【2015电大小抄】最新电大经济数学基础期末小抄版

1 经济数学基础 第一部分 微分学 一、单项选择题 1函数 1lg xxy的定义域是（ 1x 且 0x ） 2若函数 )(xf 的定义域是 0， 1，则函数 )2( xf 的定义域是 ( 0,( ) 3下列各函数对中，（ xxxf 22 c o ss in)( ， 1)( xg ）中的两个函数相等 4设 11)( xxf，则 )( xff =（ x11 ） 5下列函数中为奇函数的是（ 11ln xxy ） 6下列函数中，（ )1ln( xy 不是基本初等函数 7下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对称 ）是正确的 8. 当 x0 时，下列变量中（x x21 ）是无穷大量 9. 已知 1tan)( xxxf，当（ x0 ）时， )(xf 为无穷小量 . 10函数 s i n ,0(),0x xfx xkx 在 x = 0 处连续，则 k = ( 1) 11. 函数0,10,1)(xxxf 在 x = 0 处（ 右连续 ） 12曲线11 xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（21 ） 13. 曲线 xy sin 在点 (0, 0)处的切线方程为（ y = x ） 14若函数 xxf )1(，则 )(xf =（21x ） 15若 xxxf cos)( ，则 )(xf （ xxx cossin2 ） 16下列函数在指定区间 ( , ) 上单调增加的是（ e x） 17下列结论正确的有（ x0是 f (x)的极值点 ） 18. 设需求量 q 对价格 p 的函数为 ppq 23)( ，则需求弹性为 Ep=（ pp3 2 ） 二、填空题 1函数20,105,2)(2 xxxxxf 的定义域是 -5， 2 2函数xxxf 21)5ln ()( 的定义域是 (-5, 2 ) 3若 函数 52)1( 2 xxxf ，则 )(xf 62 x 4 设函数 1)( 2 uuf ，xxu 1)( ，则 )2(uf43 5设2 1010)(xxxf ，则函数的图形关于 y 轴 对称 6已知生产某种产品的成本函数为 C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该产品的平均成本为 3.6 7已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) = 45q 0.25q 2 2 8. xxxxsinlim 1 . 9已知x xxf sin1)( ，当 0x 时， )(xf 为无穷小量 10. 已知1111)(2xaxxxxf ，若 f x( ) 在 ),( 内连续，则 a 2 . 11. 函数 1()1exfx 的间断点是 0x 12函数)2)(1( 1)( xxxf的连续区间是 )1,( ， )2,1( ， ),2( 13曲线 yx 在点 )1,1( 处的切线斜率是 (1) 0.5y 14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为 (0, + ) 15已知 xxf 2ln)( ，则 )2( f = 0 16函数 y x 3 1 2( ) 的驻点是 x1 17需求量 q 对价格 p 的函数为 2e100)( ppq ，则需求弹性为 Ep 2p 18已知需求函数为 pq32320 ，其中 p为价格，则需求弹性 Ep = 10p p 三、极限与微分计算题 1解 4 23lim 222 xxxx=)2)(2( )1)(2(lim 2 xx xxx = )2( 1lim2 xxx = 41 2解：23 1lim 21 xx xx=)1)(2)(1(1lim1 xxxxx =21)1)(2(1lim1 xxx 3解 0sin 2lim11xxx =0( 1 1 ) s i n 2l i m( 1 1 ) ( 1 1 )xxxxx =x xx xx 2s inlim)11(lim 00 =2 2 = 4 4解 2343lims in ( 3 )xxxx=3( 3 ) ( 1)li m s i n ( 3 )xxxx = 333l i m l i m ( 1 )s i n ( 3 )xxx xx = 2 5 解 )1)(2( )1t a n (lim2)1t a n (lim 121 xx xxx x xx 1 )1t a n (lim21lim 11 x xx xx 31131 6 解 )32)(1()23()21(lim625 xxxxxx= )32)(11()213()21(lim625xxxxxx =232 3)2( 65 3 7解： y (x)= )cos2( x xx=2c o ss in2ln2 x xxxx =2c o ss in2ln2 x xxxx 8解 xxxxf xx 1c os2s in2ln2)( 9解 因为 5ln5s i n2)c o s2(5ln5)5( c os2c os2c os2 xxx xxy 所以 5ln25ln52s in2)2( 2c os2 y 10解 因为 )(ln)(ln32 31 xxy 331ln32)( ln32xxxx 所以 xxxy dln32d3 11 解 因为 )( c o sc o s5)( s ine 4s in xxxy x xxxx s inc o s5c o se 4s in 所以 xxxxy x d)s inc o s5c o se(d 4s in 12解 因为 )(2ln2)(c o s 1 332 xxxy x 2ln2co s3 322 xxx 所以 xxxy x d)2ln2c o s3(d 322 13解 )(c o s)2(2s in)( 22 xxxy xx 2c o s22ln2s in2 xxxx 14解： )5(e)( lnln3)( 52 xxxxy x xx x 52 5eln3 15解 在方程等号两边对 x求导，得 )e()e()1ln ( 2 xyxy 0)(e1)1ln ( yxyxyxy xy xyxy yxyyxx e1e)1 ln ( 故 e)1) ln(1(e)1(xyxyxxxyxyy 16 解 对方程两边同时求导，得 0eec o s yxyy yy yy yxy e)e(c o s )(xy =yyxy ecose . 