统计学导论-2008-2010试卷A答案.pdf

北京师范大学2008 2009学年第二学期考试试卷 A卷 评分标准 课程名称 统计学导论任课教师姓名 李勇 金蛟 卷面总分 100 分考试时长 120 分钟考试类别 闭卷 开卷 其它 院 系 专业 年级 姓名 学号 题号第一题第二题第三题第四题第五题第六题第七题总分 得分 1 30分 请解答下列问题 a 什么是必然事件 什么是随机事件 b 叙述古典概率空间的定义 c 利用概率的有限可加性证明在古典概型中事件A的计算公式为 P A n A n 其中n A 为事件中样本点的个数 n为样本空间中样本点的个数 d 任何一个随机变量都能表示概率空间中的所有事件吗 请举例说明 e 运行下一段matlab程序代码后 s是向量还是数 这段代码的功能是什么 x 1 100 for i 1 5 temp unidrnd 100 i 1 i 1 tempX x i x i x temp x temp tempX end s x 1 5 f 简述矩估计方法的原理 解 a 在特定条件下一定要发生的时间为必然事件 在特定条件下可能发生也可能不发 生的 具有频率稳定性的事件为随机事件 5分 1 北京师范大学数学科学学院 b 若概率空间 F P 为有限概率空间 且各个样本点出现的概率相等 就称这个 概率空间为古典概率空间 5分 c 证明 在古典概率空间 F P 中 不妨假设样本空间中所有的样本点为 1 n 即 n i 1 i 1分 注意到 1 n 互不相容 利用概率的规范性和有限可加性得 1 P P n i 1 i n X i 1 P i 2分 注意到各个样本点出现的概率相等 立得 P k 1 n k 1 n 1分 对于任何事件A 由有限概率空间的定义得 A X i i A P i X i i A 1 n n A n 1分 d 不能 3分 考虑描述掷一枚质地均匀骰子实验的概率空间 F P 其中 1 2 3 4 5 6 事件类F由 的一切子集所构成 定义随机变量 1如果出现奇数点 0如果出现偶数点 事件 1 就不能用 表示 2分 e s为向量 3分 这段代码的功能是模拟从1 100中不放回地依次随意取出5个 数 2分 f 用X1 Xn表示随机变量X的重复观样本 矩方法估计参数的原理如下 根据 强大数定律 在很宽泛的条件下可以用样本矩近似总体矩 从而近似地有 E Xk 1 n n X i 1 Xk i k 1 2 E X E X k 1 n n X i 1 X i X k k 1 2 3分 2 北京师范大学数学科学学院 当X的分布含有未知参数 时 总体的k阶原点 中心 矩就是 的函数 因此可 以从上述的等式中选出一些等式 构成以 为未知数的方程组 将此方程组的 解 作为 的估计量 2分 2 20分 随机变量 的重复观测数据如下表所示 的10次重复观测数据 85 083 889 384 582 288 585 782 886 287 5 a 求样本的0 25分位数 0 5分位数 0 75分位数和四分位间距 b 画出样本数据的盒形图 并判断数据中有几个异常点 c 依据点图判断 是否为连续型随机变量 d 以1为茎距画出茎叶图 解 a 0 25分位数 83 8 0 5分位数 85 35 0 75分位数 87 5 四分位间距 3 7 5分 b 盒形图如下 没有异常点 5分 c 点图如下 3 北京师范大学数学科学学院 由于点的堆积高度都是1 所以可判断 是连续型变量 5分 d 茎叶图为 87 28502553 82 83 84 85 86 87 88 89 5分 3 40分 已知总体X B 1 X1是X的样本容量为1的样本 请解答下列问题 a 参数估计的极大似然思想是什么 b 请写出相应于这个样本的似然函数 并求出 的极大似然估计 c 求 的矩估计 d 对于假设检验问题 H0 0 5 请确定一个检验统计量和相应的判断指标 并给出拒绝域的构造 e 对 d 答案中所确定的拒绝域的构造 给出显著水平0 05的临界值 f 对于 d 中假设检验问题 如果得到的检验统计量的观测值为1 计算你所构造的检 验统计量的p 值 利用尾概率给出显著水平0 05的检验结果 g 解释 f 中所得的检验结果的统计学含义 h 假设检验的原理是什么 解 a 极大似然思想 结论应该使得样本出现的可能性最大 5分 b 似然函数为 L X1 1 1 X1 5分 c 由于 E X 矩估计为 X1 5分 d 所考虑的假设检验问题 H0 0 5 H1 0 5 仅涉及未知参数 而X1为 的矩估计 所以可用X1作为检验统计量 2分 当H0成 立时 X1应该很小 因此也可以用X1作为检验指标 2分 且拒绝域应该有如下 的形式 D x R x x0 其中x0为临界值 1分 4 北京师范大学数学科学学院 e 当显著水平 0 05时 临界值x0满足下式 0 05 PH0 X1 D PH0 X1 x0 1分 由于X1 B 1 这需要x0满足 0 05 sup 0 5 P X1 x0 1 x0 0 0 5 0 x0 1 0 0 05 因此拒绝原假设 5分 g 在f 中得到的结论是在显著水平0 05之下拒绝原假设 这意味这种拒绝犯错误的 概率不会超过0 05 5分 h 假设检验的原理 若出现了有利于H1的小概率事件 就拒绝原假设H0 否则就 接受H0 5分 4 10分 已经获得了解释变量X和预报变量Y 的两组不同的观测数据 Xi Yi i 1 2 请解答下列问题 a 请建立一个回归模型 b 给出模型参数的最小二乘估计量的表达式 即用 Xi Yi i 1 2表达这个估计 量 c 计算所建回归模型的残差平方和 d 所建立的经验方程能完全的刻画解释变量和预报变量之间的关系吗 请举例说 明 解 a 可选用线性回归模型 Y a bx E 0 D 2 来拟合x和Y 之间的关系 5分 5 北京师范大学数学科学学院 b 显然经验回归方程是过两个样本点的直线 即模型参数的最小二乘估计量满足 Y1 a bx1 Y2 a bx2 3分 解方程组得 a x2Y1 x1Y2 x2 x1 b Y2 Y1 x2 x1 2分 c 残差平方和 Q a b Y1 a bx1 2 Y2 a bx2 2 0 5分 d 不能完全刻画解释变量和预报变量之间的关系 原因是相对应模型参数的个数而 言 样本数