浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷 文（含解析）.doc

2015年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（文科）一、选择题1设集合a=x|2x3，b=x|x+10，则集合ab等于（）ax|2x1bx|2x1cx|1x3dx|1x32下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=by=x2+1cy=2xdy=lg|x+1|3已知a，b为实数，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4下列命题中错误的是（）a如果平面平面，平面平面，=l，那么lb如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于5若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）ag（x）=sin（2x）bg（x）=sin（2x）cg（x）=cos（2x）dg（x）=cos（2x）6若，则x+y的最小值为（）a8bc2d47德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中r为实数集，q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：f（f（x）=1；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对任意的x=r恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形其中真命题的个数有（）a1个b2个c3个d4个8已知点f（c，0）（c0）是双曲线的左焦点，过f且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点p，且点p在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率的平方是（）abcd二、填空题9已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，若sn+1，sn，sn+2成等差数列，且s1=1，则q=，an=sn+1=10已知点p（cos，sin）在直线 y=3x上，则tan（）=； =11若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值为；若该平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+20成立，则实数3a+b的取值范围是12某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3表面积为cm213已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当0x1时，f（x）=x2，则f（2015）=14已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为15已知函数，若x（0，1）时f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足csina=acosc1）求角c大小；（2）求sinacos（b+）的最大值，并求取得最大值时角a，b的大小17已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足：a1b1+a2b2+a3b3+anbn=2n+1，nn*，令cn=，nn*，求数列cncn+1的前n项和sn18如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为边长为2的菱形，pa平面abcd，abc=60，e是bc的中点，pa=ab（）证明：aepd；（）若f为pd上的动点，求ef与平面pad所成最大角的正切值19已知抛物线y2=2px（p0）上点t（3，t）到焦点f的距离为4（）求t，p的值；（）设a、b是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中o为坐标原点）（）求证：直线ab必过定点，并求出该定点p的坐标；（）过点p作ab的垂线与抛物线交于c、d两点，求四边形acbd面积的最小值20已知ar，设函数f（x）=x|xa|x（） 若a=1时，求函数f（x）的单调区间；（） 若a1，对于任意的x0，t，不等式1f（x）6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值2015年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合a=x|2x3，b=x|x+10，则集合ab等于（）ax|2x1bx|2x1cx|1x3dx|1x3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】先求出集合b，再由交集的运算求出ab【解答】解：由题意得，b=x|x+10=x|x1，又集合a=x|2x3，则ab=x|1x3，故选：c【点评】本题考查交集及其运算，属于基础题2下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=by=x2+1cy=2xdy=lg|x+1|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可【解答】解：对于a，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，不满足题意；对于b，函数y=x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+）上是单调减函数，不满足题意；对于c，函数y=2x的图象不是轴对称图形，不满足题意；对于d，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=1对称的图形，且在区间（0，+）上是单调增函数，满足题意故选：d【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目3已知a，b为实数，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=4，b=1，满足a+b2，但a1且b1不成立，即充分性不成立，若a1且b1，则a+b2成立，即必要性不成立，故“a+b2”是“a1且b1”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4下列命题中错误的是（）a如果平面平面，平面平面，=l，那么lb如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答时：a利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；b注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；c反证法即可获得解答；d结合实物举反例即可【解答】解：如果平面平面，平面平面，=l，因为，则与必相交，设a是与的交线，又，则与必相交，设其交线ba属于，b属于，则a、b在同一个平面内，a与b不平行就相交假设ab，因为直线a和直线b分别属于和平面，则这与已知=l相矛盾所以a和b必相交同理可以证明三条直线a、b、l相交其交点o同属于、和o点必在l上因为，则al，bl所以l，故a正确；结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，所以，如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面，故b正确；假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故c正确；命题如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于，错误如果点取在交线上则没有垂线，故d错误故选d【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用值得同学们体会和反思5若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）ag（x）=sin（2x）bg（x）=sin（2x）cg（x）=cos（2x）dg（x）=cos（2x）【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的图象的对称性求得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得由f（x）=sin2x的图象如何平移得到g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式【解答】解：由函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，可得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为设函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有，解得m=故把函数f（x）=sin2x的图象向右平移=个单位，即可得到函数g（x）的图象故g（x）=sin2（x）=sin（2x），故选 