福建省龙岩市长汀二中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

福建省龙岩市长汀二中2015 届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1设全集为r，集合a=x|x290，b=x|1x5，则ab=( )a（3，5b（1，3）c（3，1）d（3，5考点：交集及其运算 专题：集合分析：先将集合a化简，然后与集合b取交集即可解答：解：全集为r，a=x|x290=x|3x3，又b=x|1x5，ab=x|1x3故选b点评：本题考查集合的交集运算，属于基础题目，利用交集的定义求解即可2以下说法错误的是( )a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x1，则x23x+20”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p，q均为假命题d若命题p：x0r，使得x02+x0+10，则p：xr，都有x2+x+10考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：写出原命题的逆否命题，可判断a；根据充要条件的定义，可判断b；根据复合命题真假判断的真值表，可判断c；根据特称命题的否定方法，可判断d解答：解：命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x1，则x23x+20”，故a正确；“x=1”时，“x23x+2=0”成立，故“x=1”是“x23x+2=0”的充分条件；“x23x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x23x+2=0”的不必要条件，故b正确；若pq为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故c错误；命题p：x0r，使得x02+x0+10，则p：xr，都有x2+x+10，故d正确；故选：c点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题3设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为( )abcd考点：数量积表示两个向量的夹角；单位向量 专题：计算题分析：设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值解答：解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合，得=故选c点评：本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题4下列函数中，既是偶函数又在（，0）上单调递增的是( )ay=x3by=cosxcdy=x2考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：运用函数的奇偶性的定义和单调性的定义，结合函数的图象和性质，即可判断既是偶函数又在（，0）上单调递增的函数解答：解：对于af（x）=x3=f（x），则为奇函数，故a不满足；对于by=cosx是偶函数，在（2k，2k），kz上递增，故b不满足；对于c，f（x）=f（x），则为偶函数，当x0时，f（x）=2x是增函数，故c满足；对于d函数为偶函数，且在在（，0）上单调递减，故d不满足故选c点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题和易错题5为了得到函数y=31x的图象，可以把函数y=3x的图象( )a向左平移3个单位长度b向右平移3个单位长度c向左平移1个单位长度d向右平移1个单位长度考点：函数的图象与图象变化 专题：函数的性质及应用分析：比较函数y=31x与函数y=3x的关系，可得出两个函数图象之间的关系解答：解：因为y=31x=3（x1），所以要得到函数y=31x的图象，则只需要把函数y=3x的图象向右平移1个单位，即可故选d点评：本题考查函数图象的变化关系，比较两个函数的关系式，观察变量之间的关系，从而确定图象之间的关系6已知f（x），g（x）分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=( )a3b1c1d3考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：将原代数式中的x替换成x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可解答：解：由f（x）g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成x，得f（x）g（x）=x3+x2+1，根据f（x）=f（x），g（x）=g（x），得f（x）+g（x）=x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1故选：c点评：本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在2015届高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果7在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象可能是( )abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0a1时和当a1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案解答：解：当0a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：此时答案d满足要求，当a1时，函数f（x）=xa（x0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选d点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键8已知函数f（x）=，若f=4a，则dx=( )a2ln2bln2cln2d9ln2考点：定积分；函数的零点 