（应用数学专业论文）非线性偏微分方程精确解与孤波相互作用问题的研究.pdf

非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 非线性偏微分方程精确解 与孤波相互作用问题的研究 摘要 本篇论文以非线性偏微分方程理论为基础 结合计算机符号计 算 完成了以下四个方面的工作 一 通过对耦合s c h r 6 d i n g e r k d v 方程组的p a i n l e v 6 性质的分析 证明该方程组具有p a i n l e v 6 性质 二 利用p a i n l e v 6 截断展开式 求得了c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a 方程 以及耦合s c h r o d i n g e r k d v 方程组的h i r o t a 双线性形式 其中c d g k 方程用三种方法求得其双线性形式 并得到了一致的结果 随后利用 h i r o t a 双线性方法 求出了这两个方程的单孤子解和双孤子解 三 运用冯兆生提出的首次积分法 讨论了b u r g e r s b b m b u r g e r s f i s h e r 和广义b u r g e r s f i s h e r 方程 求出了这些方程许多新的精确解 四 一般地 可积模型的孤波解之间的相互作用认为是完全弹性碰撞 然 而 对于某些模型 当它的波速和波相满足一定条件时 其相互作用 是完全非弹性的 本文讨论了一种较为独特的完全非弹性碰撞现象一 孤波汇合现象 以c h a f f e e i n f a n t e c i 方程为例对这类现象进行了分 析 非线性科学是继量子力学 相对论之后 2 0 世纪自然科学的重大 发展 爱因斯坦曾指出 由于物理学的基本方程都是非线性的 因 此所有的数学物理都必须从头研究 到目前为止 非线性科学已经 迅速发展成为众多学科的前沿课题之一 在1 9 7 8 年 a b l o w i t z 和s e g u r 发现 对于可以用反散射方法求解的非线性发展方程来说 其精确约 化所得到的常微分方程 o d e 都具有p a i n l e v 6 性质 因此他们给出一个 猜想一p a i n l e v 6 猜想 一个完全可积的偏微分方程经过相似约化得到 的常微分方程都是p a i n l e v 6 型的 这个猜想提供了一个证明偏微分方 程 p d e 是否完全可积的必要条件 1 9 8 3 年 w e i s s t a b o r 和c a m e v a l e 引入了偏微分方程的p a i n l e v 6 性质的概念和p a i n l e v 6p d e 检验 从而使 得对p d e 是否具有p a i n l e v 6 性质的判断更加便利与简洁 耦合s c h r s d i n g e r k d v c s k 方程是一个 1 1 维的非线性发展方 程组 本论文第二章运用w t c 方法 验证了c s k 方程具有p a i n l e v 6 性 质 在第三章中 利用第二章得到的结果 结合h i r o t a 双线性法求出 i i 北京邮电大学硕士论文 了该方程的单孤子与双孤子解 在第三章中给出三种求c d g k 方程的 h i r o t a 双线性形式的方法 它们分别是 有理变换法 阶平衡 方法 与p a i n l e v 6 截断展开法 在得出方程的h i r o t a 双线性形式之后 再利用 h i r o t a 方法得到了c d g k 方程的单孤子解和双孤子解 2 0 0 2 年 冯兆生介绍了一种新的求非线性发展方程精确解的方 法一首次积分法 实践证明这是一种有效的方法 其基本思想是 对 于一个非线性偏微分方程 首先通过行波变换 将这个偏微分方程化 成为一个常微分方程 再对这个常微分方程 o d e 作一个变换 使 其等价于一个一阶的常微分方程组 冯兆生提出的首次积分法最重要 的一点就是他利用除法定理来寻求这个常微分方程组的首次积分 然 后由这些首次积分求出所求p d e 的精确解 本文利用该方法求解了 b u y e r s b b m b u y e r s f i s h e r b f 和广义b u r g e r s f i s h e r g b f 个方 程 并分别得到了它们的一些新的精确解 这些结论尚末有其它作者 发表 最后 本文讨论了孤立波的相互作用问题 一般而言 能用反散 射法 h i r o t a 双线性法等方法求出的非线性发展方程的孤立波解之间 的相互作用大都是完全弹性碰撞 然而 对于某些p d e 模型 当波 速和波向满足莱一特殊条件时 它们的相互作用却是完全非弹性碰 撞 例如 在某一时刻 单孤子可能会分裂为两个或两个以上的孤子 反之 两个或多个的孤子也有可能汇合成一个孤子 我们把这两种现 象分别称为孤波的分裂与汇合现象 本论文第五章主要讨论了c d g k 方程的双孤子解的结构与c h a f f e e i n f a n t e 方程的孤波汇合现象 关键词 p a i n l e v 性质 h i r o t a 双线性形式 h i r o t a 方法 首次积分 法 孤子相互作用 孤波汇合现象 l 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 t h es t u d yo ne x a c ts o l u