b【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，函数图象的对称性，属于中档题6若，则x+y的最小值为（）a8bc2d4【考点】基本不等式；对数的运算性质【专题】不等式的解法及应用【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出【解答】解： =，x+y=4，当且仅当x=y=2时取等号故选d【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键7德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中r为实数集，q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：f（f（x）=1；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对任意的x=r恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形其中真命题的个数有（）a1个b2个c3个d4个【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用；推理和证明【分析】根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1；根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取x1=，x2=0，x3=，可得a（，0），b（0，1），c（，0），三点恰好构成等边三角形【解答】解：当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0当x为有理数时，f（f（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1，故正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xr，都有f（x）=f（x），故正确； 若x是有理数，则x+t也是有理数； 若x是无理数，则x+t也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立，故正确； 取x1=，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0a（，0），b（0，1），c（，0），恰好abc为等边三角形，故正确故选：d【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题8已知点f（c，0）（c0）是双曲线的左焦点，过f且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点p，且点p在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率的平方是（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立a，c的关系即可得到结论【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作pql于q，双曲线的右焦点为f，由题意可知ff为圆x2+y2=c2的直径，设p（x，y），（x0），则pfpf，且，满足，将代入得x2+4cxc2=0，则x=，即x=（）c，或x=（）c（舍去）将x=（）c代入，得，即，再将y代入得，即，=，即e2=故选：d【点评】数列掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键本题运算量较大，综合性较强，难度较大二、填空题9已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，若sn+1，sn，sn+2成等差数列，且s1=1，则q=2，an=（2）n1sn+1=【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】运用等差数列的中项性质，运用等比数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求值【解答】解：sn+1，sn，sn+2成等差数列，可得2sn=sn+1+sn+2，若q=1，可得sn=na1=n，即有2n=n+1+n+2，方程无解；若q1，则2=+，可得2qn=qn+1+qn+2，即为q2+q2=0，解得q=1（舍去）或q=2，则q=2，an=a1qn1=（2）n1，sn=即有sn+1=故答案为：2，（2）n1，【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等差数列的中项性质，考查运算能力，属于基础题10已知点p（cos，sin）在直线 y=3x上，则tan（）=2； =【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】把p坐标代入y=3x，利用同角三角函数间的基本关系求出tan的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值；原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值【解答】解：点p（cos，sin）在直线y=3x上，sin=3cos，即tan=3，则tan（）=2； =故答案为：2；【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数定义，以及两角的和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键11若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值为；若该平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+20成立，则实数3a+b的取值范围是a1【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；分类讨论；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，由目标函数过定点（0，2），结合平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，可知直线y=kx+2过bc的中点，联立方程组结合中点坐标公式求出bc中点，再由两点求斜率公式得k值；利用目标函数的几何意义，结合数形结合分类进行求解，可得实数3a+b的取值范围【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=kx+2过定点（0，2），若平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则直线y=kx+2过bc的中点，联立，解得b（3，5）；联立，解得c（5，3）bc的中点为（4，4），则k=；若a=0，则不等式x+ay+20等价为x2，此时不满足条件；若a0，则不等式等价为y