第三章3[1]1从算式到方程.doc

年 级初一学 科数学版 本人教新课标版（2012教材）课程标题第三章3.1从算式到方程编稿老师高静一校林卉二校黄楠审核路子华一、考点突破本讲主要学习等式的基本性质和与方程有关的一些基本概念，学习时应达到以下目标：（1）正确理解方程的概念，掌握构成方程的两个要素；（2）正确理解一元一次方程的概念；会验证一个数是否为方程的解；（3）能够区分方程与等式，会判断一个方程是不是一元一次方程；（4）理解和掌握等式的两个基本性质，会利用等式的两个基本性质解一元一次方程。 中考预测：本讲内容是方程的入门知识，在中考中所占的比例较小，难度也较低，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查等式的基本性质、一元一次方程的概念和如何列一元一次方程解决实际问题，分值一般为35分。二、重难点提示重点：一元一次方程的概念和等式的基本性质。难点：把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来。一、知识脉络图二、知识点拨1. 等式的基本性质中强调两个“同”，一个是“等式两边同时”，一个是“加上（或减去、或乘以、或除以）同一个数（除数不能为0）”，有了这两个“同”，才能保证变形前后都是等式。2. 根据数量关系列方程，即把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子。列方程的一般步骤：（1）设字母表示未知数；（2）把其中一部分数量关系列成代数式；（3）根据已知数和未知数的全部相等关系列出方程。随堂练习：下列各式中，不是方程的是（ ）A. x1 B. 3x2x5 C. xy0 D. 2x3y1解析：含有未知数的等式叫做方程，根据此定义可判断出选项的正确性。解：根据方程的特点：（1）含有未知数；（2）是等式。由此可得出D选项不是等式。故选D。点评：本题主要考查方程的定义，即含有未知数的等式叫做方程，既要注意含有未知数，又不要忽视是等式这个条件。知识点1：等式的基本性质例题1 若ab，则在ab，a3b3，ab，中，正确的个数是（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4思路导航：在等式的两边都减去一个数，所得结果仍是等式；在等式的两边都加上一个数，所得结果仍是等式；在等式的两边都乘一个数，所得结果仍是等式；在等式的两边都除以一个数，因为没有强调除数不等于0，所以不正确。因此正确的个数是3个，故选C。答案：C点评：利用等式性质变形时，一要看等式两边是否同时进行了同样的变形，二要看等式两边若是除以某个数时，这个数是否不为0。若满足上面两条件，变形后是一个等式，若不满足，则结果不是等式。例题2 下列等式变形是否受到一定的条件限制？并说明理由。（1）要使等式1，得到4（x3）5（x4）成立；（2）要使等式1，得到1成立；（3）要使等式（3a7）x4ab，得到x成立。思路导航：先分别观察两式，找出变形规律，再分析其变形过程依据性质的合理性。答案：（1）不受条件限制，因为200，等式两边同时乘以20。（2）不受条件限制，由分数的基本性质可得。（3）受条件限制，a。因为a时，3a70，根据等式性质，等式两边不能同除以0。点评：在利用等式性质2进行变形时，一定要注意除数不能为0，特别是两边同时除以一个含字母的式子时，必须注意这个式子的值不能为零。知识点2：与方程有关的概念例题1 已知关于x的方程（2ab）x10无解，那么ab的值是（ ）A. 负数B. 正数C. 非负数D. 非正数思路导航：根据方程无解的条件得出2ab的取值，再确定AB的值。当2ab0时，无论x为何值，方程（2ab）x10都不成立，即方程无解。当a0，b0时，ab0；当a0时，必有b0，所以ab0，当a0时，必有b0，所以ab0。综上所述，ab0或ab0，所以ab的值是非正数。答案：D点评：解答本题要正确理解方程无解的意义，当含有未知数的项的系数2ab0时得10，无论x为何值，这个等式都不会成立，此时方程无解。例题2 若a是方程3x2的解，求aa2012的值。思路导航：所求式子的值中只含有字母a，只要根据已知能求出a的值即可，方程3x2的解便是a的值。答案：方程3x2的两边都减去3得x1，两边都除以1得x1，因为a是这个方程的解，所以a1，当a1时，aa20121111。点评：本题综合考查方程的解的意义、有理数的有关运算，解答这类问题时注意正确理解相关概念和有理数的运算法则。例题3 若（a3）2与b1互为相反数，且关于x的方程3yxb的解是x1，求2y23的值。思路导航：根据非负数的性质求出a、b的值，代入方程求出y的值，再求2y23的值。答案：因为（a3）2与b1互为相反数，所以（a3）2b10，所以a30，b10，即a3，b1。又因为关于x的方程3yxb的解是x1，所以把a3，b1，x1代入此方程得13y，解这个方程得y。