t i o n so fr 气r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n t e r a c t i o n i nt h es o l i t ar y 後v e s a b s 融c t t h i sp a d e ri sb a s e do nt h et h e o r yo fl i n e a ra n dn o n l i n e a rp a r t i a l d i f r e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt e c h n i co f c o m p u t e rs y m b o l i cc o m p u t a t i o n t h e w o r k sw eh a v ed o n ei n c l u d e f i r s t u s i n gp a i n l e v 6s i n g u l a r i t ys t r u c t u r e a n a l y s i sm e t h o d w eh a v ep r o v e dt h a tt h ec o u p l e ds c h r f d i n g e r k d v e q u a t i o n sa d m i tp a i n l e v 6p r o p e r t y s e c o n d a c c o r d i n gt ot h et r u n c a t e d p a i n l e v 6 e x p a n s i o nt e c h n i q u e r a t i o n a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n d d e g r e e m e t h o d w eo b t a i n e dt h eh i r o t ab i l i n e a rf o r mo ft h ec o u p l e d s c h r 6 d i n g e r k d ve q u a t i o n s a n dt h e c a u d r e y d o d d g i b b o n k a e a d a e q u a t i o n t h e n b ym e a n so ft h eh i r o t ab i l i n e a rf o r m t h es i n g l e s o l i t o n a n dt w o s o l i t o ns o l u t i o n so f t h e s ee q u a t i o n sa r ee d u c e d t h i r d s o m en e w e x a c ts o l u t i o n so ft h e b u r g e r s b b me q u a t i o n t h eb u r g e r s f i s h e r e q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e db u r g e r s f i s h e re q u a t i o nh a v eb e e no b t a i n e d b ym e a n so ft h e f i r s ti n t e g r a lm e t h o dw h i c hi n t r o d u c e db yf e n g z h a o s h e n gi n2 0 0 2 f o r t h t h ei n t e r a c t i o ni nt h es o l i t a r y w a v es o l u t i o n s o ft h ei n t e g r a b l em o d e l sa r es t u d i e d a n di th a sb e e nf o u n dt h a tf o rs o m e i n t e g r a b l em o d e l s c o m p l e t e l yn o n e l a s t i ci n t e r a c t i o n sm a yo c c u rw h e n s p e c i f i cc o n d i t i o n sb e t w e e nt h ew a v ev e c t o r sa n dv e l o c i t i e sa r es a t i s f i e d i nt h i s p a p e r w e c o n c e n t r a t eo na s p e c i a lp h e n o m e n o n f u s i o n p h e n o m e n o na b o u tc h a f f e e i n f a n t e c i e q u a t i o n t h es t u d yo nt h en o n l i n e a rp h e n o m e n o no fn a t u r a ls c i e n c eh a s p r o c u r e di m p o r t a n te v o l u t i o nf o