重庆市万州区纯阳中学高三数学上学期9月质检试卷 理（含解析）.doc

重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1已知角的终边上有一点p（5，12），则cos的值是( )abcd考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：通过已知条件求出op，直接利用三角函数的定义，求出cos的值即可解答：解：角的终边上有一点p（5，12），op=13，由三角函数的定义，可知，cos=故选：c点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力2函数f（x）=2x1x2的零点的个数为( )a1b2c3d4考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=2x1x2=0得2x1=x2，即2x=2x2，设函数y=2x和y=2x2，分别作出两个函数对应的图象，利用数形结合即可得到两个图象的交点解答：解：由f（x）=2x1x2=0得2x1=x2，即2x=2x2，设函数y=2x和y=2x2，分别作出两个函数对应的图象如图：由图象可知，两个图象的交点个数为3个，即函数f（x）=2x1x2的零点的个数为3个故选：c点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键3已知sin（x）=，则sin2x的值为( )abcd考点：二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：利用sin2x=即可得出解答：解：sin2x=故选：a点评：本题考查了诱导公式、倍角公式，属于基础题4函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是( )a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题分析：函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反解答：解：f（1）=ln（1+1）2=ln220，而f（2）=ln31lne1=0，函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间是 （1，2），故选b点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号5函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )abcd考点：函数的图象 专题：作图题分析：由题意可判函数为偶函数，可排除c，再由f（0）=0，可排除b、d，进而可得答案解答：解：由题意可知函数的定义域为r，f（x）=ln（x2+1）=f（x），函数为偶函数，故可排除c，由f（0）=ln1=0，可排除b、d故选a点评：本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值，属基础题6已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为( )a1b2c1d2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：由y=ln（x+a），得，由直线y=x1与曲线y=ln（x+a）相切，得，所以切点是（1a，0），由此能求出实数a解答：解：y=ln（x+a），直线y=x1与曲线y=ln（x+a）相切，切线斜率是1，则y=1，x=1a，y=ln1=0，所以切点是（1a，0），切点（1a，0）在切线y=x+1上，所以0=1a+1，解得a=2故选b点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7（ex+2x）dx等于( )a1be1cede2+1考点：定积分 专题：计算题分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差解答：解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+11=e故选c点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值8设p：0x1，q：（xa）x（a+2）0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是( )a1，0b（1，0）c（，01+，）d（，1）（0+，）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：解一元二次不等式，化简命题q，根据p是q的充分不必要条件得到 a0，且2+a1，求出实数a的取值范围解答：解：命题q：（xa）x（a+2）0，即ax2+a由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立a0，且2+a1，解得1a0，故选a点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件的定义，判断a0，且2+a1是解题的难点9已知f（x）=x4x3+2x2+a在x=x1处取得极值2，则dt=( )a+bc+d+或+考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：求函数的导数，确定函数取得极值的x，建立条件关系求出a，利用积分的几何意义即可求出结论解答：解：函数的导数为f（x）=x34x2+4x=x（x24x+4）=x（x2）2，则当f（x）0，得x0，由f（x）0得x0，即当x=0时函数取得极小值，也是唯一的极值，f（x）在x=x1处取得极值2，x1=0，即f（0）=2，则f（0）=a=2，则dt=，设y=，则t2+y2=4，（0t1），则积分的几何意义为阴影部分的面积，则a（1，），则xoa=，yoa=，则阴影部分的面积s=，故选：c点评：本题主要考查导数的应用，以及积分的几何意义，根据导数求出函数的极值，确定a的值是解决本题的关键10已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）的对称中心为m（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f（x），f（x）的导函数为f（x），则有f（x0）=0若函数f（x）=x33x2，则可求出f（）+f（）+f（）+f（）+f（）的值为( )a4029b4029c8058d8058考点：导数的运算；函数恒成立问题 专题：导数的概念及应用分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，2）对称，即f（x）+f（2x）=4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2014对4和一个f（1）=2，可得答案解答：解：由题意f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，f（x）=6x6，由f（x0）=0得6x06=1解得x0=1，而f（1）=2，故函数f（x）=x33x2关于点（1，2）对称，f（x）+f（2x）=4，f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=42014+（2）=8058故选：d点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应的位置上11sin+cos+tan（）=0考点：运用诱导公式化简求值 专题：计算题分析：利用三角函数的诱导公式sin=sin（4+）=sin，cos=cos（8+）=cos，tan（）=tan（6+）=tan，然后根据特殊角的三角函数值求出结果解答：解：sin+cos+tan（）=sin+costan=+1=0故答案为0点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式可以提高做题效率，属于基础题12若直线ax+by1=0（a0，b0）过曲线y=1+sinx（0x2）的对称中心，则+的最小值为3+2考点：基本不等式 专题：计算题分析：由正弦函数的性质可求y=1+sinx（0x2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值解答：解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinx（0x2）的对称中心为（1，1）a+b=1则+=（）（a+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+2点评：本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题13若f（x）是r上的增函数，且f（1）=4，f（2）=2，设p=x|f（x+t）2，q=x|f（x）4，若“xp”是“xq”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（3，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断 