算术平均数与几何平均数.doc

中学教学设计方案 年 月 日 星期 第 节课 题算术平均数与几何平均数章节第六章 第二节教 学 目 的知识目标1学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2理解定理的几何意义；3能够简单应用定理证明不等式。能力目标培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标。德育目标通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观。教学重点均值定理证明教学难点等号成立条件教学方法引导法、讲授法学法指导高考特别注重能力的考查，对均值不等式常常以函数、数列、三角、解析几何、立体几何知识为载体进行考查。近几年的考题立意新颖，抽象程度高，有高起点、低设问、深入浅出的特点，还突出了均值不等式在求最值、解应用题方面的考查，这些问题应引起考点的重视。教 具黑板、粉笔教学环节教 学 过 程(一) 高考要求(二) 知识点1.了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理；2.能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题；3.在用均值定理解决实际问题时，要理解题意，设变量时把要求最大值或最小值的变量定为函数，建立相应的函数关系式,在定义域内，求出函数的最大值或最小值。1常用的基本不等式和重要的不等式(1) 当且仅当(2)；(3)，则(4)2最值定理:设(1)如积(2)如积即:积定和最小，和定积最大。运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等。3均值不等式：两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：4四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。教学环节教 学 过 程(三) 题型讲解例1设a0 ，b0 则下列不等式中不成立的是（ ）Aa+b+2 B (a+b)( +)4C a+b D 解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4，b=1；代入各选项中的不等式，易判断不成立。解法二：可逐项使用均值不等式判断Aa+b+2+2=2，不等式成立； Ba+b20, +20,相乘得： (a+b)( +)4成立；Ca2+b2=(a+b)22ab(a+b)22()2=()2 又成立；Da+b2，=,即不成立。 故选D例2今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗?并说明你的结论。解：不对。设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：， 得G2=, G=由于，故，由平均值不等式 知说法不对。真实重量是两次称量结果的几何平均值。 点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题。教学环节教 学 过 程例3设x0, y0, x2+=1,则的最大值为 ；分析：x2+=1是常数, x2与的积可能有最大值可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积，应处理成2 x2。解法一： x0, y0, x2+=1 =当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值解法二： 令(0) 则=cos=当=,即=时,x=,y=时，取得最大值。例4若ab0，求的最小值。分析：的结构不对称，关键是的分母(ab)b，而(ab)+b=a， 故问题突破口已显然。也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值。教学环节教 学 过 程(四) 课堂练习解法一: =(ab)+b2 +22 +=4(ab)b+16当且仅当b=(ab)且(ab)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16解法二: =当且仅当b=(ab)且，即a=2b=2时取等号,故的最小值为16。点评：在运用均值不等式求最值时，凑出定值是关键!但在定值的过程中，不一定就能凑出定值来，实际上，分几步凑也是可以的，只要每步取等号的条件相同便可。1在区间(0, +)上，当x= 时，函数y=3x有最小值 ；答案：2；9 提示：y=3x3=9 2函数y=m2的值域为 ；答案：1, +)提示：y=m2= y=(m21)123已知x、y、z0,且xyz=1, 则的最大值为 ； 最小值为 ； 答案：；14已知：abc=1, a2b2c2=1, 且abc,则ab的取值范围是 ；a2b2 的取值范围是 ； 答案：(1, )；(, 1)5若a1, b1, c1, ab=10，求证：log aclog bc4lgc, 并指出什么时候等号成立。教学环节板 书 设 计算术平均