l l o w e dq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h e o r yo f r e l a t i v i t yi n2 0c e n t u r y e i n s t e i ne v e rp o i n t e d b e c a u s et h eb a s a le q u a t i o n s o np h 7 s i c sa r en o n l i n e a r a l lr e s e a r c ho ft h em a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s i v 北京邮电大学硕士论文 m u s ts t a r tf r o mb e g i n n i n g i nf a c t u pt on o w n o n l i n e a rs c i e n c e h a s a l r e a d yd e v e l o p e dt ob e c o m eo n eo ft h et o pt a s k so fm a n ys u b j e c t s i n 1 9 7 8 a b l o w i t za n ds e g u rf o u n dt h a ta l lt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o d e w h i c ho b t a i n e db ys i m i l a r i t yr e d u c t i o nf r o mp d et l a tc o u l db e s o l v e db yi n v e r s es c a t t e r i n gt e c h n i q u ep o s s e s sp a i n l e v 6p r o p e r t y s om e y g i v eac o n j e c t u r e p a i n l e v 6c o n j e c t u r e e v e r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c ha r i s e sa sas i m i l a r i t yr e d u c t i o no f ac o m p l e t e l yi n t e g r a b l e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i so fp a i n l e v 6 t y p e p e r h a p s a f t e ra t r a n s f o r m a t i o no fv a r i a b l e s t h i sc o n j e c t u r ep r o v i d e san e c e s s a r y c o n d i t i o nw h i c hc a nt e s t i f yap d ei sw h e t h e ro rn o tc o m p l e t e l yi n t e g r a l t h e n w e i s s t a b o ra n dc a m e v a l ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fp a i n l e v 6 p r o p e r t yo fp d ea n dp a i n l e v 6p d et e s t w h i c hm a d et h ee s t i m a t i o n w h e t h e rap d ep o s s e s s e sp a i n l e v dp r o p e r t ym o r ec o n v e n i e n ta n dc o n c i s e t h ec o u p l e ds c h r o d i n g e r k d v c s k s y s t e mi sa 1 1 d i m e n s i o n a l n o n l i n e a re v o l m i o ne q u a t i o n w eh a v es h o w e di ns e c o n dc h a p t e rt h e c s ke q u a t i o np o s s e s s e st h ep a i f l e v 6p r o p e r t y a n di nt l l i r d c h a p t e r u s i n gt h er e s u l tw eo b t a i n e di ns e c o n dc h a p t e r t h eo n e s o l i t o na n d t w o s o l i t o ns o l u t i o n sh a v eb e e ng a i n e df o rc s ke q u a t i o n sb yt h eh i r o t a b i l i n e a rm e t h o d f u r t h e r m o r e t h eh i r o t ab i l i n e a rf