当y时，2y23。点评：本题主要考查方程的解和与有理数相关的性质和运算，解答这类问题时注意方程的解的意义和非负数的性质。随堂练习：如果x2是方程2xm40的解，那么m的值为（ ）A. 8 B. 0C. 2 D. 8解析：方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等。解：把x2代入方程得到：4m40，解得m8。故选D。点评：本题主要考查了方程解的定义，已知x2是方程的解，实际就是得到了一个关于m的方程。知识点3：实际应用问题例题1 如图所示，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B的质量为_克。思路导航：我们把这个天平看做一个等式，等式的左边是2AB，等式的右边是A3B，若等式两边同时减去一个AB，则等式可变形为A2B，再把A20代入，可得B10。答案：10点评：这是一道利用等式性质解决的问题，等式的左右两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立。例题2 设适当的未知数，列方程。（1）小兰母亲今年38岁，比小兰的年龄的4倍少10岁，则小兰今年几岁？（2）鸡兔同笼，共有头12个，脚36只，问笼中有鸡、兔各几只？思路导航：（1）设小兰今年x岁，根据题意可表示出小兰母亲的年龄为（4x10）岁，从而可列出方程；（2）设笼中有鸡x只，则兔有（12x）只，因为每只鸡有1头2脚，每只兔有1头4脚，根据鸡脚数兔脚数36可列出方程。答案：（1）设小兰今年x岁，则小兰母亲今年（4x10）岁，根据题意得4x1038；（2）设笼中有x只鸡，则有（12x）只兔，根据题意得2x4（12x）36。点评：解此类题目，主要根据题中条件搞清有关数量之间的关系，设适当的未知数表示出其他数量，最后找准数量关系可列出方程。例题3 某商场因“三星”牌电热锅库存积压太多，准备降价处理，结果降价10%后恰好比原价的一半多80元，如果设原价为y元。（1）试用y的式子表示降价后的价格；（2）列出含有y的方程；（3）原价可能是200元、240元吗？说明理由。思路导航：降价10%后的价格是：原价原价的10%，即y10%y，或者是原价的一半多80元，即y80，这两个都表示降价10%后的价格。答案：（1）y10%y或y80；（2）y10%y80；（3）把y200与240代入方程。当y200时，方程的左边与右边相等，说明y200是方程的解，即原价是200元；当y240元，方程的左边与右边不相等，所以原价不可能是240元。点评：解题时要认真审题，找出数量关系，列出方程。根据方程的解的定义去判断。1. （重庆）已知关于x的方程2xa90的解是x2，则a的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5命题意图：考查一元一次方程的解的定义。解答：因为方程2xa90的解是x2，所以22a90，解得a5，故选D。点拨：本题考查了一元一次方程的解，把解代入方程求解即可，比较简单。2. （湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人。我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元。设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食。根据题意，列出方程为_。命题意图：由实际问题抽象出一元一次方程。解答：根据“设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食”得出方程即可。根据题意得：200003x5000。点拨：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，相等关系是：计划花费20000元3人向旅行社缴纳的费用5000元用于购物和品尝台湾美食的费用。1. 如何识别一元一次方程？识别一元一次方程时，请注意以下几点：（1）分母中不含未知数（一元一次方程首先是整式方程），形如1的方程不是一元一次方程；（2）方程中只能含有一个未知数，形如xy0的方程不是一元一次方程；（3）未知数的次数是1，一次项的系数不为0，如ax10，如果没有指明a0就不能确定方程ax10是一元一次方程。2. 方程的解和解方程一样吗？方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是具体的数值，而解方程是一个变形的过程。要检验一个数是不是某个方程的解，只需将这个数代入方程左、右两边，分别计算其结果，检验左、右两边的值是否相等。利用等式的两个性质对等式进行变形如果所给的等式两边仅仅加或减去一个数（或式子），则利用等式的性质1变形；如果所给的等式两边仅仅乘以或除以一个数（不为0），则利用等式性质2变形；如果既“加或减”又“乘或除”，则根据情况灵活处理。