，直线y=的斜率k=0，此时区域都在直线y=的上方，不满足条件；若a0，则不等式等价为y，直线y=的斜率k=0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+20成立，则只要满足点a（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=的上方即可即0+2a+20，解得a1，故答案为：a1故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为12cm3表面积为cm2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而代入棱锥的体积公式，可得体积，计算每个面的面积，相加可得表面积【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体的直观图如下所示：其底面面积为：34=12cm2，高h=3cm，故体积为：312=12cm3，侧面vab的面积为：33=，侧面vad的面积为：34=6，侧面vbc的面积为：4=6，侧面vcd的面积为：3=，故几何体的表面积s=12+6+6+=cm2，故答案为：12；【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键13已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当0x1时，f（x）=x2，则f（2015）=1【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据已知可得f（x）是周期为4的周期函数，故f（2015）=f（1）=f（1），进而得到答案【解答】解：f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，f（2015）=f（1）=f（1），又当0x1时，f（x）=x2，f（1）=1，f（2015）=1，故答案为：1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键14已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先通过=1平方后结合基本不等式得到然后将平方，展开求出范围【解答】解：非零向量的交角为600，且，=1，所以，所以当且仅当=1时取等号=2+1，所以12+13所以的取值范围为（1，；故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题15已知函数，若x（0，1）时f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是e，6【考点】函数恒成立问题【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】令g（x）=，h（x）=exa，由函数g（x），h（x）均为（0，1）上的增函数求出两函数的值域，结合要使x（0，1）时f（x）0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），把问题转化为或在x（0，1）时恒成立分别求出两不等式的解集，取并集得答案【解答】解：令g（x）=，h（x）=exa，则函数g（x）=，h（x）=exa均为（0，1）上的增函数，当x（0，1）时，g（x）（3）；h（x）（1a，ea），要使x（0，1）时f（x）0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），要使x（0，1）时f（x）0恒成立，则，或在x（0，1）时恒成立由得：，解得a；由得：，解得ea6综上，实数a的取值范围是：e，6故答案为：e，6【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了函数值域的求法，考查数学转化思想方法，明确要使x（0，1）时f（x）0恒成立，则在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x）是解答该题的关键，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足csina=acosc1）求角c大小；（2）求sinacos（b+）的最大值，并求取得最大值时角a，b的大小【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用正弦定理化简csina=acosc求出tanc=1，得到c=（2）b=a，化简sinacos（b+），通过0a，推出a+，求出2sin（a+）取得最大值2得到a，b【解答】解：（1）由正弦定理得 sincsina=sinacosc，因为0a，所以sina0从而sinc=cosc，又cosc0，所以tanc=1，c=（2）有（1）知，b=a，于是sinacos（b+）=sina+cosa=2sin（a+）因为0a，所以a+，从而当a+=，即a=时2sin（a+）取得最大值2综上所述sinacos（b+）的最大值为2，此时a=，b=【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型17已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足：a1b1+a2b2+a3b3+anbn=2n+1，nn*，令cn=，nn*，求数列cncn+1的前n项和sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用递推式可得（n2），再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（i）设等差数列an的公差为d，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列，即，解得d=0（舍）或d=1，数列an的通项公式为an=a1+（n1）d=n，即an=n （ii）由，（n2），两式相减得，即（n2），则，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为边长为2的菱形，pa平面abcd，abc=60，e是bc的中点，pa=ab（）证明：aepd；（）若f为pd上的动点，求ef与平面pad所成最大角的正切值【考点】直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离【分析】（）由题设条件知abc为正三角形，先推导出aead，paae，由直线垂直于平面的判定定理得到ae平面pad，由此能证明aepd（）连结af，则afe为ef与平面pad所成的角，当afpd时，afe最大，由此能求出ef与平面pad所成最大角的正切值【解答】解：（）因为四边形abcd为菱形，且abc=60，所以abc为正三角形e为bc中点，故aebc；又因为adbc，所以aead因为pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae故ae平面pad，又pd平面pad，所以aepd（）连结af，由（）知ae平面pad，所以afe为ef与平面pad所成的角在rtaef中，ae=，afe最大当且仅当af最短，即afpd时，afe最大依题意，此时，在rtpad中，paad=pdaf，所以，tanafe=所以，ef与平面pad所成最大角的正切值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成最大角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养19已知抛物线y2=2px（p0）上点t（3，t）到焦点f的距离为4（）求t，p的值；（）设a、b是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中o为坐标原点）（）求证：直线ab必过定点，并求出该定点p的坐标；（）过点p作ab的垂线与抛物线交于c、d两点，求四边形acbd面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用抛物线y2=2px （p0）上点t（3，t）到焦点f的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；（）（）设直线ab的方程为x=my+t