福建省长泰一中高考数学一轮复习《抛物线》学案.doc

福建省长泰一中高考数学一轮复习抛物线学案基础过关3抛物线的几何性质：对进行讨论 点的范围： 、 对称性：抛物线关于 轴对称 离心率 焦半径公式：设f是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 焦点弦长公式：设ab是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若，则 ， ii) 若ab所在直线的倾斜角为(则 特别地，当时，ab为抛物线的通径，且 iii) saob （表示成p与的关系式）iv) 为定值，且等于 典型例题例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值解：设抛物线方程为，则焦点是f点a(3，n)在抛物线上，且| af |5故解得p4，解：(1)解法一：设直线的方程为：代入整理得，设则是上述关于的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知：| ab |若，则即直线有两条，其方程分别为：解法二：由抛物线的焦点弦长公式|ab|(为ab的倾斜角)易知sin，即直线ab的斜率ktan，故所求直线方程为：或.(2) 由(1)知，当且仅当时，|ab|有最小值4解法二：由(1)知|ab| |ab|min4 (此时sin1，90)变式训练2：过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于a、b两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）a有且仅有一条b有且仅有两条c有无数条d不存在解：b例3. 若a(3，2)，f为抛物线的焦点，p为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的p的坐标解：抛物线的准线方程为过p作pq垂直于准线于q点，由抛物线定义得|pq| pf |，| pf | pa | pa | pq |要使| pa | pq |最小，a、p、q三点必共线，即aq垂直于准线，aq与抛物线的交点为p点从而|pa|pf|的最小值为此时p的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。解：例4. 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，两点在抛物线y2x2上，l是ab的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点f？证明你的结论？(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围解：(1)fl|fa|fb|a、b两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意y1，y2不同时为0上述条件等价于y1y2(x1x2)(x1x2)0x1x2 x1x20即当且仅当x1x20时，l过抛物线的焦点f(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb，过点a、b的直线方程可写为yxm所以x1、x2满足方程：2x2xm0且x1x2，由于a、b为抛物线上不同的两点，所以8m0，即m设ab之中点为n(x0，y0)，则x0y0x0mm由nl得：mb于是bm即l在y轴上截距的取值范围是(，)变式训练4：正方形abcd中，一条边ab在直线yx4上，另外两顶点c、d在抛物线y2x上，求正方形的面积设c、d的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，则直线cd的斜率为1 1，即y1y21 又| cd |(y1y2)| bc |(y12y14恒正)由| cd | bc |，有(y1y2) 解、 得 y12或y13当y12时，有| bc |3，此时sabcd18当y13时，有| bc |5，此时sabcd50 正方形的面积为18或50小结归纳1求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法2利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化3涉及抛物线