4 17解：方程两边对 x 求导，得 yxy yy ee yyxy e1e 当 0x 时， 1y 所以，0ddxxy ee01e11 18解 在方程等号两边对 x求导，得 )()e()c o s ( xyx y 1e1)s in ( yyyx y )s in (1)s in (e yxyyxy )s in (e )s in (1 yx yxy y 故 xyx yxy y d)s in (e )s in (1d 四、应用题 1设生产某种产品 x 个单位时的成本函数为： xxxC 625.0100)( 2 （万元） , 求：（ 1）当 10x 时的总成本、平均成本和边际成本； （ 2）当产量 x 为多少时，平均成本最小？ 1 解 （ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxxC 625.0100)( 2 625.010 0)( xxxC ， 65.0)( xxC 所以， 1851061025.0100)10( 2 C 5.1861025.010100)10( C， 116105.0)10( C （ 2）令 025.010 0)(2 xxC ，得 20x （ 20x 舍去） 因为 20x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 x 20 时，平均成 本最小 . 2某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 q p 1000 10 （ q 为需求量， p 为价格） 2 解 （ 1）成本函数 Cq( ) = 60q +2000 因为 q p 1000 10 ，即 p q 100 110， 所以 收入函数 Rq( ) =p q =(100 110 q)q =100 110 2q q （ 2）因为利润函数 Lq( ) =Rq( ) -Cq( ) =100 110 2q q-(60q +2000) = 40q - 1102q-2000 且 L q( ) =(40q - 1102q-2000) =40- 0.2q 5 令 L q( ) = 0，即 40- 0.2q = 0，得 q = 200，它是 Lq( ) 在其定义域内的唯一驻点 所以， q = 200 是利润函数 Lq( ) 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大 3设某工 厂生产某产品的固定成本为 50000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元又已知需求函数 pq 42000 ，其中 p 为价格， q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（ 1）价格为多少时利润最大？（ 2）最大利润是多少？ 3解 （ 1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数 L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 )(pL =2400 8p = 0 得 p =300，该问题确实存在最大值 . 所以，当价格为 p =300元时，利润最大 . （ 2）最大利润 1 1 0 0 02 5 0 0 0 030043002 4 0 0)300( 2 L （元） 4某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数 为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元 /件），试求：（ 1）产量为多少时可使利润达到最大？（ 2）最大利润是多少？ 4解 （ 1）由已知 201.014)01.014( qqqqqpR 利润函数 222 02.0201001.042001.014 qqqqqqCRL 则 qL 04.010 ，令 004.010 qL ，解出唯一驻点 250q . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达 到最大， （ 2）最大利润为 1 2 3 01 2 5 0202 5 0 02 5 002.0202 5 010)2 5 0( 2 L （元） 5某厂每天生产某种产品 q 件的成本函数为 9800365.0)( 2 qqqC （元） .为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 Cq( ) =Cqq( )= 0 5 36 9800. qq （ q0 ） C q( ) = ( . )0 5 36 9800qq =0 5 98002. q 令 C q( ) =0，即 0 5 98002. q=0，得 q1 =140， q2 = -140（舍去） . q1 =140 是 Cq( ) 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函数 Cq( ) 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140 件 . 