o r mo ft h ec d g k e q u a t i o ni sg a i n e db ym e a n so ft h r e em e t h o d s r a t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n m e t h o d d e g r e e m e t h o da n dt h et r u n c a t e dp a i d e v 6e x p a n s i o nt e c h n i q u e t h e n u t i l i z i n gt h eh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d w eh a v eg e tt h eo n e s o l i t o n a n dt w o s o l i t o ns o l u t i o n so f c d g k e q u a t i o n i n2 0 0 2 f e n gz h a o s h e n gi n t r o d u c e dt h en e wm e t h o d 曲ef i r s t i n t e g r a l m e t h o d t os o l v en o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e f f e c t i v e l y t h em a i ni d e ao f t h i sm e t h o dc a nb ee x p r e s s e da sf o l l o w s f o r an o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a s s u m i n gi th a sat r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n s ot h i sp d ec a nb ec h a n g e dt oa no d e t h e nm a k i n ga t r a n s f o r m a t i o no nt h e0 d e a n dl e ti tb e c o m eas e to fo n eo r d e re q u a t i o n s t h ee x c e l l e n ti d e ao ft h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o di su s i n gt h ed i v i s i o n t h e o r e mt os e e ko n ef i r s ti n t e g r a lo ft h es e to fo n eo r d e re q u a t i o n s w h i c h c a nr e d u c et h e0 d et oaf i r s t o r d e ri n t e g r a b l eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n dt h e nw ec a no b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o n so fp d eb yt h ed i r e c t i n t e g r a lm e t h o d b ym e a n so ft h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o d w eh a v es t u d i e d v 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用甸题的研究 t h e b u r g e r s b b me q u a t i o n t h eb u r g e r s f i s h e re q u a t i o na n dt h e g e n e r a l i z e db u r g e r s f i s h e re q u a t i o n s o m en e we x a c ts o l u t i o n so ft h e s e e q u a t i o n sa r eo b t a i n e d i td o e sn o ts e e mt h a tt h e s en e wr e s u l t sh a v eb e e n p r e s e n t e dp r e v i o u s l y a tl a s t i nf i f t hc h a p t e rw ed i s c u s s e dt h ep r o b l e mo f t h ei n t e r a c t i o ni n t h es o l i t a r y w a v es o l u t i o n so fi n t e g r a b l en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u s u a l l y t h ei n t e r a c t