若已知ab变形到macmbc，则先利用等式性质2，再利用等式性质1变形，若已知macmbc变形到ab，则先利用等式性质1，再利用等式性质2变形。第三章3.2解一元一次方程（一）合并同类项与移项一、预习导学1. 把方程x132x移项时，应把1变成_移到方程的_边；同时把2x变成_移到方程的_边，就把原方程变形为_。2. 解方程x463x。移项得_，合并同类项得_，把未知数x的系数化为1得_，所以，方程x463x的解是x_。二、问题思考1. 请你说一说通过移项来解一元一次方程的一般步骤？2. 解一元一次方程移项时应注意什么？（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列方程的解是x2的是（ ）A. 2x6B. （x3）（x2）0C. 3x60D. x292. 如果方程（m1）x20是关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是（ ）A. m0B. m1C. m1D. m03. 在xy2；x1；x1x；x220中，一元一次方程有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 下列式子中，变形正确的是（ ）A. 如果ab，那么acbc B. 如果ab，那么C. 如果4，那么a2D. 如果abc0，那么abc5. 若关于x的方程3xax1的解是x2，则a的值为（ ）A. 5B. 5C. 7D. 7*6. 下列说法中，正确的个数是（ ）若mxmy，则mxmy0；若mxmy，则xy；若mxmy，则mxmy2my；若xy，则mxmy。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7. 若xy，且字母a可以取任何有理数，则下列等式的变形：，中一定成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*8. 一桶油连桶重8千克，油用去一半后连桶重4.5千克，设桶中原有油x千克，则下列方程错误的是（ ）A. 8x4.50.5xB. x0.5x84.5C. 0.5x84.5xD. x80.5x4.5*9. 如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的质量等于（ ）个正方体的质量。A. 2B. 3C. 4D. 5*10. 下列结论不能由ab0得到的是（ ）A. a2abB. abC. a0，b0D. a2b2二、填空题11. a的8倍加上4与a的5倍相等，列方程为_。12. 如果m2n5m25，那么n_。13. 某班学生为希望工程捐款212元，比每人捐款5元还多17元，设这个班的学生有x人，根据题意列方程得_。*14. 方程3x60与方程2x4R8的解相同，则R_。三、解答题*15. 已知方程（a4）xa320是一元一次方程，求a的值，并求出方程的解。*16. 已知5xa和7xb互为相反数，试写出它们满足的等式，并通过合并同类项及变形求出x。（a和b为常数）*17. 若x2是方程ax10的解，检验x4是否为方程2axx53x14a的解。*18. 认真思考，回答下列问题：（1）由2a32b3能不能得到ab？为什么？（2）由10a12能不能得到5a6？为什么？（3）由5ab6b能不能得到5a6？为什么？1. C2. B 解析：若方程（m1）x20是关于x的一元一次方程，那么未知数x的系数不等于0，即m10，解得m1。3. B 解析：中含有两个未知数，故不是一元一次方程；中未知数的次数是2，也不是一元一次方程，故选B。4. B 解析：ab两边同除以3得。5. B 解析：将x2代入方程得32a21，得a5。6. C 解析：因为mxmy，所以两边同时减去my得mxmy0，故正确。两边同时加上my，所以mxmy2my，故正确。两边同除以m，没有说明m0，故不正确。因为xy，两边同乘以m，得mxmy，故正确。所以选C。7. A 解析：在本题中，字母a可以取任何有理数，若a0时，不成立；若a1时，a10，则不成立；当a1时，a10，则不成立；无论a取任何有理数，有a20，则a210，所以总成立。所以若xy，则一定成立。8. D 解析：选项A正确，其根据是使用前后桶重相等；选项B正确，左右两边都表示油的一半；选项C正确，0.5x是油的一半，84.5也是油的一半，它们的和为x；选项D错误，x8是桶重的相反数，0.5x4.5是油加桶的重量，它们不会相等。9. D 解析：根据等式的性质进行变形，把第一架天平左右两边都扩大为原来的3倍，则6个球的质量相当于15个圆柱的质量；把第二架天平左右两边都扩大为原来的5倍，则10个正方体的质量相当于15个圆柱的质量。那么6个球的质量相当于10个正方体的质