此时的平均成本为 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. =176 （元 /件） 6已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q q q( ) 250 20102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 6 解 （ 1） 因为 Cq( ) =Cqq( )= 250 2010q q C q( ) = ( )250 2010q q = 250 1102q 令 C q( ) =0，即 250 110 02q，得 q1 =50， q2 =-50（舍去）， q1 =50 是 Cq( ) 在其定义域内的唯一驻点 所以， q1 =50 是 Cq( ) 的最小值点，即要使平均成本 最少，应生产 50 件产品 第二部分 积分学 一、单项选择题 6 1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（ 1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3 ） 2. 若 10 d)2( xkx= 2，则 k =（ 1） 3下列等式不成立的是（ )1d(dlnxxx ） 4若 cxxf x 2ed)( ，则 )(xf =（ 2e41x ） . 5. )d(e xx （ cx xx ee ） 6. 若 cxxf xx 11 ede)( ，则 f (x) =（21x ） 7. 若 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，则下列等式成立的是 ( )()(d)( aFxFxxfxa ) 8下列定积分中积分值为 0 的是（ xxx d2 ee11 ） 9 下列无穷积分中收敛的是 （ 1 2 d1 xx ） 10设 R (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（ 350 ） 11下列微分方程中，（ xxyyy e2 ）是线性微分方程 12微分方程 0)()( 432 xyyyy 的阶是（ 1） . 二、填空题 1 xx ded 2 xx de 2 2函数 xxf 2sin)( 的原函数是 -21cos2x + c (c 是任意常数 ) 3若 cxxxf 2)1(d)( ，则 )(xf )1(2 x 4若 cxFxxf )(d)( ，则 xf xx )de(e = cF x )e( 5 e12 dx)1ln (dd xx 0 6 11 22 d)1( xxx 0 7 无穷积分 0 2 d)1( 1 xx是 收敛的 （判别其 敛散性） 8设边际收入函数为 R (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 2 + q23 9. 0e)( 23 yy x 是 2 阶微分方程 . 10微分方程 2xy 的通解是 cxy 33 三、计算题 解 cxxxxxx 1c o s)1(d1s ind1s in2 2解 cxxx xxx 22ln2)(d22d2 3解 cxxxxxxxxxx s i nc o sdc o sc o sds i n 4解 xxx d1)ln( = xxxxx d1)(21ln1)(2122 7 = cxxxxx 4)ln2(2122 5解 xxx d)e1(e3ln0 2 = 3ln0 2 )ed ( 1)e1( xx= 3ln03)e1(31 x = 356 6解 )( l nd2ln2)2(dlndln e1e1e1e1 xxxxxxxxx e1e1 4e2d2e2 xxx e24d2e2 e1 xx 7解 xxx dln112e1 = )lnd (1ln112e1 xx = 2e1ln12 x= )13(2 8解 xxx d2cos20 = 202sin21xx - xxd2sin21 20 = 202cos41x = 21 9解法一 xx xxxxx d1)1l n (d)1l n ( 1e01e01e0 = xx d)111(1e 1e0 = 1e0)1ln (1e xx eln =1 解法二 令 1xu ，则 uuuuuuuxx d1lndlnd)1l n ( e1e1e11e0 = 11eee e1 u 10解 因为 xxP 1)( ， 1)( 2 xxQ 用公式 d1 ) e(e d12d1 cxxy xxxx d1 ) e(e ln2ln cxx xx xcxxcxxx 24241324 由 4712141)1(3 cy ， 得 1c 所以，特解为 xxxy 1243 11解 将方程分离变量： xyy xy dede 32 等式两端积分得 cxy 3e31e21 2 将初始条件 3)1( y 代入，得 c 33 e31e21， c = 3e61 所以，特解为： 33 ee2e3 2 xy 12解：方程两端乘以x1，得 xxxyxy ln2 即 8 xxxy ln)( 两边求积分，得 cxxxxx xxy 2ln)( lndlndln2 通解为： cxxxy 2ln2 由 11 xy，得 1c 所以，满足初始条件的特解为： xxxy 2ln2 13解 将原方程分离变量 xxyy y dcotlnd 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将原方程化为：xyxy ln11 ，它是一阶线性微分方程， xxP 1)( ，xxQ ln1)( 用公式 ( ) d ( ) de ( ) e d P x x P x xy Q x x c deln 1ed1d1 cxxxxxx deln 1e lnln cxx xx dln1 cxxxx )ln(ln cxx 15解 在微分方程 yxy 2 中， xxQxP 2)(,1)( 由通解公式 )de2(e)de2(e dd cxxcxxy xxxx )e2e2(e)de2e2(e cxcxx xxxxxx )e22( xcx 16解：因为xxP 1)( ， xxQ sin)( ，由通解公式得 )des in(e d1d1 cxxy xxxx = )des in(e lnln cxx xx = )dsin(1 cxxxx = )s inc o s(1 cxxxx 四、应用题 1投产某产品的固定成本为 36(万元 )，且边际成本为 )(xC =2x + 40(万元 /百台 ). 