专题：导数的概念及应用分析：根据条件f=4a，求出a的值，然后根据积分公式进行计算即可解答：解：由分段函数可知，f（0）=1+1=2，则f=f（2）=4+2a=4a，即2a=4，解得a=2dx=2（ln2ln1）=2ln2故选：a点评：本题主要考查分段函数的应用，以及积分的计算，要求熟练掌握积分的运算公式9已知函数y=f（x）（xr）满足f（x+3）=f（x+1），且x时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）log5x，（x0）的零点个数是( )a3b4c5d6考点：函数的零点 专题：计算题分析：由已知“f（x+3）=f（x+1），”得f（x+2）=f（x），知此函数是周期函数，可画出函数f（x）的简图，再利用数形结合的方法探求零点个数解答：解：f（x+3）=f（x+1），f（x+2）=f（x），知此函数是周期函数，设y=log5x和y=f（x），画出函数的简图数形结合求零点个数是4故选b点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷10已知、是非零向量且满足，则abc的形状是( )a等腰三角形b直角三角形c等边三角形d等腰直角三角形考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由、是非零向量且满足，利用向量垂直与数量积的关系可得，进而得到，即可得出解答：解：、是非零向量且满足，bac=60abc是等边三角形，故选：c点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、等边三角形的判定方法，属于基础题11设正实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则（+）的最小值为( )ab3c2d4考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出x、y满足约束条件图象，由图象判断出最优解，令目标函数值为6，解出关于a，b的方程，再由基本不等式求出+的最小值，代入求解即可解答：解：由题意，正实数x，y满足约束条件的图象如图目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6从图象上知，最优解是（2，4）故有2a+4b=6+=（2a+4b）（+）=（10+）（10+2 ）=3，等号当且仅当时成立故（+）的最小值为3=2故选：c点评：本题考查简单线性规划的应用及不等式的应用，解决本题，关键是根据线性规划的知识判断出取最值时的位置，即最优解，由此得到参数的方程，再构造出积为定值的形式求出真数的最小值12具有性质：f（）=f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数y=xy=x+y=中满足“倒负”变换的函数是( )abcd只有考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的表示方法 专题：证明题；压轴题分析：利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f（）与f（x）的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数解答：解：设f（x）=x，f（）=x=f（x），y=x是满足“倒负”变换的函数设f（x）=x+，f（）=，f（2）=，即f（）f（2），y=x+是不满足“倒负”变换的函数设f（x）=则f（x）=0x1时，1，此时f（）=x；x=1时，=1，此时f（）=0x1时，01，此时f（）=f（）=f（x），y=是满足“倒负”变换的函数故选 b点评：本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡相应位置k*s&5#u.com13已知=（3，2），+=（0，2），则|=5考点：平面向量的坐标运算；向量的模 专题：计算题分析：先根据条件求出的坐标，再代入模长计算公式即可解答：解：因为=（3，2），+=（0，2），=（）=（3，4）；|=5故答案为：5点评：本题考查平面向量的坐标运算以及模长计算，是基础题考察基础知识14已知幂函数f（x）=（m23m+3）xm+1为偶函数，则m=1考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：函数的性质及应用分析：根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解解答：解：幂函数f（x）=（m23m+3）xm+1为偶函数m23m+3=1，即m23m+2=0，解得m=1或m=2当m=1时，幂函数为f（x）=x2为偶函数，满足条件当m=2时，幂函数为f（x）=x3为奇函数，不满足条件故答案为：1点评：本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义确定m的值是解决本题的关键15函数y=x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形，则该闭合图形的面积是考点：定积分 专题：计算题分析：利用定积分求曲边图形面积的问题，关键找准积分区间和被积函数必要时画出图形解答：解：函数y=x2+2x+1与y=1的两个交点为（0， 1）与（2，1），所以闭合图形的面积为故答案为：点评：考查学生定积分的简单应用，考查学生数形结合思想的运用，属于基本题型16函数f（x）=x3+x26x+m的图象不过第象限，则m的取值范围是 （，10考点：利用导数研究函数的极值 专题：数形结合分析：先求出f（x）=3x2+3x6，令其为0求出x=2或x=1，然后在（，2），（2，1），（1，+）上得到导函数的正负继而得到函数的增减性，求出函数的极值，讨论x=2时的极大值小于等于0即可求出m的取值范围解答：解：求得f（x）=3x2+3x6=3（x+2）（x1），令其为0得到x=2，x=1在x（，2）时，f（x）0，f（x）为增函数；在x（2，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；在x（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数所以f（x）在x=2时有极大值，极大值为f（2）=m+10，因为函数的图象不过第象限，所以m+100，解得m10；故答案为（，10点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，理解函数图象不过第二象限的条件17某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：等式f（x）+f（x）=0对xr恒成立；函数