高中数学 2.4.2 第1课时 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修21.ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 x 0 y r x 0 y r x r y 0 x r y 0 x y o 0 0 1 判断 正确的打 错误的打 1 抛物线的图象关于点 0 0 对称 2 抛物线没有渐近线 3 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p 提示 1 错误 抛物线没有对称中心 它的图象不关于点 0 0 对称 因为y2 2px中 同时把x y换成 x y 方程发生了变化 2 正确 渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质 抛物线没有渐近线 3 错误 把x 代入y2 2px p 0 得y p 所以过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p 答案 1 2 3 知识点拨 1 在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆 双曲线的比较 2 参数p p 0 对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点f且垂直于对称轴的弦的长度是2p 所以p越大 开口越大 3 抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形 其焦点f和准线与对称轴的交点关于原点o对称 即若准线与对称轴的交点为m 则o为mf的中点 4 点p x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系 1 p x0 y0 在抛物线y2 2px p 0 内部 y020 上 y02 2px0 3 p x0 y0 在抛物线y2 2px p 0 外部 y02 2px0 类型一焦半径和焦点弦问题 典型例题 1 2013 鹤岗高二检测 抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 4b 6c 8d 122 2013 大理高二检测 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求抛物线方程和m点的坐标 解题探究 1 抛物线y2 8x的焦点坐标是什么 准线方程呢 2 抛物线上的点具有什么性质 探究提示 1 焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 2 抛物线上的点具有两点性质 点的坐标适合方程 点满足定义条件 即点p到焦点的距离等于到准线的距离 解析 1 选b 抛物线y2 8x的准线是x 2 由条件知p到y轴距离为4 点p的横坐标xp 4 根据焦半径公式可得 pf 4 2 6 2 由抛物线定义知焦点坐标为f 0 准线方程为x 由题意设m到准线的距离为 mn 则 mn mf 10 即 9 10 p 2 故抛物线方程为y2 4x 将m 9 y 代入y2 4x 解得y 6 m 9 6 或m 9 6 拓展提升 1 抛物线的焦半径 1 抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 2 抛物线的焦半径公式 2 过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 变式训练 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线的方程 解题指南 联立方程组 由过焦点的弦长公式表示出弦长 解方程求出参数值 从而得出抛物线的标准方程 解析 若抛物线开口向右 如图 设抛物线的方程为y2 2px p 0 则直线方程为y x p 设直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 则由抛物线定义得 ab af fb ac bd x1 x2 即x1 x2 p 8 又a x1 y1 b x2 y2 是抛物线和直线的交点 由消去y 得x2 3px 0 x1 x2 3p 将其代入 得p 2 所求抛物线的方程为y2 4x 当抛物线的开口向左时 同理可求得抛物线的方程为y2 4x 综上 抛物线的方程为y2 4x或y2 4x 类型二抛物线性质的应用 典型例题 1 2013 唐山高二检测 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点的坐标是 a 1 b 0 0 c 1 2 d 1 4 2 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上两点 o为坐标原点 若 oa ob 且 aob的垂心恰是此抛物线的焦点 求直线ab的方程 解题探究 1 题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些 2 以原点为一个顶点的三角形的 四心 在抛物线的对称轴上 另两个顶点的位置关系如何 探究提示 1 一般有三种方法 1 构造函数法 2 数形结合法 3 转化法 2 根据抛物线的对称性 另两个顶点必定关于对称轴对称 