试求产量由 4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 . 1解 当产量由 4 百台增至 6百台时，总成本的增量为 64 d)402( xxC= 642 )40( xx = 100（万元） 又 xcxxCxC x 0 0d)()( =x xx 36402 =xx 3640 令 0361)(2 xxC， 解得 6x . 9 x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值 . 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 . 2已知某产品的边际成本 C (x)=2（元 /件），固定成本为 0，边际收益 R (x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？ 2解 因为边际利润 )()()( xCxRxL =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令 )(xL = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值 . 所以，当产量为 500 件时，利润最大 . 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为 5505002550500 )01.010(d)02.010( xxxxL =500 - 525 = - 25 （元） 即利润将减少 25 元 . 3生产某产品的边际成本为 C (x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为 R (x)=100-2x（万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？ 3. 解 L (x) =R (x) -C (x) = (100 2x) 8x =100 10x 令 L (x)=0, 得 x = 10（百台） 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大 . 又 xxxxLL d)101 0 0(d)( 12101210 20)5100(12102 xx 即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元 . 4已知某产品的边际成本为 34)( xxC (万元 /百台 )， x 为产量 (百台 )，固定成本为 18(万元 )，求最低平均成本 . 4解：因为总成本函数为 xxxC d)34()( = cxx 32 2 当 x = 0 时， C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 1832 2 xx 又平均成本函数为 xxx xCxA 1832)()( 令 0182)(2 xxA， 解得 x = 3 (百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量 . 所以当 x = 3 时，平均成本最低 . 最底平均成本为 9318332)3( A (万元 /百台 ) 5设生产某产品的总成本函数为 xxC 3)( (万元 )，其中 x 为产量，单位：百吨销售 x 百吨时的边际收入为 xxR 215)( （万元 /百吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？ 5解： (1) 因为边际成本为 1)( xC ，边际利润 )()()( xCxRxL = 14 2x 令 0)( xL ，得 x = 7 由该题实 际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点 . 因此，当产量为 7 百吨时利润最大 . (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 87287 )14(d)214( xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少 1 万元 . 第三部 分 线性代数 一、单项选择题 1设 A 为 23 矩阵， B 为 32 矩阵，则下列运算中（ AB ）可以进行 . 2设 BA, 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ T111T )()( BAAB 3设 BA, 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ 秩 )( BA 秩 )(A 秩 ） 4设 BA, 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ IA 1 ） 10 5设 A 是可逆矩阵，且 A AB I ，则 A 1 （ I B ） . 6设 )21(A ， )31(B ， I 是单位矩阵，则 IBA T （ 52 32） 7设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么 （ AB = AC， A可逆 ，则 B = C ）成立 . 8设 A 是 n 阶可逆矩阵， k 是不为 0的常数，则 ( )kA 1 （ 1 1kA） 9设314231003021A ，则 r(A) =（ 2 ） 10设线性方程组 bAX 的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ） 11线性方程组012121 xx xx 解的情况是（ 无解 ） 12若线性方程组的增广矩阵为 012 21 A，则当 （ 12）时线性方程组无解 13 线性方程组 AX0 只有零解，则 AX b b ( )0 （ 可能无解 ） . 