i o ni nt h es o l i t a r y w a v es o l u t i o n so f n o n l i n e a rp a r t i a ld i l y e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e db yt h em e t h o d s s u c ha si s to rh i r o t ab i l i n e a rm e t h o dt ob ec o n s i d e r e dc o m p l e t e l ye l a s t i c h o w e v e r i th a sb e e nf o u n dt h a tf o rs o m ei n t e g r a b l em o d e l s c o m p l e t e l y n o n e l a s t i ci n t e r a c t i o n sm a yo c c u rw h e ns p e c i f i cc o n d i t i o n sb e t w e e nt l l e w a v ev e c t o r sa n dv e l o c i t i e sa r es a t i s t i e d f o ri n s t a n c e a tas p e c i f i ct i m e o n es o l i t o nm a yf i s s i o nt ot w oo rm o r es o l i t o n s o ro nt h ec o n t r a r y t w oo r m o r es o l i t o n sw i l lf u s i o nt oo n es o l i t o n t h o s et w ot y p e so fp h e n o m e n a a r ec a l l e da ss o l i t o nf i s s i o na n ds o l i t o nf u s i o nr e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r w ec o n c e n t r a t eo nf u s i o n p h e n o m e n o n a b o u t c h a f f e e a n f a n t e c o e q u a t i o n k e yw o r d s p a i n l e v dp r o p e r t y h i r o t ab i l i n e a r f o r m h i r o t a m e t h o d f i r s ti n t e g r a lm e t h o d i n t e r a c t i o nb e t w e e ns o l i t a r yw a v e s f u s i o np h e n o m e n o n v i 北京邮电大学硕士论文 独创性 或创新性 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外 论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处 本人承担一切相关责任 本人签名 羞硅 日期 迎2 主 f 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定 即 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学 学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许学位论文被查阅和借 阅 学校可以公布学位论文的全部或部分内容 可以允许采用影印 缩印或其它 复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后遵守此规定 保密论文注释 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书 非保密论 文注释 本学位论文不属于保密范围 适用本授权书 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 第一章绪论 非线性科学是继量子力学 相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展 爱因 斯坦曾预言 由于物理学的基本方程都是非线性的 因此所有的数学物理都必 须从头研究 在非线性科学的研究中 经常会遇到大量的能反映各种因子或各 种物理量之间相互制约和相互依存关系的非线性方程 一般可以称之为非线性发 展方程 n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s 从2 0 世纪6 0 年代开始 非线性科学进 入到飞跃发展阶段 与此相应 非线性发展方程的内容也日趋丰富 随着近代物 理对孤立子和混沌问题的研究 不断地涌现一大批具有非线性色散或耗散的崭新 的非线性发展方程 而这类方程的求解成为广大科学工作者研究非线性问题必须 面临的课题 对于非线性发展方程的性质和精确解的研究已经渗透到物理学 力 学 地球科学 生命科学 应用数学和工程技术等领域 