解析 1 选a 方法一 设抛物线上点的坐标为 x 4x2 其中x r 由点到直线的距离公式得 当x 时 d最小 这时点的坐标为 1 方法二 设与y 4x 5平行的抛物线y 4x2的切线方程为y 4x m 由得4x2 4x m 0 再由 16 4 4 m 0得m 1 这时切点为 1 切点 1 到y 4x 5的距离最小 2 如图所示 设a x0 y0 由题意可知b x0 y0 又f 0 是 aob的垂心 则af ob kaf kob 1 即 y02 x0 x0 又y02 2px0 x0 2p 因此直线ab的方程为x 互动探究 题2中 若把 垂心 改为 重心 ab的方程如何 解析 根据抛物线的对称性 因为f为 oab的重心 所以a b两点关于x轴对称 又根据重心的性质 of ab的方程应为 拓展提升 抛物线的主要性质及应用方向 类型三抛物线中的证明问题 典型例题 1 证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 2 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 求证 1 x1x2为定值 2 为定值 解题探究 1 判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么 2 什么是定值 探究提示 1 判断直线与圆的位置关系时 一般利用几何法进行判断 即判断圆心到直线的距离与半径的大小 2 定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关 证明 1 如图 作aa1 l于a1 bb1 l于b1 m为ab的中点 作mm1 l于m1 则由抛物线的定义可知 aa1 af bb1 bf 在直角梯形bb1a1a中 mm1 aa1 bb1 af bf ab 故以抛物线的焦点弦为直径的圆 必与抛物线的准线相切 2 1 抛物线y2 2px的焦点为f 0 当ab不垂直于x轴时 设直线ab的方程为y k x k 0 由消去y 得k2x2 p k2 2 x 0 由根与系数的关系得x1x2 定值 当ab x轴时 x1 x2 x1x2 也成立 2 由抛物线的定义知 fa x1 fb x2 又由 1 得x1x2 所以 定值 拓展提升 解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点 变式训练 如图 m是抛物线y2 x上的一点 动弦me mf分别交x轴于a b两点 且 ma mb 若m为定点 证明 直线ef的斜率为定值 证明 设m y02 y0 直线me的斜率为k k 0 则直线mf的斜率为 k 直线me的方程为y y0 k x y02 由消去x 得ky2 y y0 1 ky0 0 解得 同理可得 定值 直线ef的斜率为定值 易错误区 抛物线最值问题中忽视范围致误 典例 2013 安阳高二检测 若抛物线x2 2y上距离点a 0 a 的最近点恰好是抛物线的顶点 则a的取值范围是 a a 0b 0 a 1c a 1d a 0 解析 选c 设抛物线上任一点p的坐标为 x y 则 pa 2 d2 x2 y a 2 2y y a 2 y2 2a 2 y a2 y a 1 2 2a 1 y 0 根据题意知 1 当a 1 0 即a 1 y 0时 dmin2 a2 这时dmin a 2 当a 1 0 即a 1时 y a 1时d2取到最小值 不符合题意 综上可知a 1 误区警示 防范措施 1 不要忽视抛物线中范围抛物线中的变量是有范围的 解题中若忽视了这一点 会使讨论起来更加复杂 或解题中妄加猜测 如本例中y的范围为 0 2 分类讨论思想的应用求最值时 若对称轴与变量范围不确定时 需分类讨论 如本例中 因y 0 故分a 1 0或a 1 0两种情况讨论 类题试解 设点a的坐标为 a 0 a r 则曲线y2 2x上的点到a点的距离的最小值为 解析 设曲线y2 2x上的点到a点的距离为d 抛物线上任一点的坐标为 x y 则d2 x a 2 y2 x2 2a 2 x a2 x a 1 2 2a 1 因为x 0 所以当a 1时 dmin2 2a 1 dmin 当a 1时 dmin2 a2 dmin a 答案 或 a 1 抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 a b c d 3 解析 选a 设抛物线y x2上一点为 m m2 该点到直线4x 3y 8 0的距离为当m 时 取得最小值为 2 方程 3 m y2 m 1 x表示抛物线 其中m不能为 a 1b 3c 1或3d 1且3 解析 选d 由条件知 解得m 3且m 1 故选d 3 抛物线y2 mx的焦点为f 点p 2 2 在此抛物线上 m为线段pf的中点 则点m到该抛物线准线的距离为 a 1b c 2d 解析 选d 点p 2 2 在抛物线y2 mx上 所以m 4 抛物线的准线为x 1 抛物线y2 mx的焦点为f 1 0 m为线段pf的中点 m的坐标为 m到抛物线的准线x 1的距离 4 抛物线y2 8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 解析 根据定义知 抛物线上的点p到顶点的距离和到焦点的距离相等 p在of的中垂线上 f 2 0 点p的横坐标为1 把x 1代入y2 8x得y 2 故p 1 2 答案 1 2 和 1 2 5