（3）a1=1，a2=ln1+1+2=31，a3=ln3+3+21假设ak1（n1），则ak+1=lnak+ak+21，an1成立设f（x）=lnxx+1，（x1），则f（x）在1，+单调递减，f（x）f（1）=0，lnxx1lnanan1，故an+12an+1，an+1+12（an+1）an+1+12（an+1）22（an1+1）2n（a1+1）=2n+1，an+12nan2n1点评：解决函数在区间上单调常转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立；证明不等式常通过构造函数，利用导数求函数的最值证得21（7分）（2010福建模拟）已知矩阵，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵a考点：特征值、特征向量的应用专题：计算题分析：根据特征值的定义可知a=，利用待定系数法建立四个等式关系，解二