所以对非线性发展方程 的研究尤为必要 1 1 孤立子理论 非线性发展方程研究中的一个重大事件就是孤立子理论的产生和发展 其主 要标志是 1 9 6 5 年美国数学家n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 用数值模拟法对等离 子体中孤立波的相互作用进行研究 得到了比较完整和丰富的结果 并迸一步证 实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断 具有类似于粒子碰撞后形状不变 的性质 所以他们把这种波命名为 孤立子 s o l i t o n 1 此后不久 在1 9 6 7 年 c s g a r d e r j m g r e e n e m s k r u s k a l 和r m m i u r a 2 发现了解k d v 方程的 反散射方法 i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d 由此 四十多年来 一些崭新的处理非线 性问题的数学方法与技巧发展起来 并得出许多结果 且在流体力学 物理及许 多技术部门 如基本粒子 等离子体 位错 晶格 激光以及气象学等许多领域 都有了广泛的应用 引起科学界的极大关注 目前 孤立子一词虽被广泛引用 但尚无一般定义 它往往是指一大类非线 性偏微分方程的具有特殊性质的解 以及与之相应的物理现象 数学中 将孤立 子理解为非线性发展方程的局部行波解 所谓局部是指微分方程的解在空间的无 穷远处趋于零或固定常数的情况 换句话说 孤立子指的是稳定的孤立波 即通 过相互碰撞后不见消失 而且波形和波速也不会改变或只有微弱改变 在物理中 4 北京邮电大学硕士论文 孤立子被理解为非线性发展方程能量有限的解 即能量集中在空间有限区域 而 不随时间的增加而扩散到无限区域中去 可以说 孤立子具备了粒子和波的许多 性能 在自然界中有一定的普遍性 而且还可以用实验的方法产生 经过最近这几十年的发展 在广大科学工作者的努力下 已经逐渐建立了较 为系统的数学和物理的孤立子理论 孤立子理论概括如下 1 孤立子是某些非线性发展方程所具有的在空间不弥散的特定的波动解 由于这些方程中的非线性项和色散效应之间的巧妙平衡 导致波在传播过程中保 持形状不变 其能量始终集中在狭小的空间范围 2 两个孤立子相互作用出现弹性散射现象 它们在相互碰撞时保持稳定 波形和波速在碰撞后能恢复到原状 孤立子具有许多粒子所具有的其他特性 如 具有能量 动量 质量这些粒子属性 孤立子在外力作用下的运动服从牛顿第二 定律 因此孤立子兼有波动和粒子的双重属性 3 不同类型的具有孤立子解的非线性方程 其孤立子解的波形和特性互异 这就呈现出丰富多彩的孤立子形态 4 除了一维的孤立子 还有二维的涡旋解 三维空间的磁单极解等 5 孤立子的行为是十分生动和异常复杂的 如孤立子的产生和湮灭 异相 孤立子的相互排斥 同相孤立子的相互吸引 往返穿行 非传播孤立子的纵向静 止 多维孤立子的坍塌 光通讯中的孤立子串或孤立子解群的相互作用等等 6 具有孤立子解的方程存在无穷多守恒率 因此 孤立子方程是完全可积 的无限自由度的哈密顿系统 7 为了求解如k d v 方程一类的非线性方程 发展了反散射方法 b i c k l u n d 变换方法 数值方法 符号运算等数学物理方法 深入研究非线性发展方程的代 数几何性质时 用到了较高深的对称方法 代数工具 在高维孤立子理论中 将 会用到很多微分几何的理论和方法 因此孤立子理论是现代应用数学和数学物理 的一个重要组成部分 8 推进孤立子理论不断深入的原因之一是其巨大的应用潜力 除了物理中 的光孤子通讯理念外 在生物过程中孤立子的激发占有重要地位 现在人们已经 十分重视研究在化学和其他局部作用中激发起来的孤立子 9 科学家们还运用孤立子理论解释经典理论所不能很好解释的一些问题 如通过激光光束在非线性介质中自聚焦产生的孤立子的行为特性 可以成功地解 释激光打靶中形成的密度坑与红外线的外移等问题 孤立子理论的兴起 给求解非线性发展方程及非线性科学的研究带来了革命 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 性内容和新的活力 使其成为研究非线性方程的主要手段之一 孤立子理论在流 体力学 等离子体物理 非线性光学 经典场论 量子场论 化学 通讯 生命 科学等诸多学科都有重要应用 是一门涉及多学科的研究领域 研究手段和方法 在数学上涉及有经典分析和泛函分析 微分方程和动力系统 l i e 群 l i e 代数 无穷维代数 微分几何 拓扑学 复分析 椭圆函数 代数几何及计算数学等诸 多数学分支 数十年来 孤立子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重 视 研究工作十分活跃 每年都有大量的科研论文出现于专业期刊以及相关方面 的专著出版 3 1 0 孤立子的发展历程简要概括为 z a b u s k y 和k r u s k a l 对k d v 方程解的孤立子特性的发现 1 g a r d n e r g r e e n e k r u s k a l 和m i u r a 对k d v 方程 求解的反散射方法的开创性地工作 2 l a x 关于k d v 方程l a x 对的理论和推广 1 1 z a k h a t o v 和s h a b a t a b l o