度高中数学 1.1 集合的含义及其表示同步辅导与检测课件 苏教版必修1.ppt

1 1集合的含义及其表示 集合 在初中 我们已经接触过一些有关集合的例子 那么 集合的具体含义是什么呢 我们如何进行表示呢 这就是我们这节所要解决的问题 1 集合的含义 把研究对象统称为 把一些元素组成的总体叫做 简称为集 2 元素与集合的关系 如果x是集合a中的元素 则说x属于集合a 记作 若x不是集合a中的元素 就说x不属于集合a 记作 3 集合中元素的三个特征 1 确定性 给定集合a 对于某个对象x x a 或 x a 这两者必居其一且仅居其一 2 互异性 集合中的元素 元素 集合 x a x a 互不相同 不允许重复 3 无序性 在一个给定的集合中 元素之 4 集合的表示 1 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合的方法称为 2 把集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号内表示集合的方法称为 常用形式是 x p 竖线前面的x叫做集合的代表元素 p表示元素x所具有的公共属性 3 用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合 这种图形称为 用venn图 数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为 无先后次序之分 列举法 描述法 venn图 图示法 5 常用集合的符号表示 6 最小的自然数是0 例如 小于5的自然数分别为 7 含有有限个元素的集合叫有限集 含有无限个元素的集合叫无限集 例如 大于0小于1的实数构成的集合是有限集还是无限集 例如 小于3的自然数集用列举法表示为 0 1 2 其他合理皆可 用描述法表示为 x x 3且x n 或 小于3的自然数 0 1 2 3 4 无限集 集合的概念及其元素的特征 集合 其具有确定性 互异性 无序性特征 特别是互异性特征 既是易出错点 也是高考常考知识点 例如由book中的字母组成的集合是 b o k 方程 x2 4x 4 x 3 0的根构成的集合为 2 3 不能写成 2 2 3 无序性就是指集合的元素之间没有顺序关系 只要放在一起 不存在次序问题 元素a与集合a之间是属于或不属于关系 即要么a a 要么a a 元素与集合的关系 常用数集的符号表示及集合的分类 自然数集n 正整数集n 或n 整数集z 有理数集q 实数集r 按照集合所含元素个数的多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 venn图 用列举法 描述法表示集合时 应注意根据问题的不同情境或形式选择合理的表示方法 列举法不宜表示无限集 用描述法表示集合时 应该注意代表元素的性质 例如表示数集时代表元素可用一个字母x表示 而表示点集时代表元素则用 x y 来表示 此外用venn图表示集合的最大优势在于形象直观 总之应根据不同的情况合理地选择应用 两集合相等 若两个集合所含的元素完全相同 即a中的元素都是b中的元素 b中的元素也都是a中的元素 则称两个集合相等 例如 x x2 1 0 1 1 集合元素的特征性质 设a 1 k2 k2 k 2 求实数k的取值范围 点评 解决本题的关键是掌握集合元素的互异性特征 解析 由集合元素的互异性知 1 k2 k2 k 2是互不相同的 答案 由题知 实数k的取值范围是 k r k 2 1 1 变式训练 1 在由3 x x2 2x三个元素所组成的集合中 x应该满足什么条件 解析 2 由实数x x 所组成的集合里最多有 个元素 解析 因为故最多有两个元素 答案 两 元素与集合的关系 集合a x r x a b a z b z 试判断下列元素x与集合a的关系 点评 应注意对形式a b的本质理解 对其中a b只要是整数即可 不能理解为a b仅表示整数的单个字母或数字 数集a满足条件 a a 则 a 其中a r 试证 1 若2 a 则a中还有另外两元素 2 集合a不可能只含一个元素 2 假设a是只含一个元素 则必有a 即a2 a 1 0 1 2 4 1 1 3 0 方程没有实数根 假设不成立 原结论得证 点评 对于证明题中的一类诸如 不可能 至多 至少 不少于 等问题 宜采用反证法 其证题步骤为 假设结论不成立 推理导出矛盾 肯定结论成立 变式训练 3 若集合a是由同时满足y x2和y x的解构成的集合 则 1 1 填 或 a 集合的表示 用适当的方法表示下列集合 方程组的解集 1000以内被4除余1的正整数所组成的集合 直角坐标平面上在第三象限内的点所组成的集合 直角坐标平面上在直线x 1和x 1的两侧的点所组成的集合 解析 宜用列举法 宜用描述法 答案 3 7 x x 4k 1 k n 且x1 点评 所谓适当的方法 就是较简单较明了的表示方法 用描述法表示集合时 若需要多层次描述性质时 可选用 且 与 或 等词连接 变式训练 4 设a b都是非零实数 可能取的值组成的集合是 解析 1 若a 0 b 0时 y 3 2 若a0 b0时 y 1 答案 3 1 5 用描述法表示下列集合 所有减去1能被3整除的数 答案 x x 3n 1 n z 集合与函数的关系 下面三个集合 x y x2 1 y y x2 1 x y y x2 1 1 它们是不是相同的集合 2 它们各自的含义是什么 解析 对于用描述法给出的集合 首先要清楚集合中的代表元素是什么 元素满足什么条件 答案 1 由于三个集合的代表元素互不相同 特征性质不同 所以它们是互不相同的集合 2 集合 x y x2 1 的代表元素是x 满足条件y x2 1中的x r 实质上 x y x2 1 r 集合 y y x2 1 的代表元素是y 满足条件y x2 1中的y的取值范围是y 1 y y x2 1 y y 1 集合 x y y x2 1 的代表元素是 x y 可以认为是满足y x2 1的数对 x y 的集合 也可以认为是坐标平面的点 x y 且这些点的坐标满足y x2 1 x y y x2 1 p p是抛物线y x2 1上的点 点评 用描述法表示的集合 认识它一要看集合的代表元素是什么 它反映了集合元素的形成 二要看元素满足什么条件 集合与方程的联系 若集合a x x2 a 1 x b 0 中仅有一个元素a 求a b的值 解析 集合a中 仅有一个元素a 即方程x2 a 1 x b 0有两个相等的实数根a 这样将集合问题转化为方程问题 答案 由题知方程x2 a 1 x b 0有两个相等实根x a 据韦达定理得 点评 转化是数学中的重要思想 本题是将集合问题转化为方程问题 使问题很容易得到解决 有关集合的信息迁移题 设 5 x x2 ax 5 0 求集合 x x2 4x a 0 中所有元素之和为多少 解析 首先根据 5 x x2 ax 5 0 求出字母a的值 进而求出方程x2 4x a 0的根 答案 由题知 5是方程x2 ax 5 0的根 因此有 25 5a 5 0 a 4 x x2 4x 4 0 2 集合 x x2 4x 4 0 中所有元素之和为2 点评 方程x2 4x 4 0有两个相等的实根 作为集合的元素只能作为一个元素出现 定义集合运算 a b z z xy x y x a y b 又a 0 1 b 2 3 则集合a b中所有元素之和为 a 0b 6c 12d 18 解析 注意集合a b中元素具备怎样的特征性质 同时要注意集合a b中的元素的互异性 a b 0 6 12 答案 d 点评 首先要明确集合中的元素具备怎样的条件 其次要充分注意集合的三个特征 特别是互异性 设p q为两个