14设线性方程组 AX=b 中， 若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（ 无解 ） 15设线性方程组 bAX 有唯一解，则相应的齐次方程组 OAX （ 只有零解 ） 二、填空题 1两个矩阵 BA, 既可相加又可相乘的充分必要条件是 A 与 B 是同阶 矩阵 2计算矩阵乘积 10211000321 = 4 3若矩阵 A = 21 ， B = 132 ，则 ATB= 264 132 4设 A 为 m n 矩阵， B 为 s t 矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则 m n s t, , , 有关系式 m t n s , 5设13230201aA ，当 a 0 时， A 是对称矩阵 . 6当 a 3 时，矩阵 aA 1 31可逆 7设 BA, 为两个已知矩阵，且 BI 可逆，则方程 XBXA 的解 X ABI 1)( 8设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 r (A)= n 9若矩阵 A =330204212，则 r(A) =2 10若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解 11若线性方程组002121 xx xx 有非零解，则 -1 12设齐次线性方程组 01 nnm XA ，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n r 11 13齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵为000020103211A 则此方程组的一般解为42431 22 xx xxx (其中 43, xx 是自由未知量 ) 14线性方程组 AX b 的增广矩阵 A 化成阶梯形矩阵后为110000012401021dA 则当 d 1 时，方程组 AX b 有无穷多解 . 15若线性方程组 AX b b ( )0 有唯一解，则 AX0 只有 0 解 三、计算题 1设矩阵113421201A ，303112B ，求 BAI )2( T 2设矩阵 021 201A，200010212B ，242216C ，计算 CBA T 3设矩阵 A =1121243613，求 1A 4设矩阵 A = 012411210，求逆矩阵 1A 5设矩阵 A = 021 201， B =142136，计算 (AB)-1 6 设矩阵 A =022011 ， B = 210 321，计算 (BA)-1 7解矩阵方程 2143 32 X 8解矩阵方程 02 1153 21X. 9设线性方程组 baxxxxxxxx321321312022 讨论当 a， b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解 . 10设线性方程组 052231232132131xxxxxxxx，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况 . 11求下列线性方程组的一般解： 12 03520230243214321431xxxxxxxxxxx 12求下列线性方程组的一般 解： 126142323252321321321xxxxxxxxx 13设齐次线性方程组 0830352023321321321xxxxxxxxx 问 取何值时方程组有非零解，并求一般解 . 14当 取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx 有解？并求一般解 . 15已知线性方程组 bAX 的增广矩阵经初等行变换化为 300000331013611A 问 取何值时，方程组 bAX 有解？当方程组有解时，求方程组 bAX 的一般解 . 三、计算题 1解 因为 T2 AI = 1000100012T113421201 =200020002 142120311=142100311 所以 BAI )2( T =142100311303112=1103051 2解： CBA T =200010212022011242216 =042006242216 =200210 3解 因为 (A I )= 1001120101240013613100112210100701411 13 1302710210100701411172010210100141011 210100172010031001210100172010031001 所以 A-1 =210172031 4解 因为 (A I ) = 120001010830210411100010001012411210 123124112200010001123001011200210201 21123124112100010001 所以 A-1=21123124112 5解 因为 AB = 021 201142136= 14 12 (AB I ) = 1210 01121014 0112 1210 21210112101102 所以 (AB)-1= 12 2121 6解 因为 BA= 210 321022011 = 24 35 (BA I )= 1024 11111024 0135 5420 1111 2521023101 所以 (BA)-1= 252231 14 7解 因为 1043 0132 1043 1111 2310 1111 2310 3401 即 23344332 1 所以 ， X = 2123 34=12 8解：因为 1053 0121 1310 0121 1310 2501