w i t z k r u s k a l n e w e l l 和s e g u r 关于矩阵形式的l a x 对及反散射方法的推广e 1 0 1 2 等等都为孤立子理论的发展起了关键的作用 在 孤立子理论中 已有一系列方法用来求孤立予方程的精确解 如反散射方法 1 3 1 6 b t i c k l u n d 变换 1 7 2 2 达布变换方法 d t e 1 7 1 9 2 3 2 6 h i r o t a 双线性方法 2 7 4 3 p a i n l e v 6 分析方法 4 4 4 6 l a x 对非线性方法e 4 7 4 9 l i e 对称方法e 5 0 6 h 以及齐次平衡法 6 2 6 4 等 这些方法的发现和应用 使得大量 的非线性发展方程得以成功求解 对非线性科学的发展和应用具有重要意义 近 年来 随着计算机的发展和符号运算程序如m a p l e 和m a t h e m a t i c s 的出现 使复 杂冗长的代数运算可以在计算机上完成 为非线性发展方程的求解提供了新的方 法和强有力的工具 而计算机绘图软件的应用 为研究孤立子方程解的性质提供 了更为直观的手段 虽然孤立子最初是源于k d v 方程的孤立波 随着研究的深入发展 人们很 快发现 除k d v 方程外 许多具有物理意义的重要的非线性演化方程都具有孤 立子解 如s i n e g o r d o n 方程 s i n u 有扭状孤立子解 非线性s c h r o d i n g c r 方 程i u u 计u 0 有包络孤立子解 其他如b o u s s i n e s q 方程 h i r o t a 方程 b e n j a m i n o n o 方程都有形式不同的孤立子解 孤立子是各种各样的 除上面说 过的脉冲状或钟状的孤立子 扭状孤立子 包络孤立子外 还有正孤立子 反孤 立子 呼吸子 b o o m e r o n s t r a n p p o n s 以及它们叠加形成的形形色色的孤立子 孤立子的重要表现在于粒子性质 而不在于其形状 许多物理上的重要的非线性系统具有孤立子解这种事实 必定反映出了相当 普遍的非线性现象的一种特性 因此研究孤立子及其互相作用 不仅有助于弄清 物质在非线性作用下的运动规律 还直接推动物理学相关分支的发展方程的求解 方法与技巧的发展 如反散射方法的发现 就是由此推动而获得的突出成就之一 总之 孤立子的非凡性质及其与数学描述有关的丰富的结构 它的深刻的物 北京邮电大学硕t 论文 理根源和正在开拓的广阔的应用领域 都向人们施展着愈来愈大的科学魅力 1 2 孤立子理论近期进展及其发展特点 孤立子理论的产生和发展是非线性偏微分方程研究中的一个重大事件 而由 于非线性发展方程的复杂性 求解它并无统一的方法 不过孤立子理论中有着一 些构造精确解的有效的方法 如反散射法 d a r b o u x 变换法 h i r o t a 双线性变换 法等 1 9 6 7 年 g a r d n e r g r e e n e k u s k a l 和m i u r a g g k m 6 5 等发现了k d v 方程 的反散射方法 利用量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题 正散射问题 及反问题 反散射问题 之间的关系 经过求解g e l f a n d l e v i t a n m a r c k e n k o 线 性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解 随后 l a x 6 6 推广并提高了g g i c m 的上述方法 使之能够用于求解其它非线性发展方程的初值问题 从而逐步形成 一种系统的求解方法 1 9 7 2 年 z a k h a r o v 和s h a b a t 6 7 本质地推广了这一方法 求出高阶k d v 方程 立方s c h r 6 d i n g e r 方程等的精确解 a b l o w i t z k a u p n e w e l l 和s e g u r 6 8 7 0 1 则更加一般化反散射方法 李翊神教授 田畴教授 屠规彰教授 等 7 1 7 2 也为发展反散射方法作了很好的工作 1 9 7 1 年h i r o t a 所引进的双线性变换法 2 8 也叫h i r o t a 方法 是构造非线 性方程多孤子解及其b a c k l u n d 变换的重要而直接的方法 3 3 7 3 齐次平衡法 7 4 7 5 6 3 也叫拟解法 是近年来求解非线性发展方程的有效方法之一 它是 将非线性发展方程 组 转化为一组较简单的超定方程组 能比较系统地求得非 线性发展方程的孤立波解 范恩贵等 7 6 8 2 对齐次平衡法作了多方面的推广 使其可用来寻找非线性发展方程的多孤子解 相似约化 b i c k l u n d 变换和非孤立 波解 由兰慧彬 汪可林提出的双曲正切函数法 8 3 经w m a l f l i e t 8 4 马文秀 8 5 范恩贵 张玉峰 8 6 8 9 陈勇等人 9 0 9 2 的推广和应用 求出了许多非 线性发展方程 组 的精确解 姚若侠 李志斌 9 3 用耦合r i e c a t i 方程组的解 来构造非线性发展方程的精确解 范恩贵 9 4 又提出扩展双曲正切函数法 求得 了许多非线性发展方程的孤立波解 奇异解和周期解 利用双曲正切函数法程序 化的特点 1 9 