分析：本题考查的充要条件的定义，根据题设条件及“谁大谁必要，谁小谁充分”，可得pm，然后再根据集合包含运算关系，判断出参数满足的不等式，即可求出实数t的取值范围解答：解：又f（x）是r上的增函数，且f（1）=4，f（2）=2，q=x|f（x）4=x|x1，p=x|f（x+t）2=x|x+t2=x|x2t，“xp”是“xq”的充分不必要条件pm，则2t1则t3故答案为：（3，+）点评：本题考查充要条件，解题的关键是理解充分不必要条件的含义，将其正确转化为两个集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力14由两曲线y=sinx（x0，2）和y=cosx（x0，2）所围成的封闭图形的面积为2考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为s=（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx+（cosxsinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答：解：由y=sinx（x0，2）和y=cosx（x0，2），可得交点坐标为（，），（，），由两曲线y=sinx（x0，2）和y=cosx（x0，2）所围成的封闭图形的面积为s=（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx+（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=2故答案为：2点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题15已知符号函数sgn=则函数f（x）=sgn（ln x）ln2x的零点个数为2考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；函数的性质及应用分析：将函数f（x）=sgn（ln x）ln2x的零点可化为方程sgn（ln x）ln2x=0的根，从而求出方程的根，得到零点个数解答：解：函数f（x）=sgn（lnx）ln2x的零点可化为方程sgn（lnx）ln2x=0的根；又sgn=，则或或；解得，x=e或x=1故答案为：2点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了转化的思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知cos=，sin（+）=，（0，），（，）（）求cos2的值；（）求sin的值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：（）由二倍角的余弦公式，cos2=2cos21，根据已知即可求值（）sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin，只要求出sin，cos（+）的值，根据已知代入即可求出其值解答：解：（）由条件：cos=，（，）得cos2=2cos21=；（）因为cos=，（，），所以sin=，因为，（0，），（，），所以+（，），又sin（+）=，所以cos（+）=，所以sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式等的综合运用，属于中档题17设函数f（x）=x3+ax29x1（a0）若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（）a的值；（）函数f（x）的单调区间考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定 专题：计算题分析：（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；（2）先求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，解得的区间就是所求解答：解：（）因f（x）=x3+ax29x1所以f（x）=3x2+2ax9=即当x=时，f（x）取得最小值因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为12，所以解得a=3，由题设a0，所以a=3（）由（）知a=3，因此f（x）=x33x29x1，f（x）=3x26x9=3（x3）（x+1），令f（x）=0，解得：x1=1，x2=3当x（，1）时，f（x）0，故f（x）在（，1）上为增函数；当x（1，3）时，f（x）0，故f（x）在（1，3）上为减函数；当x（3，+）时，f（x）0，故f（x）在（3，+）上为增函数由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（，1）和（3，+）；单调递减区间为（1，3）点评：本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题18某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率；（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为x，求随机变量x的分布列与数学期望（注：本小题结果可用分数表示）考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为ai（i=1，2，3，4），则，由此能求出该选手进入第四轮才被淘率的概率（2）x的可能值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量x的分布列与数学期望解答：解：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为ai（i=1，2，3，4），则，该选手进入第四轮才被淘率的概率：=（2）x的可能值为1、2、3、4，=，x的分布列为： x 1 2 3 4 p点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型19已知函数f（x）=alnx+（ar）（1）当a=1时，求函数f（x）在1，+）上的最小值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导函数f（x），由导函数f（x）0，得出f（x）的单调性；（2）若f（x）存在单调递减区间，则不等式f（x）0有正数根，对a分a=0、a0、a0进行讨论，转化成一次函数或二次函数，写出等价条件，求出a的范围解答：解：（1）当a=1时，定义域为（0，+），f（x）在1，+）上是增函数，fmin（x）=f（1）=1（2）=f（x）存在单调递减区间f（x）0有正数解，即ax2+2（a1）x+a0有x0的解， 当a=0时，明显成立当a0时，y=ax2+2（a1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a1）x+a0总有x0的解 当a0时，y=ax2+2（a1）x+a为开口向上的抛物线，即ax2+2（a1）x+a=0有正根，因为x1x2=10，所以方程ax2+2（a1）x+a=0有正根，解得，综上得点评：本题考查利用导数求单调区间，由单调性求参数范围，运用等价转化、分类讨论思想，属于中档题20已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=（x2+x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意x0，g（x）1+e2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）先求出f（x）=，x（0，+），由y=f（x）在（1，f（1）处的切线与x轴平行，得f（1）=0，从而求出k=1；（）由（）得：f（x）=（1xxlnx），x（0，+），令h（x）=1xxlnx，x（0，+），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；（）因g（x）=（1xxlnx），x（0，+），由（）h（x）=1xxlnx，x（0，+），得1xxlnx1+e2，设m（x）=ex（x+1），得m（x）m（0）=0，进而1xxlnx1+e2（1+e2），问题得以证明解答：解：（）f（x）=，x（0，+），且y=f（x）在（1，f（1）处的切线与x轴平行，f（1）=0，k=1；（）由（）得：f（x）=（1xxlnx），x（0，+），令h（x）=1xxlnx，x（0，+），当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，又ex0，x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，fx）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；证明：（）g（x）=（x2+x）f（x），g（x）=（1xxlnx），x（0，+），x0，g（x）1+e21xxlnx（1+e2），由（）h（x）=1xxlnx，x（0，+），h（x）=（lnxlne2），x（0，+），x（0，e2）时，