f（x）的值域为；函数f（x）为r的单调函数；若x1x2，则一定有f（x1）f（x2）；函数g（x）=f（x）ax在r上有三个零点其中正确结论的序号有（请将你认为正确的结论的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：计算f（x）+f（x）即可；当x0时，f（x）=a；当x=0时，f（0）=0；当x0时，利用奇函数的性质即可得出f（x）a；当x0时，利用导数可得函数f（x）在（0，+）上单调递增，再利用奇函数的性质及f（0）=0可知：f（x）在r上单调递增；由函数的单调性即可判断出；当x0时，g（x）=，利用导数的运算法则可得函数g（x）在x0时单调性，进而判断出g（x）在x0时零点的个数利用奇函数的性质即可得出解答：解：f（x）+f（x）=0，正确；当x0时，f（x）=a；当x=0时，f（0）=0；当x0时，利用奇函数的性质可得f（x）a综上可得：函数f（x）的值域为（a，a），因此不正确；当x0时，f（x）=，可得函数f（x）在（0，+）上单调递增，再利用奇函数的性质及f（0）=0可知：f（x）在r上单调递增；因此正确；由函数的单调性可知：当x1x2，则一定有f（x1）f（x2），因此正确；当x0时，g（x）=，则g（x）=0，函数g（x）在x0时单调递减，g（x）g（0）=0，因此g（x）在x0时无零点利用奇函数的性质可知：在x0时，函数g（x）也无零点又g（0）=0，函数g（x）=f（x）ax在r上有且仅有一个零点因此不正确综上可知：只有正确故答案为：点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、值域、零点等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：本大题共4小题，满分56分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤18已知：全集u=r，函数的定义域为集合a，集合b=x|x2a0（1）求ua；（2）若ab=a，求实数a的范围考点：并集及其运算；补集及其运算 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）求出f（x）的定义域，确定出a，由全集u=r，求出a的补集即可；（2）根据a与b的并集为a得到b为a的子集，分a小于等于0与a大于0两种情况考虑，即可确定出a的范围解答：解：（1），2x3，即a=（2，3），全集u=r，cua=（，2，函数f（x）的值恒为负数？考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：（）首先利用不等式的结果，从而确定方程的根，进一步确定二次函数的关系式（）根据恒成立问题，从而确定参数的取值范围解答：解：（）由题意可知2和6是方程ax2+4x+2b4a=0的两根故，解得 （）f（x）=x2+4x+12，f（x）=k（x2+4x+12）+4（k+1）x+2（6k1）=kx2+4x2，由f（x）0对x恒成立，即kx2+4x20对x恒成立，当x=0时，kx2+4x20成立；当x（0，2时，又，设，则，=2t24t=2（t1）22，当t=1时，所以k2点评：本题考查的知识要点：二次函数解析式的确定，恒成立问题的应用及相关的运算问题20为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？考点：函数的最值及其几何意义 专题：应用题分析：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解解答：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy =因为400x600，所以当x=400时，s有最大值40000故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损（16分）点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值21已知函数f（x）=alnx+bx（a，br），g（x）=x2（m+）x（m0），且y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为xy1=0（）求a，b的值；（）若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，求m的取值范围；（）设m（x，y）（xm+）为两曲线y=f（x）+c（cr），y=g（x）的交点，且两曲线在交点m处的切线分别为l1，l2若取m=1，试判断当直线l1，l2与x轴围成等腰三角形时c值的个数并说明理由考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）利用函数在点（1，f（1）处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；（）由h（x）=0得，得两根为m，分当或两种情况讨论得出结论；（）利用导数值与曲线斜率相等，及斜率与直线的倾斜角的关系，设两切线l1，l2的倾斜角分别为，则，由题意可分=2，=2两种情况，逐一加以说明即可解答：解：（），f（1）=a+b=1，又f（1）=b=0，a=1，b=0 （）；由h（x）=0得，x=m或 m0，当且仅当或时，函数h（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点 若，即，当x（0，m）时h（x）0；当x（m，2）时h（x）0，函数h（x）有极大值点x=m，若，即m2时，当时h（x）0；当时h（x）0，函数h（x）有极大值点，综上，m的取值范围是（）当m=1时，设两切线l1，l2的倾斜角分别为，则，x2，均为锐角，当，即时，若直线l1，l2能与x轴围成等腰三角形，则=2；当，即时，若直线l1，l2能与x轴围成等腰三角形，则=2由=2得，得，即3x28x+3=0，此方程有唯一解，直线l1，l2能与x轴围成一个等腰三角形由=2得，得，即x32x23x+2=0，设f（x）=x32x23x+2，f（x）=3x24x3，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）在（2，+）单调递增，则f（x）在单调递增，由于，且，所以，则，即方程x32x23x+2=0在（2，+）有唯一解，直线l1，l2能与x轴围成一个等腰三角形因此，当m=1时，有两处符合题意，所以直线l1，l2能与x轴围成等腰三角形时，c值的个数有2个 点评：本题