9 6 年 p a r k e s 和d u f r y 9 5 3 给出了非线性发展方程孤立波解的双曲 正切函数法的m a t h e m a t i c a 程序包 随后 李志斌和张善卿 9 6 3 给出基于吴消元 法的双曲正切函数法的符号计算程序 相似约化法 9 7 9 8 是将非线性发展方程的求解问题化为较简单的方程或 p a i n l e v 6 型方程 然后再对其进行求解的较系统的方法 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 试探函数法 9 9 1 0 0 是用平庸的线性或非线性方程来构造非线性方程的精 确解的方法 今后孤子理论的发展特点是 l 由一维到多维 由单一的孤子演化方程到 耦合演化方程组 2 由经典到量子 3 由单学科到多学科交叉 4 由理论研 究到实际应用 1 3 求解非线性偏微分方程的几种方法总结 众所周知 非线性发展方程没有一个通用的方法求解 且只能求出它的特解 而求不出它的通解 以下介绍的几种方法都只能用于解一类或一族方程 主要分 析及求解的方法有 齐次平衡法 j a c o b i 椭圆函数展开法 反散射法 b 茜c k l u n d 变换 相似变换和p a i n l e v 6 性质 比较常见的几种非线性发展方程有 b u r g e r s 方程 k d v 方程 k d v b u r g e r s 方程 n o n l i n e a rs c h r o d i n g e r 方程 s i n e g o r d o n 方程 b o u s s i n e s q 方程 詈 丝i g x v 碧o x 0 西 2 塑 口堡 1 0 3 v 0 a良 苏 詈 嗉一v 窘 雾 o 百棚面叫万 万钏 考 窘w 删 鲁 c 0 2 百0 2 u f 0 2s i i l 地 萨一c o 硒 m 2 0 粤o t 一窘一窘一s 等一o 2 苏2良4苏2 在具体求解非线性发展方程的孤立子解时 一般都会用到行波法 行波法的 主要思想是 给定一个非线性偏微分方程 f l t m u f t x f 通过变换 k x w 就把这个非线性偏微分方程变成了一个常微分方程 从而使求解变 得简单 达到降维的目的 然而行波法虽然能让方程降维 但是并不是所有的非线性偏微分方程用行波 法都能较方便的求出其孤立波解 由此又有了一个变换 h o p f c o l e 交换 通过 非线性变换 2 丝 将原非线性偏微分方程变为一个线性的偏微分方程 从 妒 而通过解决线性问题去解决非线性问题 h o p f c o l e 变换是一个很重要的变换 尤其是它与其它方法结合起来用的时候 比如在试探函数法中 就经常用到 h o p f c o l e 变换 以下是几种最常用的求解非线性偏微分方程的方法 8 北京邮电大学硕士论文 1 3 1齐次平衡法 近年来提出并发展起来的齐次平衡方法 实际上是求非线性偏微分方程精确 解的一种指导原则 故也称为齐次平衡原则 依据该原则 可事先判定某类非线 性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在 如果回答是肯定的 则可按一定的 步骤求出它来 因而齐次平衡原则具有直接 简洁 步骤分明的特点 再者 还 适于用计算机的符号计算系统进行处理 且得到的是精确的结果 至今 齐次平 衡原则在非线性数学物理中已得到广泛的应用 且其应用范围正在不断扩展 已 成为处理非线性数学物理相关问题的有效工具之一 齐次平衡原则的基本思想和步骤 给定一个非线性偏微分方程 p u u x 蚱 z k u n 0 1 一1 这里p 是其变元的多项式 其中包含u x f 的非线性项和它的各阶导数项 函数p 妒 x t 称为 卜1 的拟解 当且仅当存在一个单变元函数f f e 使 妒 为关于x f 的一些偏导数的适当的线性组合 即 俐 写 铲坝卅一些关于 咖毗f 的低于 肌 阶偏导数的适当的线性组合 卜2 或者将上式改写为 u x t f 伽 妒 秽秽 矿 z t 的各阶导数的 一个多项式 不管 厂 伊 及其各阶导数 卜3 实际上 卜2 和 卜3 都是方程 卜1 的解 这里f f q o 伊 伊 f 和非 负整数m r 为待定函数或常数 用齐次平衡方法求解非线性发展方程主要包含四步 第一步 利用 卜2 1 3 平衡 1 1 中的最高阶非线性项及最高阶导数项 确定出平衡阶数m 糟 第二步 确定是否存在表达式 卜2 卜3 中的单变元函数f 咖 第三步 确定是否存在拟解p 伊 和 1 2 中的线性组合系数 这一步 通常是选择适当的系数来使得 1 1 的拟解存在 第四步 如果前三步的解答是肯定的 那么将结果代入 卜2 或 卜3 经 过一些计算 就得到 i i 的精确解 到目前为止 齐次平衡方法主要的应用都还是限于平衡阶数m 珂为非负整 数的情形 然而实际上出现的方程也有平衡阶数为负数和分数的情形 非线性偏微分方程精确解与孤子相互作用问题的研究 1 3 2j a c o b i 椭圆函数展开法 1 0 1 1 0 3 考虑非线性偏微分方程 n u 珥 0 卜4 作行波变换 甜 善 f k x c t 1 5 其中j i 和c 分别为波数和波速 则式 卜4 被约化为o d e q u 甜7 甜 o 1 6 其中 表示d f d 设 掌 为下列j a c o b i 椭圆函数形式的解 甜g 铆 1 f x q 肼 掌 q 善 6 b 卜7 较为最简单的是